人教版数学八上考点精讲精练11.1与三角形有关的线段（2份，原卷版+解析版）

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11.1与三角形有关的线段一、单选题1．下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，7 D．4，5，10【答案】B【解析】【解答】解：A. ∵1+2=3，∴ 1，2，3不能组成三角形； B. ∵2+3>4, ∴ 2，3，4能组成三角形；C. ∵3+4=7，∴3，4，7不能组成三角形；D. ∵4+57，符合三角形三边关系，周长＝7＋7＋3＝17.故它的周长为17.故答案为：A.【分析】分3为腰、3为底，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而求出周长.【变式4-2】设a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a﹣b+c|的结果是　 　．【分析】可根据三角形的性质：两边之和大于第三边．依此对原式进行去根号和去绝对值．【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，∴a＜b+c，a+c＞b，∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，c+a+b＞0，∴原式＝b+c﹣a﹣a+b﹣c﹣a﹣b﹣c＝﹣3a+b﹣c，故答案为：﹣3a+b﹣c．【点评】本题考查了二次根式的化简和三角形的三边关系定理，关键是根据三角形的性质：两边之和大于第三边去根号和去绝对值解答．三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.注意：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.题型5：三角形三边关系的证明5.已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上，如图，求证：BD－BC＜AD－AB.【答案】证明：∵在△BCD中，BD－BC＜CD, ∵CD=AD－AC且AB＝AC，则CD=AD－AC=AD－AB,即BD－BC＜AD－AB【解析】【分析】在△BCD中，由三角形任意两边之差小于第三边可得BD－BC＜CD, 由线段的构成和已知可得 CD=AD－AC=AD－AB, 代入即可求解.【变式5-1】已知：如图， 是 内一点．求证： ．【答案】证明：延长BP交AC于点D，在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①在△PCD中，PC＜PD+CD②①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，即PB+PC＜AB+AC，即：AB+AC＞PB+PC．【解析】【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，可通过换算得出AB+AC>PB+PC 。【变式5-2】如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP．【分析】由三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，CD+PD＞PC，即可得结论．【解答】证明：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△PDC中，CD+PD＞PC，∴AB+AD+CD+PD＞BD+PC∴AB+AC＞BP+CP．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练运用三角形的三边关系是本题的关键．题型6：三角形中的分类讨论6.等腰三角形的两边长满足|a﹣5|+（b﹣9）2＝0.求这个等腰三角形的周长.【答案】解：根据题意得a-5=0，b-9=0， 解得a=5，b=9，①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、9，∵5+5>9能组成三角形，∴周长=5+5+9=19.②5是底边时，三角形的三边分别为5、9、9，∵5+9>9能组成三角形，周长=9+9+5=23.综上所述，这个等腰三角形的周长为19或23.【解析】【分析】根据非负数之和为0，则每一个数都为0可得a-5=0，b-9=0，求出a、b的值，然后分5为腰；5为底边，由三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而求出周长.【变式6-1】已知等腰△ABC的周长为20，求腰长的取值范围．【答案】解：设等腰△ABC的腰长为x，则底边长为20﹣2x，依题意有 ，解得5＜x＜10．故腰长的取值范围是5＜x＜10．【解析】【分析】设等腰△ABC的腰长为x，则底边长为20﹣2x，根据题意列出不等式组，即可得出x的范围。【变式6-2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边长.【答案】解：如答图所示．设AD=DC=x，BC=y，由题意得或解得 或当时，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系．当时，等腰三角形的三边为14，14，5，∴这个等腰三角形的底边长是5．【解析】【分析】作出图形，设AD=DC=x，BC=y，再分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可得解。三角形的稳定性  三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 题型7：三角形的稳定性7.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【答案】B【解析】【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加梯子的稳定性.故答案为：B. 【分析】三角形具有稳定性，据此解答即可.【变式7-1】下列图形中不具有稳定性的是（　　） A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A选项图形中是两个三角形组成，具有稳定性；B选项图形中是四个三角形组成，具有稳定性；C选项图形中是三个三角形组成，具有稳定性；D选项图形中是四边形，不具有稳定性；故答案为：D.【分析】根据三角形的稳定性逐项判断即可。【变式7-2】小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理​【答案】解：如图所示：根据三角形具有稳定性．​【解析】【分析】根据三角形具有稳定性进行画图即可．三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.题型8：三角形的角平分线、中线和高8.如图， 于点D， 于点C， 于点F，下列关于高的说法错误的是（　　） A．在 中， 是 边上的高B．在 中， 是 边上的高C．在 中， 是 边上的高D．在 中， 是 边上的高【答案】C【解析】【解答】解：A、在△ABC中， AD是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；B、在△GBC 中，CF是BG边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；C、在△ABC 中，GC不是BC边上的高，该说法错误，故本选项符合题意；D、在△GBC 中，GC 是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意.故答案为：C.【分析】过三角形一个顶点向其对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，利用三角形高线的定义，对各选项逐一判断即可.【变式8-1】如图，在 中， 边上的高为（　　） A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：△ABC中， BC边上的高为：线段AD.故答案为：D.【分析】根据三角形高的定义求解即可。【变式8-2】下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（　　） A．① B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【解析】【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故符合题意；②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故不符合题意；③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故不符合题意；④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故不符合题意．所以正确的有 ①．故答案为：A．【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形由两条高在边上。题型9：三角形的中线与周长问题9.如图，AD是 的中线，已知 的周长为25cm，AB比AC长6cm，则 的周长为（　　） ​A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm【答案】A【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD周长的差=（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，∴△ACD周长为：25﹣6=19cm.故答案为：A.【分析】利用三角形的中线可得BD=CD，由于△ABD和△ACD周长的差=（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC=6，据此即可求出结论.【变式9-1】如图，AD为△ABC的中线，AB = 12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC的长(AC AB). 【答案】解：∵AD为△ABC的中线， ∴BD = CD，∵△ABD和△ADC的周长差是4cm，∴AB + AD + BD – (AC + AD + CD) = AB + AD + BD – AC – AD – BD = AB – AC = 4cm，∵AB = 12cm，∴AC = AB – 4cm = 8cm.【解析】【分析】根据三角形中线的定义得出BD = CD， 再根据△ABD和△ADC的周长差是4cm列出等式，化简得出AB – AC = 4cm， 即可求出AC的长.【变式9-2】如图:在 中（ ）， ， 边上的中线 把 的周长分成 和 两部分，求边 和 的长. 【答案】解：∵ 是 边上的中线， ， ∴ ， 设 ， ，则 ，∵ ，∴ ， ，即 ， ，解得： ， ，即 ， ．【解析】【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD=CD，设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x，再分的周长是60与的周长是60两种情况讨论即可。题型10：三角形的中线与面积问题10.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形C．直角三角形 D．周长相等的三角形【答案】B【解析】【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形.故答案为：B.【分析】根据等底同高，可知三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形.【变式10-1】如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，△ABC的面积为6cm2，则△BDE的面积为　 　．【答案】【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，∴S△BDE= S△ABD，S△ABD= S△ABC，∴S△BDE= S△ABC= ×6= ．故答案为 ．【分析】根据三角形中线的性质：将三角形的面积分成相等的两部分可得S△BDE= S△ABD，S△ABD= S△ABC，因此S△BDE= S△ABC= ×6，即可求出答案。【变式10-2】如图，在△中，已知点分别为的中点，若△的面积为，则阴影部分的面积为 　 　【答案】1【解析】【解答】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE＋S△ACE＝S△ABC＝×4＝2cm2，∴S△BCE＝S△ABC＝×4＝2cm2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1cm2．故答案为：1．【分析】利用三角形的角平分线、中线的性质，再根据三角形的面积公式计算即可。