人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程综合训练题

这是一份人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程综合训练题，文件包含人教版数学九上重难点复习专题02解一元二次方程原卷版doc、人教版数学九上重难点复习专题02解一元二次方程解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
考点一 解一元二次方程——直接开平方法
考点二 解一元二次方程——配方法
考点三 根据判别式判断一元二次方程根的情况
考点四 解一元二次方程——公式法
考点五 解一元二次方程——因式分解法（含十字相乘法）
考点六 解一元二次方程——换元法
考点一 解一元二次方程——直接开平方法
例题：（2022·上海·八年级期末）解方程：
（1）x(x+5)=x-4 （2）4（x﹣1）2＝9． (3)； (4)100（x－1）2＝121．
【答案】（1）；（2）x＝或x＝﹣；(3)，；(4)x1＝，x2＝－
【解析】
【分析】
把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式，然后选取适当的方法即可求解．
【详解】
解：（1），
，
，
．
（2）4（x﹣1）2＝9，
则（x﹣1）2＝，
故x﹣1＝±，
解得：x＝或x＝﹣．
(3)
移项得：，
开平方得：，
解得：，；
(4)解∶ （x－1）2＝，
x－1＝±，
即x1＝，x2＝－．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是关键．
【变式训练】
1.（2022·广东·模拟预测）方程的解是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先移项化为，再利用直接开平方的方法解方程即可.
【详解】
解：
即
或

故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键.
2．（2022·全国·九年级）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 ＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若 ，则x＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于x的一元二次方程，开方即可求出x的值．
【详解】
解：∵ ，
∴，
∴x2﹣4x+1＝0，
∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，
∴，
∴，
∴x＝，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式的运用以及解一元二次方程，理解并运用新定义是解题的关键．
考点二 解一元二次方程——配方法
例题：（2022·河南安阳·九年级期末）解下列方程：
(1)； (2)
【答案】(1)，；(2)
【解析】
【分析】
（1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可；
（2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可．
(1)
解：，
移项得：，
配方得：，即，
开平方得：，
∴，．
(2)
，
，
，
，
，
解得．
【点睛】
本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键．
【变式训练】
1.（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先将二次项配成完全平方式，再将常数项移项，即得答案．
【详解】
解：∵，
∴，
即，
故选：D．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
2.（2022·辽宁大连·模拟预测）解方程：．
【答案】,
【解析】
【分析】
利用配方法解一元二次方程．
【详解】
解：x2+4x=8，
x2+4x+4=8+4，
，
，
，．
【点睛】
本题考查利用配方法解一元二次方程，解决问题的关键是降次．
考点三 根据判别式判断一元二次方程根的情况
例题：（2022·云南·昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可．
【详解】
解：A．选项实数根为，故该一元二次方程有两个相等的实数根；
B．选项实数根为和，故该一元二次方程有两个不相等的实数根；
C．选项依题意得：，则，故该一元二次方程没有实数根；
D．选项实数根为，故该一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式， 时一元二次方程有实数根．
【变式训练】
1．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36B．C．9D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可．
【详解】
解：∵方程有两个相等的实数根
∴
解得
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
2．（2022年河南省洛阳市中招第二次调研数学试题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的方程可知，根据方程有两个实数根得，综合求解即可．
【详解】
∵方程是一元二次方程，且有两个实数根，
∴
解得：且，
故选： B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念和根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．但要注意一元二次方程的二次项系数非零．
考点四 解一元二次方程——公式法
例题：（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程．
(1)2x2-5x+1＝0(公式法) (2)．（公式法）
【答案】(1)x1＝，x2＝；(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据公式法，可得方程的解；
（2）先计算根的判别式，再利用公式法解方程即可．
(1)
解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
(2)
解：
则


解得：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与公式法解一元二次方程”是解本题的关键．
【变式训练】
1.（2022·重庆市育才中学八年级期中）解方程：
(1)； (2)
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）利用公式法解一元二次方程即可得．
（1），
，，，，
，
，，
(2)
解：方程中的，
，
则，
故．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．
2.（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x的方程是一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解这个一元二次方程．
【答案】(1)-1
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义求解即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
(1)
关于x的方程是一元二次方程，
解得
(2)
方程为，
即，
，
解得，
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
考点五 解一元二次方程——因式分解法（含十字相乘法）
例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．
(1)x2﹣4x＝5； (2)2（x+1）2＝x（x+1）．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解；
（2）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解．
(1)
解：x2﹣4x＝5，
移项得：x2﹣4x-5=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
∴x-5=0或x+1=0，
解得：；
(2)
解：2（x+1）2＝x（x+1），
移项得：2（x+1）2-x（x+1）=0，
分解因式得：（x+1）（2x+2-x）=0，
∴x+1=0或2x+2-x=0，
解得：．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．
【变式训练】
1.（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：
(1) ；
(2)．
【答案】(1)或；
(2)或
【解析】
【分析】
（1）运用公式法解一元二次方程即可；
（2）运用十字相乘法解一元二次方程．
(1)
∵
∴
解得：或；
(2)
∵
∴，
解得：或．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法、十字相乘法解一元二次方程是解答本题的关键．
2.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
(1)
解：
∴，
(2)
∴，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，因式分解是解本题的关键．
考点六 解一元二次方程——换元法
例题：（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到结论．
【详解】
解：设t=y+1，
则原方程可化为at2+bt+c=0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，
∴t1=3，t2=-5，
∴y+1=3或y+1=-5，
解得y1=2，y2=-6．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．
【变式训练】
1．（2022·湖南邵阳·九年级期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值．
解：设，则原方程变形为，
即
∴
得t1＝﹣2，t2＝1
∴或
已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先换元，再求出t的值，最后求出答案即可．
【详解】
解：设
∴
即，
∴，
解得：，（舍去）
∴
即的值为．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
2．（2022·四川泸州·一模）请阅读下列材料：
解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
解法如下：
将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，
原方程可化为y2﹣5y+4＝0，
解得y1＝1，y2＝4．
（1）当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；
（2）当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．
综合（1）（2），可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
参照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解为 _____．
【答案】，
【解析】
【分析】
仿照范例，可以设，则原方程化为一元二次方程：，先解出y的值，再进一步解出x的值．
【详解】
解：设，则原方程可化为：，
解得：y1＝3，y2＝﹣2，
（1）当y＝3时，x2＝3，解得x1＝，x2＝，
（2）当y＝﹣2．时，x2＝﹣2，此方程无实数根，
综合（1）（2），可得原方程的解是：x1＝，x2＝，
故答案为：x1＝，x2＝
【点睛】
本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
一、选择题
1．（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】
解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
2．（2022·吉林省第二实验学校模拟预测）方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根．B．只有一个实数根
C．没有实数根D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
把a=1，b=-8，c=16代入Δ=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】
解：∵a=1，b=-8，c=16，
∴Δ=b2-4ac=（-8）2-4×1×16=0，
所以方程有两个相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
3．（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）若关于x的方程有实数根，则m的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方程有实数根，利用根的判别式，然后解关于的不等式，即可求出的范围，再根据选项判断即可．
【详解】
解：∵关于的方程有实数根，
∴
∴或，
选项中，只有3满足条件，
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4．（2022·全国·九年级）如果二次三项式x2＋px＋q能分解成（x＋3）（x﹣1）的形式，则方程x2＋px＋q＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝﹣3；x2＝﹣1C．x1＝3；x2＝﹣1D．x1＝3；x2＝1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知分解因式和方程得出x＋3＝0，x−1＝0，求出方程的解即可．
【详解】
解：∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，
∴x+3＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解分解因式法解一元二次方程，能根据题意得出x+3＝0和x﹣1＝0是解此题的关键．
5．（2022·河北张家口·一模）于实数a，b先定义一种新运算“★”如下：a★b=，若，则实数m等于（ ）
A．6B．2C．2或D．2或或6
【答案】B
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当m≤1时， 当m＞1时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可．
【详解】
解：当m≤1时，则1★m=m+2=8，解得：m=6，故无解；
当m＞1时，则1★m=m2+2m=8，解得：m1=2，m2=-4，
∴m=2，
综上，m=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查新定义，一元二次方程解法，理解新定义，列出方程是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】
解：移项得：，
∴，
∴或，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
7．（2022·辽宁丹东·九年级期末）将方程配方成的形式为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先将-9移到等号右边变成，然后等号左右两边同时除以2得到，最后等号左右两边同时加上1，再把左边变成完全平方的形式即可．
【详解】
解：

故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程的配方，掌握如何配方是解题关键．
8．（2022·吉林白山·二模）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为无实数根，即无实数根，根据根的判别式，求出c的取值范围即可．
【详解】
∵无实数根，
∴无实数根，
∴，解得，
∴当时，方程无实数根，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况，，方程有两个不相等的实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个不相等的实数根，正确找到a，b，c的值是解答本题的关键．
9．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围为___________．
【答案】且
【解析】
【分析】
根据当时，方程有两个实数根，求解不等式得到答案．
【详解】
∵当时，方程有两个实数根，
∴
∴
∴且
故答案为：且．
【点睛】
本题考查一元二次方程组的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程组的相关知识．
10．（2022·浙江台州·二模）已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】
将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可．
【详解】
解：一元二次方程的解为，，
，解得，
一元二次方程可化为，
，
，
解得，．
一元二次方程的解为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级）解方程．
(1)
(2)
(3)（
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）根据直接开平方法解一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程；
（3）根据因式分解法解一元二次方程；
（4）根据因式分解法解一元二次方程．
(1)
解：3x+2=±5，
解得；
(2)
3x2-4x-1=0，△=（-4）2-4×3×（-1）=28，
所以；
(3)
（2x+1）2-3（2x+1）=0，
（2x+1）（2x+1-3）=0，
2x+1=0或2x+1-3=0，
解得；
(4)
（x-2）（x-5）=0，
x-2=0或x-5=0，
解得x1=2，x2=5．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级）按指定的方法解下列方程：
(1)x2﹣6x﹣7＝0（配方法）
(2)2x﹣6＝（x﹣3）2（因式分解法）
(3)3x2﹣4x＋1＝0（公式法）
(4)5（x＋1）2＝10（直接开平方法）
【答案】(1)x1＝7，x2＝﹣1
(2)x1＝3，x2＝5
(3)x1＝1，x2
(4)
【解析】
(1)
x2﹣6x﹣7=0
解：移项得：x2﹣6x=7
配方得：x2﹣6x+9=7+9
（x﹣3）2=16
开方得：x﹣3=±4
解得：x1=7，x2=﹣1；
(2)
2x﹣6=（x﹣3）2
解：移项得：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0
提公因式得：（x﹣3）（x﹣3﹣2）=0
由此得：x﹣3=0，或x﹣5=0
解得：x1=3，x2=5；
(3)
（3）3x2﹣4x+1=0
解：
方程有两个不相等的实根，
解得：x1=1，x2=；
(4)
5（x+1）2=10
解：（x+1）2=2
解得：．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
13．（2022·湖南永州·二模）已知关于x的一元二次方程x2−(k+1)x+2k−3=0．
(1)当k=3时，求一元二次方程x2−(k+1)x+2k−3=0的解；
(2)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)x1=3，x2=1；
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）用因式分解法可求出答案；
（2）根据根的判别式公式，得到Δ＞0，即可得到答案．
(1)
解：当k=3时，原方程变为x2-4x+3=0，
∴(x-3)(x-1)=0，
∴x1=3，x2=1；
(2)
证明：∵Δ=(k+1)2-4×(2k−3)
=k2+2k+1-8k+12
=k2-6k+11
=(k-3)2+2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【点睛】
本题考查了根的判别式，解一元二次方程-因式分解法，正确掌握根的判别式是解题的关键．
14．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当是等腰三角形时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)7
【解析】
【分析】
（1）证明△≥0即可；
（2）求出方程的解，根据△ABC是等腰三角形分类讨论即可．
(1)
证明：∵Δ＝(k＋1)2−4(2k−2)
＝k2＋2k＋1−8k＋8
＝k2−6k＋9
＝(k−3)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)
解：原方程分解因式得：(x−2)[x−(k−1)]＝0，
∴x1＝2，x2＝k−1，
当等腰三角形的腰是2时，2＋2＜6，不合题意，
∴等腰三角形的腰是6，
∴k−1＝6，
∴k＝7．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是对原方程进行因式分解，求出方程的根．
15．（2021·河南信阳·九年级阶段练习）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
解方程：
提示：可以用“换元法”解方程．
解；设，则有．
原方程可化为：
续解：
【答案】，
【解析】
【分析】
利用直接开平方法解一元二次方程，得到，，根据可得不符合题意，然后解方程，进而进行检验确定原方程的解．
【详解】
解：，
∴，，
∵，
∴，
则有，配方，得：，
解得：，
经检验：，是原方程的根．
【点睛】
本题考查了无理方程，解无理方程的基础思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意检验．
16．（2021·福建·莆田第二十五中学九年级期中）阅读下面材料：并解答问题．
为解方程，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解此方程，得．
当时，，，∴．
当时，，∴．
∴原方程的解为．
以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．．
【答案】
【解析】
【分析】
设，则原方程化为：再解关于的一元二次方程方程可得再分两种情况解方程即可.
【详解】
解：
设，则原方程化为：

解得：
当时，则
整理得：
解得：
当时，则
整理得：
由
所以方程无解，
所以原方程的解为：
【点睛】
本题考查的是利用换元的方法解方程，熟练的通过换元把高次方程化为一元二次方程是解本题的关键.