初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆同步测试题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆同步测试题，文件包含人教版数学九年级上册第二十四章圆培优检测卷原卷版doc、人教版数学九年级上册第二十四章圆培优检测卷解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
考试范围：第二十四章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级期中）已知的半径为3cm，点A到圆心O的距离为2cm，那么点A与的位置关系是（ ）
A．点A在内B．点A在上C．点A在外D．不能确定
【答案】A
【分析】根据点到圆心的距离d与圆的半径r之间的数量关系进行判断即可．
【详解】解：由题意得：，故：，
∴点A在内，
故选A．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内．
2．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是( )
A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等
B．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧所对的圆周角相等
【答案】D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A进行判断，根据对称轴的定义对B进行判断，根据垂径定理的推论对C进行判断，根据圆周角定理的推论对D进行判断．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；
B、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；
C、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；
D、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，圆的对称性，垂径定理及圆周角定理的推论．
3．（2022·湖北孝感·九年级期末）点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（ ）
A．5cm或9cmB．2.5cm
C．4.5cmD．2.5cm或4.5cm
【答案】D
【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．
【详解】解：①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为2cm，最长距离为7cm，
∴圆的直径为7﹣2＝5（cm），
∴该圆的半径是2.5cm；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为2cm，最长距离为7cm，
∴圆的直径＝7+2＝9（cm），
∴圆的半径为4.5cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．
4．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形对角互补求得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级单元测试）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°，1B．45°，2C．60°，D．120°，4
【答案】C
【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心作于点，先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可得．
【详解】解：这个正六边形的中心角为，
如图，过圆心作于点，
，
是等边三角形，
，
，
即这个正六边形的边心距为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．
6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB过半⊙O的圆心O，过点B作半⊙O的切线BC，切点为点C，连接AC，若∠A＝25°，则∠B的度数是（ ）
A．65°B．50°C．40°D．25°
【答案】C
【分析】连接OC，根据切线的性质，得出∠OCB＝90°，再利用圆的半径相等，结合等边对等角，得出∠A＝∠OCA，然后再利用三角形的外角和定理，得出∠BOC的度数，再利用直角三角形两锐角互余，即可得出∠B的度数．
【详解】解：连接OC，
∵BC与半⊙O相切于点C，
∴∠OCB＝90°，
∵∠A＝25°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠BOC＝40°．
故选：C
【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角和定理、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝45°，半径OB的长为3，则AB的长为_____．
【答案】
【分析】首先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，然后解直角三角形求出AB的长．
【详解】根据题意可知，
，
∠AOB=2∠ACB=，
又知OA=OB=3，

故答案为: ．
【点睛】本题考查圆周角定理以及勾股定理，熟练掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解题的关键.
8．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是图____________ （填“甲”、“乙”或“丙”）．
【答案】乙
【分析】根据90°圆周角所对的弦是直径即可判断．
【详解】解：∵90°的圆周角所对的弦是直径，
∴乙合格．
故答案为乙．
【点睛】本题考查圆周角定理、解题的关键是灵活运用圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．
9．（2021·云南·富源县第七中学九年级期中）如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝50°，∠DCF＝35°，那么∠A＝________．
【答案】100°##100度
【分析】根据EB、EC是⊙O的两条切线，∠E=50°计算出∠BOC=130°，再根据计算出∠BAC，最终计算出∠A．
【详解】解：如图，连接OB，OC，AC，OD，BD,
∵EB、EC是⊙O的两条切线，∠E=50°，∠DCF=35°，
∴，
∵∠DCF=35°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在四边形BECO中，，
∴，
∴，
∴∠BAD=35°+65°=100°，
故答案为100°．
【点睛】本题考查圆、切线和四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和切线的性质定理．
10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 __．
【答案】1
【分析】连接OA、OC、OD，证△OCD是等边三角形，得OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，再证∠OCG＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OGOC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质，证明△OCD为等边三角形是解题的关键．
11．（2021·浙江·温州市实验中学九年级期中）如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的轴对称图形，叫做两心尖拱．如图2，已知P，Q分别是和所在圆的圆心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，则拱高CD的长为 _____m．
【答案】
【分析】如图，连接CQ，然后求出PD、PC的长，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接CQ．
由题意CQ＝CP，CD⊥PQ，
∴DQ＝DP＝PQ＝1（m），
∵PA＝QB，
∴AQ＝PB＝（AB﹣PQ）＝2（m），
∴PC＝PA＝2+2＝4（m），
∴CD＝＝＝（m），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理等知识点，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解答本题的关键．
12．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当______时，与坐标轴相切．
【答案】1或3或5
【分析】设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，证明出是等腰直角三角形，，然后分三种情况进行讨论：①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时．
【详解】解：设与坐标轴的切点为，
直线与轴、轴分别交于点、，点，
时，，
时，，
时，，
，，，
根据勾股定理：，，，
是等腰直角三角形，，
①当与轴相切时，
点是切点，的半径是1，
轴，，
是等腰直角三角形，
，，
，
点的速度为每秒个单位长度，
；
②如图，与轴和轴都相切时，
，
，
点的速度为每秒个单位长度，
；
③当点只与轴相切时，
，
，
点的速度为每秒个单位长度，
．
综上所述，则当或3或5秒时，与坐标轴相切，
故答案为：1或3或5．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的判定及性质，利用分类讨论的思想求解．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．设经过A、B、C三点的圆弧所在的圆的圆心为点M，
(1)点M的坐标为 ；
(2)点D（5，﹣2）在⊙M （填“内”、“外”、“上”）．
【答案】(1)（2，0）
(2)内
【分析】（1）由网络可得出线段AB和BC的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标；
（2）利用勾股定理求出AM和MD的长，根据点与圆的位置关系即可作出结论．
（1）
解：如图，作线段AB和BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）
解：由图知， 圆的半径，，
∵，
∴点D在圆M内，
故答案为：内．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、点与圆的位置关系以及坐标与图形性质，解答的关键是利用网格结构得出圆心M的位置，并熟知点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外．
14．（2022·河北邢台·九年级期末）已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6．
(1)求正六边形的边长；
(2)以A为圆心，AF为半径画弧BF，求．
【答案】(1)6
(2)4π
【分析】（1）根据正六边形的边长与半径相等即可解决问题；
（2）由正六边形的性质和弧长公式即可得出结果．
（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴正六边形的边长＝半径OA＝6；
（2）∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCF＝120°，∴弧BF的长为．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、弧长公式；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
15．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．
(1)求的度数；
(2)若的半径为3，求圆弧的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明是等边三角形，得到，从而计算出的度数；
（2）计算出圆弧的圆心角，根据圆弧弧长公式计算出最终的答案．
（1）
如下图，连接AO
∵是的切线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴是等边三角形
∴
∵
∴
（2）
∵
∴
圆弧的长为：
∴圆弧的长为．
【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的相关知识．
16．（2022·全国·九年级课时练习）如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．
（1）
连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）
在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．
17．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的弦，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过O作OC⊥AP于点C，OD⊥BP于点D．
(1)试判断CD与AB的数量和位置关系？并说明理由；
(2)若，AP=4，则⊙O的半径为________．（直接写出答案）
【答案】(1)，，理由见解析
(2)
【分析】（1）先根据垂径定理得到，然后根据三角形中位线定理判断与的关系；
（2）连接，根据圆周角定理可得，勾股定理即可求解．
（1）
解：，．
理由：∵于点，于点，
∴，，
∴为的中位线，
∴，．
（2）
解：如图，连接，
∵，
∴，
在中，AP=4，
∴，
解得（负值舍去）．
∴的半径为．
【点睛】本题考查了垂径定理，中位线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
(1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．
【答案】(1)∠E＝35°
(2)见解析
【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案；
（2）先根据“ASA”证明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再结合已知条件得出答案即可.
（1）
连接AC，
∵为120°，为50°，
∴，，
∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；
（2）
证明：连接AC、BD，
∵，
∴∠A＝∠D，
在△ACE和△DBE中，
，
∴△ACE≌△DBE（ASA），
∴BE＝CE，
∵AE＝DE，
∴AE-BE＝DE-CE，
即AB＝CD．
【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．
19．（2021·广东惠州·九年级期末）如图在中，∠C=90º，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OEAB，交BC于E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)如果⊙O的半径为3，DE=4，求AB的长；
(3)在（2）的条件下，求△ADO的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再利用，得出，进而得出，进而得出，即可得出结论；
（2）根据（1），得出是直角三角形，根据勾股定理，得出，再根据三角形的中位线定理，即可得出AB的长；
（3）连接CD，根据圆周角定理，得出，再根据等面积法，得出的长，然后根据勾股定理，得出的长，再根据三角形的面积公式，得出的面积，再根据三角形中线平分三角形的面积，即可得出的面积．
（1）
证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴DE是⊙O的切线．
（2）
解：由（1），可得：三角形是直角三角形，
在中，
∵，
∴，
又∵O、E分别是AC、BC的中点，
∴；
（3）
解：如图，连接CD，
∵是直径，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵O是AC中点，即OD是的中线，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、切线判定定理、勾股定理、三角形的中位线定理、圆周角定理、三角形中线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
20．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是BA上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点P，与AC相切于点D，已知AB=8，⊙O的半径为r．
(1)如图1，若AP=DP，则⊙O的半径r值为_______；
(2)求BC=6，求⊙O的半径r长；
(3)若AD的垂直平分线和⊙O有公共点，求半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由AP=DP，得∠PDA=∠A，再由等角的余角相等证明∠PDO=∠POD，则AP=OP=OB=r，列方程可求出r的值；
（2）连接OC、OD，由勾股定理求出AC的长，再根据面积等式列方程即可求出r的值；
（3）设AD的垂直平分线交AD于点F，与的一个交点为点E，当EF与相切时r的值最小，可求出r的最小值；再由OB+OD