初中苏科版（2024）1.3 探索三角形全等的条件达标测试

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1. 下列说法：
有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；
有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；
有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】本题考查了直角三角形全等的判定，除了外，还有一般三角形全等的四个判定定理，要找准对应关系．根据直角三角形全等的判定法则进行分析即可得答案．
【详解】
解：有两条直角边对应相等的两个直角三角形，可根据或判定这两个直角三角形全等，故正确；
有斜边对应相等的两等腰直角三角形，可根据或或判定这两个直角三角形全等，故正确；
有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形，利用可判定两个直角三角形全等，故正确；
有一条边相等的两个等腰直角三角形，相等的边有可能是一条直角边和一条斜边，不能判定两个直角三角形全等，故错误，
故不正确的只有一个，
故选C．
2. 如图，，若添加一个条件，可使用“”判定与全等，则以下给出的条件适合的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，知道“”即为斜边及一直角边对应相等的两直角三角形全等是解题的关键．由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等．
【详解】
解：在和中，，斜边．
A.添加此条件则满足，能判定和全等；
B.添加此条件还不能满足全等的条件，不能判定和全等；
C.添加此条件则满足，能判定和全等，但不符合题意；
D.添加此条件则满足，能判定和全等，但不符合题意；
故选A．
3. 如图，已知，有四个可添加的条件：；；；能使≌的条件有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】D
【解析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定并能熟练运用根据已知条件和全等三角形的判定逐个判断即可．
【详解】
解：添加，可根据判定；
添加，可根据判定；
添加，可根据判定；
添加，可根据判定．
共有个可以使的条件．
故选D．
4. 在如图中，，于，于，、交于点，则下列结论中不正确的是( )
A. ≌
B. 点在的平分线上
C. ≌
D. 点是的中点
【答案】D
【解析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【详解】解：、，于，于，≌，正确；
B、≌，，，故点在的平分线上，正确；
C、≌，，，≌，正确；
D、无法判定，错误；
故选：．
5. 如图，在不等边中，，垂足为，，垂足为，且，在上，，下列结论：，其中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角的性质，比较复杂，熟记性质并准确识图是解题的关键．
利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得；全等三角形对应角相等可得，再根据等边对等角可得，从而得到，然后根据内错角相等，两直线平行可得；欲证和全等，须得，从而得到，而此条件无法得到，所以，两三角形不一定全等．
【详解】
解：，，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
，
，
，
，
，故正确；
假设≌，
则，
，
，
又，
，
此条件无法从题目得到，
所以，假设不成立，故错误．
综上所述，正确的是．
故选：．
6. 如图所示，已知在中，，，交于点，若，则______
【答案】
【解析】此题考查了直角三角形全等的判定与性质，掌握直角三角形全等的判定与性质是关键，先证明≌，得到，根据，得到，，即可得到．
【详解】
解：，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
故答案为．
7． 如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当_______时，和全等．
【答案】或
【解析】本题考查了直角三角形全等的判定根据直角三角形全等的判定依据，当或时，即可证得和全等．
【详解】
解：当或时，和全等，理由如下：
，，
，
当时，
在和中，
≌；
当时，
在和中，
≌；
故答案为或．
8. 如图，已知，利用尺规在上找一点，使得与均为直角三角形不写作法，保留作图痕迹
【解析】过点作的垂线，垂足为，点满足条件．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
【答案】解：如图，点为所作．

9. 如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且求证：≌．
【解析】根据证明和全等，进而利用全等三角形的性质得出，进而利用证明全等即可．
此题考查直角三角形的全等的判定，关键是根据证明和全等解答．
【详解】证明：在和中，
，
≌，
，
与分别为，边上的中线，
，
在和中，
，
≌．
10. 如图，已知，，在线段上，与交于点，且，求证：≌．
【解析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到．
由通过等量代换得到，结合，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
【详解】证明：，
，即，
，
与都为直角三角形，
在和中，
≌．
11. 如图，是内的一点，，，垂足分别为点，，求证：．
【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明≌是本题的关键．
【详解】证明：如图，连接，
，，
，
，，
≌
．
12．已知：如图，，，，求证：．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定有关知识，证明≌，得到，再证，得到，根据平行线的判定得证．
【详解】证明：，，
在与中，
，
，，
，即，
在与中，
，
，
．
1.如图，已知，，与相交于点，连接，求证：．
【解析】本题主要考查了直角全等三角形的判定和性质，关键是熟练掌握三角形全等的判定方法先根据全等三角形的性质得出边相等，然后利用证明两个直角三角形全等，利用全等三角形的对应边相等可得结论．
【详解】证明：连接．
，
，，
在和中，
，
，
，
，
即．
2.如图，，分别为线段上的两个动点，且于点，于点若，，交于点．
求证：，；
当，两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求解即可得到；再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
与的证明思路完全相同．
【详解】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，即，
在和中，
，
≌
；
，仍然成立．理由如下：
在和中，
，
≌，
，
，即，
在和中，
，
≌，
．
问题提出学习了三角形全等的判定方法即“”“”“”“”和直角三角形全等的判定方法即“”后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
初步思考我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后，对进行分类，可以分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
深入探究
第一种情况：当为直角时，．
如图，在和中，，，，根据________，可以知道．
第二种情况：当为钝角时，．
如图，在和中，，，，且、都是钝角．求证：．
第三种情况：当为锐角时，和不一定全等．
在和中，，，，且、都是锐角，请你用尺规在图中作出，使和不全等不写作法，保留作图痕迹．
还要满足什么条件，就可以使得，请直接填写结论．
在和中，，，，且、都是锐角．若________，则．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．
根据直角三角形全等的方法“”证明；
过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，根据等角的补角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等；
以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等；
根据三种情况结论，不小于即可．
【详解】解：在和中，
，，，
故答案为；
如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．
．
，且、都是钝角，
，即．
在和中，
．
．
在和中，
．
．
在和中，
如图，即为所求作的三角形；
答案不唯一，如，
在和中，
，，，且、都是锐角，
若，
则，
故答案为：答案不唯一，如．