人教版（2024）七年级上册4.3.3 余角和补角教学设计

这是一份人教版（2024）七年级上册4.3.3 余角和补角教学设计，共14页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第四章“几何图形初步”4.3.3 余角和补角，内容包括：余角、补角的概念；余角和补角的性质；利用余角、补角的知识解决相关问题；用方位角知识解决一些简单的实际问题.
2.内容解析
余角和补角是新人教版七年级上册第四章《几何图形初步》这一章中两个比较重要的基本概念.前面学生对角的度量和大小比较的学习已经为学习角和补角打下了一定的基础，通过对余角和补角的性质的探索，让学生初步了解学习运用几何语言分析和解决问题“简单说理”，为以后证明角的相等提供依据和方法，是以后学习的重要基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：认识角的互余、互补关系及其性质.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)了解余角、补角的概念.
(2)掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.
(3)了解方位角的概念，初步掌握方位角的判别；并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
2.目标解析
学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，理解互余与互补的角的性质并会运用；学生初步接触和体会演绎推理的方法和表述，并且能用简单的代数思想一方程思想来处理图形的数量关系；通过探索互余、互补角的性质，培养学生乐于合作、勇于探究的精神.
三、教学问题诊断分析
七年级学生，童稚未尽.小学的学习方法、思维方式还占主要地位.以形象思维为主，还没有形成抽象思维，尤其是知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养.因此学习这部分内容，一定要让他们多动手，多看图，多讨论.在讨论交流中学习知识.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质.
四、教学过程设计
（一）情境引入
如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？画出图形，并简述你的测量方法.
（二）自学导航
求下列各图中的两个角的和，并根据这些和把这四个图分成两组. 你是怎么分的？每一组中的两个角的和有什么共同的特点？
(2)(4)为一组，它们的和都是90°，(1)(3)为一组，它们的和都是180°.
【归纳】
一般地，如图(1)，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角.
类似地，如图(2)，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
在一副三角板中，每块都有一个角是90°，那么另外两个锐角之和是多少度呢？这两个锐角之间有什么关系？
30°＋60°＝90°(互余)，45°＋45°＝90°(互余).
图中给出的各角，哪些互为余角？
图中给出的各角，哪些互为补角？
（三）合作探究
思考1：
观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.
思考2：(1) 若∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？
(2) 若∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么∠2与∠4的大小有什么关系？
(1) 因为 ∠1与∠2，∠3都互为补角，
所以 ∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1
所以 ∠2=∠3
(2) 因为 ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补
所以 ∠2=180°-∠1，∠4=180°-∠3
因为 ∠1=∠3
所以 ∠2=∠4
【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角相等.余角的性质：同角(等角)的余角相等.
（四）考点解析
例1.已知∠α的余角是它补角的，求∠α的度数.
解：∠α 的余角为90°-∠α，补角为180°-∠ α.
根据题意，得90°-∠ α =( 180°-∠ α)，
解得∠α =67.5°.
【迁移应用】
1.若∠α =29°45′，则∠α的余角等于( )
A.60°55′ B.60°15′ C.150°55′ D.150°15′
2.已知∠1与∠2互余，∠1=(7x-2)°，∠2=(3x+2)°，则x的值是_____.
3.一个锐角的补角等于这个锐角的余角的3倍，求这个锐角的度数.
解：设这个锐角的度数为x°.
根据题意，得180-x=3(90-x) ，
解得x=45.
故这个锐角的度数为45°.
例2.(1)如图①,∠AOB=∠COD=90°,∠1与∠2相等吗？为什么？
(2)如图②，直线MN与PQ相交于点E,∠1与∠2相等吗？为什么？
解：(1)相等.理由如下：
因为∠COD=90°，
所以∠2+∠BOC=90°.
因为∠AOB=90°,
所以∠1+∠BOC=90°.
所以∠1=∠2.
(2)相等.理由如下：
因为点M,E,N在同一条直线上，
所以∠MEN=180°，即∠2+∠PEN=180°.
因为点P,E,Q在同一条直线上，
所以∠PEQ=180°，即∠1+∠PEN=180°.
所以∠1=∠2.
【迁移应用】
1.已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么( )
A.∠2＞∠4 B.∠2＜∠4 C.∠2=∠4 D.∠2与∠4的大小不确定
2.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角板，则与∠AOD始终相等的角是( )
A.∠BOD B.∠ABO C.∠BOC D.∠BAO
3.如图，D是直线EF上一点，∠CDE=90°，∠1=∠2，哪些角互为余角？哪些角互为补角？
解：∠1与∠ADC，∠l与∠BDC，∠2与∠BDC，∠2与∠ADC互为余角；
∠l与∠ADF，∠l与∠BDE，∠2与∠ADF，∠2与∠BDE，∠CDE与∠CDF互为补角.
例3.∠l，∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是( ).
A.∠1+∠2 B.∠1-∠2 C.∠1-90° D.90°-∠1
【迁移应用】
1.如图，0是直线AB上一点，0E平分∠AOB，∠COD=90°，则图中互余、互补的角各有( )
A.3对、3对 B.4对、7对 C.4对、4对 D.4对、5对
2.若∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子：①90°-∠β；②∠α-90°；③(∠α+∠β)；④(∠α-∠β).其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
例4.如图，已知∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，OE,OF分别为∠AOB和∠COD的平分线，且∠AOD=130°.
(1)求∠BOC的度数；(2)求∠EOF的度数.
解：(1)因为∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，
所以∠AOB+∠BOC=90°,∠COD+∠BOC=90°，
所以(∠AOB+∠BOC+∠COD)+∠BOC=180°,
即∠AOD+∠BOC=180°.
因为∠AOD=130°，
所以∠BOC=180°-∠AOD=50°.
(2)因为∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角，∠BOC= 50°，
所以∠AOB=∠COD=40°.
因为OE,OF分别是∠AOB,∠COD的平分线，
所以∠AOE=∠AOB=20°,∠DOF=∠COD=20°，
所以∠EOF=∠AOD-∠AOE-∠DOF=130°-20°- 20°= 90°.
【迁移应用】
1.如图，∠AOB和∠AOD分别是∠AOC的余角和补角，且OC是∠BOD的平分线，求∠COD的度数.
解：设∠AOB=x°.
因为∠AOB是∠AOC的余角，所以∠AOC= (90-x)°.
因为∠AOD是∠AOC的补角，
所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-( 90-x)°=(90+x)°，所以∠COD=∠AOD-∠AOC=(90+x)°-(90-x)°=(2x)°,
∠BOC=∠AOC-∠AOB=(90-x)°-x°=(90-2x)°.
因为OC是∠BOD的平分线，
所以∠COD=∠BOC,
所以2x=90-2x,
解得x=.所以∠COD=2x=45°.
2.如图，0D平分∠BOC, OE平分∠AOC.
(1)若∠BOC=70°，∠AOC=50°.
①求∠AOB及其补角的度数；
②求∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，说明理由.
(2)若∠BOC=α,∠AOC=β，则∠DOE 与∠AOB是否互补？说明理由.
解：(1)①∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°，∠AOB的补角为180°-∠AOB=60°.
②∠DOC=35°，∠AOE=25°，∠DOE与∠AOB互补.理由如下：
因为OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∠BOC=70°，∠AOC=50°，
所以∠DOC=∠BOC=35°，∠COE=∠AOC=25°.
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25°=60°.
由①知∠AOB=120°，
所以∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°.
所以∠DOE与∠AOB互补.
(2)∠DOE与∠AOB不一定互补.理由如下：
由题意，得∠DOC=∠BOC=α,∠COE=∠AOC=β，
∠AOB=∠BOC+∠AOC=α+β，
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=α+β=(α+β)
所以∠DOE+∠AOB=(α+β)+(α+β)=(α+β).
因为α+β的度数不确定，
所以∠DOE与∠AOB不一定互补.
（五）自学导航
方位角
1.正东、正南、正西、正北分别是射线OA、OB、OC、OD
2.东南方向是射线OG，东北方向是射线OH，西南方向是射线OF，西北方向是射线OE.
3.东南方向(__________)，东北方向(__________)， 西南方向(__________)，西北方向(__________).
4.射线OA表示的方向是：___________；射线OB表示的方向是：___________；射线OC表示的方向是：___________；射线OD表示的方向是：___________.
（六）考点解析
例5.如图，指出0A是表示什么方向的一条射线？仿照这条射线画出表示下列方向的射线：
(1)射线OB：南偏东25°；
(2)射线OC：南偏西60°；
(3)射线OD：西北方向.
解：射线0A表示北偏东30°方向.
(1)射线OB如图所示.
(2)射线OC如图所示.
(3)射线0D如图所示.
【迁移应用】
1.如图，下列说法中错误的是( )
A.OA的方向是东北方向
B.OB的方向是北偏西30°
C.OC的方向是南偏西60°
D.OD的方向是南偏东30°
2.海面上货轮A在客轮B的北偏东68°方向上，则客轮B在货轮A的( )方向上.
A.北偏东68° B.南偏西68° C.北偏东22° D.南偏西22°
3.如图，已知射线OA与射线OB的夹角为90°， 射线0A表示北偏西25°的方向，则射线OB表示的方向为______________.
例6.元元家有一张某市城区地图(如图①)，上面标有医院、书店、少年宫三地.元元不小心把墨水洒到了地图上，少年宫的具体位置看不清楚了，只知道少年宫在医院的南偏东55°的方向上，在书店的北偏东30°的方向上.根据以上信息，你能帮元元确定出少年宫的位置吗？画图说明.
解：如图②所示，点A为少年宫的位置.
【迁移应用】
如图，点O是学校所在位置，A村位于学校南偏东42°方向上，B村位于学校北偏东25°方向上，C村位于学校北偏西65°方向上，在B村和C村之间有一条公路OE(射线)平分∠BOC.
(1)求∠AOE的度数.
(2)公路OE上的车站D相对于学校0的方位是什么？
(以正北、正南方向为基准)
解：如图.
(1)因为A村位于学校南偏东42°方向上，
所以∠1=42°.
因为B村位于学校北偏东25°方向上，
所以∠4=25°.
所以∠AOB=180°-∠1-∠4=113°.
因为C村位于学校北偏西65°方向上，
所以∠COM=65°.
所以∠BOC=∠COM+∠4=65°+25°=90°.
因为OE平分∠BOC,
所以∠BOE=∠COE=∠BOC=45°.
所以∠AOE=∠AOB+∠BOE=113°+45°=158°.
(2)∠EOM=∠BOE-∠4=45°-25°= 20°,
所以车站D在学校的北偏西20°方向上.
五、教学反思