苏科版数学八年级上册同步分层练习第1章 全等三角形知识梳理+热考题型（2份，原卷版+解析版）

这是一份苏科版数学八年级上册同步分层练习第1章 全等三角形知识梳理+热考题型（2份，原卷版+解析版），文件包含苏科版数学八年级上册同步分层练习第1章全等三角形知识梳理+热考题型-原卷版doc、苏科版数学八年级上册同步分层练习第1章全等三角形知识梳理+热考题型-解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
第1章 全等三角形 本章知识综合运用内容预览有关概念●●1、全等图形：能完全重合的图形叫做全等图形．◆全等变换：通过平移、旋转、翻折这几种方式图形的形状、大小不发生改变，换而言之，就是三种变换前后的图形是全等的，所以我们也把这三种变换叫做全等变换.●●2、全等三角形：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；③三角形全等不因位置发生变化而改变。基本性质●●全等三角形的性质◆全等三角形的对应边相等，对应角相等. （注意写法：字母一一对应）理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角.延伸：①全等三角形的周长相等、面积相等.②全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.判定方法●●1、全等三角形的判定方法理解：三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等.●●2、全等三角形的判定的基本思路◆已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.◆已知一边一角：若边为角的对边：找任一角（AAS）.若边就是角的一条边：①找这条边上的另一角（ASA）；②找这条边上的对角（AAS）；②找该角的另一边（SAS）.◆已知两角：①找两角的夹边（ASA）；②找任意一边（AAS）.●●3、全等三角形的判定的基本模型◆平移型：平行线，重叠线段◆翻折型：公共边，公共角，对顶角◆旋转型：对顶角，重叠角和重叠线段 ◆一线三等角型：◆手拉手型： ◆半角全等型： ●●4、全等三角形的判定常用辅助线◆直接连线构造全等三角形：◆倍长中线构造全等三角形：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线”的方法添加辅助线.所谓倍长中线，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.◆截长补短构造全等三角形：(1)“截长法”,即在长线段上取一段,使之等于其中一条短线段,然后证明剩下的线段等于另一条短线段.(2)“补短法”,即延长短线段,使延长部分等于另一条短线段,再证明延长后的线段等于长线段;或延长短线段,使延长后的线段等于长线段,再证明延长部分等于另一条短线段.尺规作图●●1、用尺规作角平分线和直线的垂线◆用尺规作角平分线◆过直线外一点作已知直线的垂线◆过直线上一点作已知直线的垂线●●2、用尺规作三角形◆已知两边及夹角作三角形◆已知两角及夹边作三角形◆已知三边作三角形◆已知斜边及直角边作直角三角形全等图形识别题型一【例题】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，与所给图案是全等图形的是（    ）A． B． C． D．【解析】解：由全等图形的定义可知，与所给图案是全等图形的是选项C，故选：C．【变式1】（2021秋·河北保定·八年级校考阶段练习）下列图形：①两个正方形；②每边长都是的两个四边形；③每边都是的两个三角形；④半径都是的两个圆．其中是一对全等图形的是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】①两个正方形是相似图形，但不一定全等，故本项错误；②每边长都是的两个四边形是菱形，其内角不一定对应相等，故本项错误；③每边都是的两个三角形是两个全等的等边三角形，故本项正确；④半径都是的两个圆是全等形，故本项正确．故选：．【变式2】（2022春·七年级单元测试）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ．【解析】解：∵在四边形中，∴，∵四边形与四边形全等，∴由图可知，故答案为：；；12；6．【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试．【解析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可．解：如图所示即为所求．全等三角形的概念题型二【例题】（2023·浙江·八年级假期作业）下列说法正确的是（    ）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．全等三角形的周长和面积分别相等 D．所有的等边三角形是全等三角形【解析】解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；B、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；C、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故该选项正确；D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故该选项错误．故选：C．【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，对于以下结论：①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角，其中正确的是（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】解：△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D．①AB与CD是对应边．故①正确；②AC与CA是对应边．故②正确；③点A与点C是对应顶点．故③错误；④点C与点A是对应顶点．故④错误；⑤∠ACB与∠CAD是对应角．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②⑤，共有3个．故选B．【变式2】（2020秋·江苏南京·八年级南京市金陵汇文学校校考开学考试）下列命题中正确的是（   ）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形的对应角平分线相等【解析】解：A、全等三角形的对应边的高相等，故此选项错误；B、全等三角形的对应边的中线相等，故此选项错误；C、全等三角形的对应角平分线相等，故此选项错误；D、全等三角形的对应角平分线相等，故此选项正确.故选D．全等三角形的性质题型三【例题】（2021秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考开学考试）如图，△ABC ≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上，∠A = 85°，∠E = 50°，AB = 4，EF = 6．（1）求∠ACB的度数．（2）求AC边的取值范围．【解析】解：（1）∵△ABC ≌△DEF，∴∠B=∠E=50°，∵∠A=85°，∴∠ACB=180°-∠B-∠A=45°；（2）∵△ABC ≌△DEF，∴BC=EF=6，∵AB=4，∴AC的范围是2＜AC＜10．【变式1】（2020·山东淄博·统考中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．【变式2】（2023春·七年级单元测试）已知的三边长分别是4、5、8，的三边分别是4、、，若这两个三角形全等，则 ．【解析】解：∵两个三角形全等，∴，，或，，∴或，∴或，故答案为：6或．【变式3】（2022春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考开学考试）如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是 度．【解析】解：观察图形可知，∠1所在三角形与∠9所在三角形全等，∠1与∠9的余角相等，所以∠1与∠9互余，同理∠2与∠6互余，∠4与∠8互余，又因为∠3=∠5=∠7=45°，∴∠1+∠2+∠3+…+∠9=90°×3+45°×3=405°．故答案为：405.【变式4】（2023秋·八年级单元测试）如图，已知线段，于点A，，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 秒后，在线段MA上有一点C，使与全等．【解析】解：当△APC≌△BQP时，，即，解得：；当△APC≌△BPQ时，AP=BP=AB=10米，此时所用时间为10，，不合题意，舍去；综上，出发5秒后，在线段MA上有一点，使与全等．故答案为：5．全等三角形的判定题型四【例题】（2022秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，点E在上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等．【解析】解：图中的全等三角形有：，，；∵D是的中点，∴，∵，，∴；∴，∵，，，∴；∴，∵，，，∴．【变式1】（2020秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，，点分别在上，连结，则下列条件中不能判定的是（     ）A． B．C． D．【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠A=∠A，∴添加A选项中条件可用SAS判定两个三角形全等；添加B选项中条件，无法判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加D选项以后由补角的性质可得∠AEB=∠ADC，根据AAS判定两个三角形全等；故选：B．【变式2】（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，请在下列四个等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF．并予以证明．（写出一种即可）已知：______，______．求证：△ABC≌△DEF．【详解】已知：①④证明如下：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．∴△ABC≌△DEF．已知∶ ②③证明如下：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中∠ACB＝∠F，∠A＝∠D，BC＝EF．∴△ABC≌△DEF．已知∶②④证明如下：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中AC＝DF，∠ACB＝∠F，BC＝EF．∴△ABC≌△DEF．全等三角形的判定和性质综合运用题型五【例题】（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．  (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【解析】（1）解：在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）故答案为：①，SSS；（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．【变式】（（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（   ）A．1 B．2 C．3 D．4【详解】解：①∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C, ∴∠BAE=∠CAF, ∵∠BAE=∠BAC+∠2,∠CAF=∠CAB+∠1,∴∠1=∠2，结论①正确；②在△BAE和△CAF中,  ∠B＝∠C,∠E＝∠F,AE＝AF,∴BE=CF,结论②正确; ③∵△BAE≌△CAF, ∴AB=AC．在△ACN和△ABM中，∠C＝∠B,AC＝AB,∠CAN＝∠BAM,∴△ACN≌△ABM（ASA），结论③正确； ④∵△ACN≌△ABM， ∴AN=AM． ∵AB=AC, ∴BN=CM．在△BDN和△CDM中，∠BDN＝∠CDM,∠B＝∠C,BN＝CM, ∴△BDN≌△CDM,∴DN=DM． ∵∠CMD=∠CAB+∠B,∠C=∠B, ∴∠CMD≠∠C,∴CD≠DM, ∴CD≠DN,结论④错误． 故选:C．●●几种常见的模型◆一线三等角模型：【例题】（2023春·陕西西安·七年级统考期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．（1）求证：；（2）求两堵木墙之间的距离．  【解析】（1）证明：由题意得：，，∴，∴，∴在和中，∴；（2）解：由题意得：，∵，∴，∴，答：两堵木墙之间的距离为．【变式1】（2023·全国·八年级假期作业）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）【解析】（1）证明：如图2，∵，，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴（AAS），∴，∵，∴．（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，．如图1时，，如图2时，，如图3时，，（证明同理）【变式2】（2020秋·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线．        （1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明．【解析】（1），证明：四边形是正方形，又，∴在和中 (AAS)∴AF=BE，AE=DF（2），理由是：四边形是正方形，又，∴在和中 ∴AF=BE，AE=DF， ∴EF=AF-AE=BE-DF.（3），理由是：四边形是正方形，又，∴在和中 （AAS）∴AF=BE，AE=DF， ∴EF=AE-AF=DF-BE◆手拉手模型：【例题】（2023春·山东东营·七年级校考阶段练习）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究：（1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．【解析】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，即，∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE；理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2．所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．所以∠DAB=∠EAC． 在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS）．所以BD=CE，∠DBA=∠ECA．因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°． 即∠DBC+∠ECB=90°．所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°．所以BD⊥CE．综上所述：BD=CE且BD⊥CE．（3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．由图可知，AD=AB，AE=AC，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE=CD，，又∵，∴∠ADC+∠BDC=∠ABE+∠BDC=60°，∴∠BPC=∠ABP+∠BDC+∠DBA=120°，    ∴∠PBC+∠PCB=60°．【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　）①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DFA．1 B．2 C．3 D．4【解析】在中，，，，∵都是等边三角形，∴，，，∴，，∴，，∴，在和中，，∴，故①正确；在中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图：∵，∴，∴，∵，∴，故③正确；在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，故②正确；则，若时，则，∵，∴，则C、F、A三点共线已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误；综上所述，正确的结论有①②③．故选：C．【变式2】（（2020秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等）①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOD= ；③如图2，∠BOD= ；④如图3，∠BOD= ．【答案】①见解析；②60°；③90°；④108°【解析】解：①证明：如图，∵△ABD和△AEC是等边三角，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE．在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS）；②，∴∠CDA=∠EBA，∵∠AFD=∠OFB，∴∠BOD=∠BAD=60°；③如图， 四边形和四边形是正方形，，，，，，即，在和中，，∴△ABE≌△ADC(SAS)，∴∠ABE=∠ADC，∵∠AHB=∠OHD，∴∠BOD=∠BAD=90°；④如图，五边形ABHFD和五边形是正五边形，，，，，，，在和中，，，，∵∠AMB=∠OMD，∴∠BOD=∠BAD=（5-2）×180°÷5=108°．◆半角模型：【例题】（2023·全国·九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【解析】解：成立．证明：将绕点顺时针旋转得到，，，，，，，∴M、、三点共线，，，∵AE=AE，，，，．【变式】（2022秋·山西吕梁·九年级校考期中）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN．探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答．【解析】探究：AM＋BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE.∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE.在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE.∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN，∴AM＋BN＝MN．解：（1）AM＋BN＝MN.证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，∠ACD＝45°，，。∠MDN＋∠ACD＝90°，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°.∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA.∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB.在△DAM和△DBE中,∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE.∵∠MDN＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE.∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE.在△MDN和△EDN中,∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE.∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN，∴AM＋BN＝MN．解：（2）BN−AM＝MN，证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，∠ACD＝45°，，∠MDN＋∠ACD＝90°.∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA.∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN.∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°.在△DAM和△DBE中∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE.∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN.在△MDN和△EDN中,∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE.∵NE＝BN−BE＝BN−AM，∴BN−AM＝MN．●●几种常用的辅助线◆1.直接连线构造全等三角形：【例题】（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图AD与BC相交于点O，且，．求证：．【解析】证明：连接BD∵，又BD=DB∴△ABD≌△CDB（SSS）∴∠A=∠C又∠AOB=∠COD，∴（AAS）【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知：，，，，则（    ）A． B． C．或 D．【解析】连接，如图，在与中，≌ ，，，，，，，，．故选：B．【变式2】（2022秋·江苏盐城·八年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．【解析】解：如图，连接AD．在Rt△ADF和Rt△ADC中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），∴DF＝DC，∵BD＝5，BC＝4，∴CD＝DF＝5﹣4＝1，∵EF＝BC＝4，∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．故答案为：3．◆倍长中线构造全等三角形：【例题】（2023·全国·八年级假期作业）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．  【解析】证明：如图所示：  ，是的中线，，在和中，，．【变式1】（2023春·七年级课时练习）已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（　　）A． B． C． D．【解析】解：延长至E，使，连接BE，∵，∵是中边上的中线，∴，∵，∴∴，∴在中：，即，∴，故选A．【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．【解析】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，∵P为BD的中点，∴BP=PD，又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；②证明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．◆截长补短构造全等三角形：【例题】（2023·江苏·八年级假期作业）如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．  【解析】在上取点F，使  ∵BE，分别是，的平分线∴，∵∴在和中∴∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴．【变式】（2022春·甘肃张掖·八年级校考期中）如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】解：①在AE取点F，使．在Rt△BCE与Rt△FCE中，∴，∴△BCE≌△FCE，，，，，，，故①正确；②AB上取点F，使，连接CF．在与中，，，，，．垂直平分BF，，．又，，，故②正确；③由②知，，，又，，故③正确；④易证，，又，，，故④正确．故答案为：D．尺规作图题型六【例题】(2023秋·山西临汾·八年级统考期末）按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算．已知：在中，，．作边上的高，作的平分线，与相交于点．【解析】如图，线段是边上的高，线段是的角平分线．【变式1】（2022秋·八年级单元测试）小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是（　　）A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④【解析】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选A．【变式2】(2023·山东省·同步练习)尺规作图：如图，小明在作业本上画的被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的，请帮助小明想办法用尺规作图法画出，并说明你的理由．【解析】作图如图所示．理由：在和中，所以．【变式3】 (2023·广东省广州市·专项测试)如图，在中，平分，，．作边上的高，求的度数；作的平分线，分别交，于点，，求的度数．要求尺规作图，保留作图痕迹不写作法【解析】解：如图，高即为所求，，，，，，，如图，射线即为所求，平分，，是的平分线，，，答：的度数为． 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN．（1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明．（2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．