人教版数学八年级上册期中复习 专题07 三角形中的特殊模型-构等腰、角平分线第二定理模型（2份，原卷版+解析版）

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平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）
模型1、平分平行（射影）构等腰
1）角平分线加平行线必出等腰三角形．
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．
→ 图4
条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。
例1．（2023春·海南·八年级统考期末）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（ ）

A．20°B．25°C．30°D．50°
例2．（2022秋·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 ．
例3．（2023·重庆·八年级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC= ．

例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________．
例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型
1）内角平分线定理

图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。 结论：
2）外角平分线定理
条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：．
3）奔驰模型
条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。
例1．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则 ．
例2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（ ）

A．B．C．D．
例3．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D．
(1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______．
例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：．
例5.（2022秋·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接．
(1)如图1，当点D是边的中点时，_____；
(2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；
(3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值．
课后专项训练
1．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，中，，点I为各内角平分线的交点，过I点作的垂线，垂足为H，若，，，那么的值为（ ）
A．1B．C．2D．
2．（2022秋·山东聊城·八年级校联考期中）如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）如图，的三边、、的长分别是8，10，14，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列说法中正确的有（ ）个.

1）垂直平分；2）；3）；4）四边形的面积是面积的一半
A．1B．2C．3D．4
5．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，是的角平分线，相交于点于，，下列四个结论：①；②；③若的周长为，则；④若，则．其中正确的结论有（ ）个．

A．B．C．D．
6．（2023春·山东·七年级专题练习）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：
①和都是等腰三角形；②；③；④若，则．
其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
7．（2023·广东·八年级期中）如图，已知，平分，，则（ ）
A．105°B．120°C．130°D．150°
8．（2023秋·四川南充·八年级校考期末）如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论；①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于D，交于E，若，则的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
10．（2022秋·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，在中，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F．若，则的长为（ ）
A．B．3C．D．
11．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（ ）

A．EC＝EFB．FE＝FCC．CE＝CFD．CE＝CF＝EF
12．（2023·成都市·八年级期中）如图，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC，交AB 于 E，∠A=60º， ∠BDC=95º，则∠BED的度数是（ ）
A．35°B．70°C．110°D．130°
13．（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，在中，，点为的边上一点，点分别在边上，连接，若，则的度数为 ．

14．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．

（1）如图1，当平分时，若，，则 ；
（2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 .
15．（2022秋·天津·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，延长至E，使，若，的面积为9，则的面积是 ．
16．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，在中，于点D，G是延长线上一点，平分，且，E是上一点，连接并延长交于点F．
(1)求证：；(2)猜想并证明：当E在何处时，．

17．（2023·浙江八年级课时练习）如图，已知、的平分线相交于点，过点且．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求、的度数．

18．（2023广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________．
（2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长．
（3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．
19.（2023·吉林·八年级校考期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
【定理证明】结合图①，“角平分线的性质定理”证明过程中．运用了与全等，全等最直接的依据是
【定理感知】如果教材中的已知条件不变，如图①，当，时，则面积为 ．
【定理应用】如图②，在中，平分交于点D．求证：
【拓展应用】如图③，在中，，，，将先沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，直接写出剩余的的面积为 ．
20．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）如图，为的角平分线．
（1）如图1，若于点，交于点，，．则________；
（2）如图2，若，，的面积是10，求的面积；
（3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示）