初中数学人教版（2024）七年级上册3.1.1 一元一次方程教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册3.1.1 一元一次方程教学设计，共12页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第三章“一元一次方程”3.3.2 一元一次方程的解法（二）去分母，内容包括：含有分数系数的一元一次方程的解法.
2.内容解析
本节课知识与前面几个课时密切相连，是学习解一元一次方程方法的最后一节课.在掌握知识方面不仅要求学生学会去分母解方程的方法，更要把前面所学的知识与之融会贯通，能够按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序，有目的、有步骤的求一元一次方程的解，并达到灵活运用.从而体会并掌握解一元一次方程的化归思想，提高运算能力.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：含有分数系数的一元一次方程的解法.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.
(2)熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.
2.目标解析
(1)对解方程的步骤有整体的了解；通过去分母解方程，体会数学的“化归”的思想方法；
(2)通过归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程的程序化思想方法；培养学生自觉探索意识，让学生在解题中享受到成功的喜悦.
三、教学问题诊断分析
尽管学生已经在前面几节课学习了一些解一元一次方程的步骤，但是去分母的原理和容易错的地方仍然是这节课需要解决的重点和难点.通过合作探究让学生体验知识的形成和运用的过程，提高学生学习的主动性，帮助学生的数学学习.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程解决.
四、教学过程设计
（一）自学导航
英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物－－纸草书.这是古代埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作，它于公元前1700年左右写成.这部书中记载了许多有关数学的问题，下面的问题就是书中一道著名的求未知数的问题.
问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，求这个数.
解：设这个数是x，根据题意得
你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好.
【点睛】像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.
解：设这个数是x，根据题意得
我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等. 这个方程中各分母的最小公倍数是42，方程两边乘42，得
即 28x＋21x＋6x＋42x=1386
合并同类项，得 97x=1386
化系数为1，得 x=
答：这个数为x= .
解方程：
思考：
1. 若使方程的系数变成整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？
2. 去分母时要注意什么问题？
这个方程中各分母的最小公倍数是10，方程两边乘10.
去分母时要注意等号两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，一定注意不含分母的项（常数项）别忘了漏乘.
方程两边乘10，于是方程左边变为
方程右边变为什么？你具体算算.
【归纳】解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等.通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等.
（二）考点解析
例1.解下列方程：
(1)+1=； (2)－2=； (3)(1－2x)=(3x+1)； (4)+1=－.
解：(1)去分母(方程两边乘6)，得2(2x－1)+6=3(x+2).
去括号，得4x－2+6=3x+6.
移项，得4x－3x=6－6+2.
合并同类项，得x=2.
(2)去分母(方程两边乘12)，得3(x－1)－24=2(3x+2).
去括号，得3x－3－24=6x+4.
移项，得3x－6x=4+3+24.
合并同类项，得－3x=31.
系数化为1，得x=－.
(3)去分母(方程两边乘21)，得7(1－2x)=6(3x+1).
去括号，得7－14x=18x+6.
移项，得－14x－18x=6－7.
合并同类项，得－32x=－1.
系数化为1，得x=.
(4)去分母(方程两边乘12)，得6(x－1)+12=4(x+1)－3(2x+3).
去括号，得6x－6+12=4x+4－6x－9.
移项，得6x－4x+6x=4－9+6－12.
合并同类项，得8x=－11.
系数化为1，得x=－.
【迁移应用】
1.在解方程－1=时，为了去分母，最好将方程两边同乘( )
A.4 B.6 C.12 D.16
2.将方程－=1去分母，下列变形正确的是( )
A.2x－x+1=1 B.2x－(x+1)=1 C.2x－x+1=4 D.2x－(x+1)=4
3.解下列方程：
(1)； (2)1－=； (3)－x=； (4)－(2－x)=x.
解：(1)去分母(方程两边乘10)，得5(3x－1)=2(4x+2).
去括号，得15x－5=8x+4.
移项，得15x－8x=4+5.
合并同类项，得7x=9.
系数化为1，得x=.
(2)去分母(方程两边乘4)，得4－(3x－1)=2(3+x).
去括号，得4－3x+1=6+2x.
移项，得－3x－2x=6－4－1.
合并同类项，得－5x=1.
系数化为1，得x=－.
(3)去分母(方程两边乘12)，得4(2x－1)－12x=3(2x+1).
去括号，得8x－4－12x=6x+3.
移项，得8x－12x－6x=3+4.
合并同类项，得－10x=7.
系数化为1，得x=－.
(4)去分母(方程两边乘2)，得3x－2－2(2－x)=2x.
去括号，得3x－2－4+2x=4x.
移项，得3x+2x－2x=2+4.
合并同类项，得3x=6.
系数化为1，得x=2.
例2.已知式子－1与，当3x取何值时，它们的值互为相反数.
解：根据题意，得－1+=0.
去分母，得7(x+3)－21+3(2x－1)=0.
去括号，得7x+21－21+6x－3=0.
移项，得7x+6x=3－21+21.
合并同类项，得13x=3.
系数化为1，得x=.
所以当x=时，式子－1与的值互为相反数.
【迁移应用】
1.如果a+1与的值互为相反数，那么a的值为( )
A. B.10 C.－ D.－10
2.若式子与的值的和等于2，则x的值为______.
3.已知比的值大1，求2－a的值.
解：根据题意，得－=1.
去分母，得7(a+3)－4(2a－3)=28.
去括号，得7a+21－8a+12=28.
移项，得7a－8a=28－21－12.
合并同类项，得－a=－5.
系数化为1, 得a=5.
所以2－a=－3.
例3.解方程：=+2.
解：方程整理，得=.
去分母、去括号，得12x+30=10x+15+30.
移项，得12x－10x=15+30－30.
合并同类项，得2x=15.
系数化为1，得x=7.5.
【迁移应用】
依据下列解方程=的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据.
解：原方程可变形为=.(______________)
去分母，得3(3x+5)=2(2x－1)(_____________)
去括号，得9x+15=4x－2(_________).
(______)，得9x－4x=－2－15(_______________).
合并同类项，得5x=－17(________________).
(___________)，得x=－.(_______________)
例4.阅读下列材料：
请参照这种方法解方程3(x+1)－(x－1)= 2(x－1)－(x+1).
解：整理，得3(x+1)+(x+1)=2(x－1)+(x－1)，即(x+1)=(x－1).
两边都除以7，得(x+1)=(x－1).
去分母，得3(x+1)=2(x－1).
去括号，得3x+3=2x－2.
移项，得3x－2x=－2－3.
合并同类项，得x=－5.
【迁移应用】
解下列方程：
(1)3(7x－5)－(5－7x)+(7x－5)=7(5－7x)； (2)5(2x+3)－(x－2)=2(x－2)－(2x+3).
解：(1)原方程可变形为3(7x－5)+(7x－5)+(7x－5)=－7(7x－5).
移项，得3(7x－5)+(7x－5)+(7x－5)+7(7x－5)=0.
合并同类项，得(7x－5)=0，即7x－5=0.21
移项，得7x=5.
系数化为1，得x=.
解：(2)整理，得5(2x+3)+(2x+3)=2(x－2)+(x－2)，即(2x+3)=(x－2).
两边都除以，得2(2x+3)=x－2.
去括号，得4x+6=x－2.
移项，得4x－x=－2－6.
合并同类项，得3x=－8.
8系数化为1，得x=－.
例5.下面是小贝同学解方程－=1的过程，请认真阅读并完成相应问题.
解：去分母，得4(x－1)－3(3x－2)=12.………第一步
去括号，得4x－4－9x+6=12. ………………第二步
移项，得4x－9x=12+6－4.……………………第三步
合并同类项，得－5x=14.……………………第四步
系数化为1，得x=－…………………………第五步
(1)以上解题过程中，第一步是依据____________进行变形的； 第二步是依据________进行变形的；
(2)第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_______________;
(3)请写出该方程的正确解答过程.
解：(3)去分母，得4(x－1)－3(3x－2)=12.
去括号，得4x－4－9x+6=12.
移项，得4x－9x=12－6+4.
合并同类项，得－5x=10.
系数化为1，得x=－2.
【迁移应用】
王老师给同学们出了一道解方程的题目：－=1.小明同学的解题过程如下：
去分母，得2(x+1)－x－1=6. ①
去括号，得2x+1－x－1=6. ②
移项，得2x－x=6－1+1. ③
合并同类项，得x=6. ④
请你指出小明的解题过程从哪步开始出现错误？并将正确的解题过程写下来.
解：从第①步开始出错.正确的解题过程如下：
去分母，得2(x+1)－(x－1)=6.
去括号，得2x+2－x+1=6.
移项，得2x－x=6－2－1.
合并同类项，得x=3.
（三）课外延伸
丢番图的墓志铭：
“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一.又过十二分之一，两颊长胡.再过七分之一，点燃结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.”
你知道丢番图去世时的年龄吗？请你列出方程来算一算.
解：设丢番图活了x岁，据题意得
解得 x=84
答：丢番图活了84岁.
（四）小结梳理
解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等.通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等.
五、教学反思