北师大版数学八年级上册期末复习专项训练01 勾股定理（2份，原卷版+解析版）

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一．勾股定理
（2022春•柳州期末）如图，在中，，，，则
A．12B．13C．14D．15
【分析】根据勾股定理直接求即可．
【解答】解：在中，，
由勾股定理得：．
故选：．
（2021秋•凤翔县期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为
A．3B．C．D．
【分析】根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：由勾股定理得：，
则，
故选：．
（2022春•郧阳区期末）小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内径，口杯内部高度，要使吸管不斜滑到杯里，下列吸管最短的是 ．
A．9B．10C．11D．12
【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再比较大小即可．
【解答】解：如图，连接，
由题意知，，，
由勾股定理得，，
，
，
故选：．
（2022春•琼海期末）勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如下图形：在中，，图中以、、为边的四边形都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、，则的值为
A．25B．175C．600D．625
【分析】由勾股定理得：，直接代入计算即可．
【解答】解：在中，，
由勾股定理得：，
，
．
故选：．
（2021秋•市北区期末）如图，在三角形中，，，点为的中点，则点到的距离为
A．15B．C．9D．
【分析】连接，过点作于点，根据已知和等腰三角形的性质得出和，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：如图，连接，过点作于点，的长即为所求，
，为的中点，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
解得
故选：．
（2022春•北京期末）图1是第七届国际数学教育大会会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图演化而成的．如果图2中的，那么的长为
A．B．4C．3D．
【分析】，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可计算的长．
【解答】解：，
由勾股定理可得，
，
，
，
．
故选：．
二．勾股定理的证明
（2022春•綦江区期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是
A．B．
C．D．
【分析】勾股定理有两条直角边，一条斜边，共三个量，根据勾股定理的概念即可判断．
【解答】解：在选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，
选项可以证明勾股定理，
在选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，
选项可以证明勾股定理，
在选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，
选项可以说明勾股定理，
在选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
，
以上公式为完全平方公式，
选项不能说明勾股定理，
故选：．
（2021秋•栾城区校级期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用，表示直角三角形的两直角边，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是
A．B．C．D．
【分析】由题意，①②可得记为③，①③得到由此即可判断．
【解答】解：由题意，
①②可得③，
，
①③得，
，
①③④正确，②错误．
故选：．
（2021春•抚顺期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是
A．B．C．D．
【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【解答】解：、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：．
（2020春•高唐县期末）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则的值为
A．60B．79C．84D．90
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【解答】解：由图可知，，
，
，
．
故选：．
（2020春•乳山市期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点、与相交于点．若，则的值是 ．
【分析】先证明，得出．设，则，，再由勾股定理得出，即可得出答案．
【解答】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
设，
为，的交点，
，，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
，
故答案为：．
（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形，绕其锐角顶点逆时针旋转得，所以，且四边形是一个正方形，它的面积和四边形面积相等，而四边形面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形面积等于和的面积之和，化简整理得到勾股定理．
【解答】解：由图可得：
正方形的面积四边形的面积和的面积之和，
即，
，
整理得：．
三．勾股定理的逆定理
（2022春•靖西市期末）在中，若，则
A．B．C．D．不能确定
【分析】由勾股定理的逆定理即可得到答案．
【解答】解：，
，
．
故选：．
（2022春•普兰店区期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是
A．6，7，8B．5，6，7C．4.5，6，7.5D．4，5，6
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：、，，
，
，7，8不能作为直角三角形的三边长，
故不符合题意；
、，，
，
，6，7不能作为直角三角形的三边长，
故不符合题意；
、，，
，
，6，7.5能作为直角三角形的三边长，
故符合题意；
、，，
，
，5，6不能作为直角三角形的三边长，
故不符合题意；
故选：．
（2021秋•滨海县期末）下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是
A．1，，2B．5，12，13C．5，6，7D．7，24，25
【分析】利用勾股定理逆定理进行判断即可．
【解答】解：、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
、，能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：．
（2022春•兴宁区校级期末）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是
A．4，5，6B．2，3，4C．1，1，D．6，8，11
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【解答】解：、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
（2022春•凤泉区校级期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是
A．，，B．
C．D．
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
【解答】解：、，
是直角三角形，不符合题意；
、，
，即是直角三角形，不符合题意；
、，，
，即是直角三角形，不符合题意；
、，，
，，，即不是直角三角形，符合题意．
故选：．
（2021秋•莱阳市期末）下列不能判定是直角三角形的是
A．B．
C．D．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
【解答】解：、由，可得，故是直角三角形，不符合题意；
、，能构成直角三角形，不符合题意；
、，，故不是直角三角形，符合题意；
、，，故是直角三角形，不符合题意；
故选：．
（2022春•廉江市期末）下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是
A．，，2B．5，7，11C．9，12，15D．15，20，25
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：．，，
，
以，，2为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
．，，
，
以5，6，11为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
．，，
，
以9，12，15为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
．，，
，
以15，20，25为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
四．勾股数
（2021秋•常宁市期末）下列各组数中，不是勾股数的一组是
A．2，3，4B．3，4，5C．6，8，10D．5，12，13
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：、，不是勾股数，此选项正确；
、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项错误；
、，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误；
、，是正整数，故是勾股数，此选项错误．
故选：．
（2021秋•揭西县期末）下列各组数中，是勾股数的是
A．1，，2B．0.3，0.4，0.5C．8，15，17D．5，6，7
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．
【解答】解：，，2不是整数，不是勾股数；
，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；
，是勾股数；
，不是勾股数；
故选：．
（2022春•曲靖期末）观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5；
②6，8，10；
③8，15，17；
④10，24，26；
请你根据规律写出第⑤组勾股数是 12，35，37 ．
【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第组数，则这组数中的第一个数是，第二个是：，第三个数是：．根据这个规律即可解答．
【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是；第二个是：；第三个数是：．
所以第⑤组勾股数是12，35，37．
故答案为：12，35，37．
（2022春•宁江区校级期末）下列各组数，是勾股数的是
A．B．0.3，0.4，0.5C．6，7，8D．5，12，13
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定即可．
【解答】解：、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
、，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意；
、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，符合题意；
故选：．
（2022春•来宾期末）阅读理解：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即，那么称为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是
A．②④B．①②④C．①②D．①④
【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．
【解答】解：①不能表示为两个正整数的平方和，
不是广义勾股数，故①结论正确；
②，
是广义勾股数，故②结论正确；
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；
④设，，
则
，
或时，两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，
如2和2都是广义勾股数，但，4不是广义勾股数，故④结论错误，
依次正确的是①②．
故选：．
五．勾股定理的应用
（2022春•惠州期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为
A．B．C．D．
【分析】利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，，
少走的路长为，
故选：．
（2022春•夏津县期末）如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：根据题意得：，，，
则在中，，；
根据勾股定理得：；
所以；
即橡皮筋被拉长了；
故选：．
（2022春•枣阳市期末）一个门框的尺寸如图所示，下列长宽型号（单位：的长方形薄木板能从门框中通过的是
A．B．C．D．
【分析】解答此题先要弄清题意，只要求出门框对角线的长再与已知薄木板的宽相比较即可得出答案．
【解答】解：薄木板不能从门框内通过．理由如下：
连接，则与、构成直角三角形，
根据勾股定理得．
只有薄木板能从门框内通过，
故选：．
（2021秋•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差．
【解答】解：根据题意可得图形：，，
在中：，
所以，．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间．
观察选项，只有选项符合题意．
故选：．
（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是
A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺
【分析】先设水池的深度为尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程，再解即可．
【解答】解：设水池的深度为尺，由题意得：
，
解得：，
所以．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：．
（2021秋•中牟县期末）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点处推开双门，双门间隙的长度为2寸，点和点到门槛的距离都为1尺尺寸），则的长是
A．104寸B．101寸C．52寸D．50.5寸
【分析】取的中点，过作于，根据勾股定理解答即可得到结论．
【解答】解：取的中点，过作于，如图2所示：
由题意得：，
设寸，
则（寸，寸，寸，
寸，
在中，
，即，
解得：，
（寸，
寸，
故选：．
六．平面展开-最短路径问题
（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ．
A．B．C．120D．130
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】解：如图所示，
它的每一级的高为，宽，长，
．
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是，
故选：．
（2022春•长寿区期末）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 13 ．
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：
，
．
故答案为：13．
（2021秋•麦积区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 15 ．（杯壁厚度不计）
【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作关于的对称点，
，，
连接，则即为最短距离，．
故答案为：15．
（2021秋•福田区校级期末）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）
A．B．C．D．
【分析】将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【解答】解：将容器的侧面展开，如图所示：
作关于的对称点，连接，则即为最短距离，
由题意得：，，，
，
，
由勾股定理得：．
故选：．
（2021秋•高新区校级期末）如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上．若米，点到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是 米．
【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接、，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，过作于，连接，
米，米，
米，
米，
（米．
故这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故答案为：．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/11/23 13:42:49；用户：初中数学01 朱思宇；邮箱：sycljy01@xyh.cm；学号：38636461
（2022春•威宁县期末）如图，在中，，，则边上的高的长为
A．4B．C．D．5
【分析】过作于点，根据勾股定理计算出底边上的高的长，然后计算三角形的面积，再以为底，利用三角形的面积计算出边上的高即可．
【解答】解：过作于点，
，
是等腰三角形，
，
，
在中，，
，
，
解得．
故选：．
（2022春•景县期末）如图，在中，，点是的中点，且，如果的面积为1，则它的周长为
A．B．C．D．
【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得；然后利用勾股定理、三角形的面积求得的值，则易求该三角形的周长．
【解答】解：如图，在中，，点是的中点，且，
．
又的面积为1，
，则．
，
（舍去负值），
，即的周长是．
故选：．
（2021秋•船山区校级期末）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从点到点只能沿图中的线段走，那么从点到点的最短距离的走法共有
A．1种B．2种C．3种D．4种
【分析】如图所示，找出从点到点的最短距离的走法即可．
【解答】解：根据题意得出最短路程如图所示，
最短路程长为，
则从点到点的最短距离的走法共有3种，
故选：．
（2022春•莘县期末）如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则的值为 110 ．
【分析】可得出和，变形可得结果．
【解答】解：由题意得，
，
，，
，
，
故答案为：110．
（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形，绕其锐角顶点逆时针旋转得，所以，且四边形是一个正方形，它的面积和四边形面积相等，而四边形面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形面积等于和的面积之和，化简整理得到勾股定理．
【解答】解：由图可得：
正方形的面积四边形的面积和的面积之和，
即，
，
整理得：．
（2022春•灞桥区校级期末）如图，在中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．
（1）求边的长．
（2）当为等腰三角形时，求的值．
【分析】利用勾股定理求解的长，再分3中情况讨论：当时，当时，当时，分别计算可求解．
【解答】解：在中，，，，
，
当时，如图1，则，，
在中，，
，
解得；
当时，如图2，则；
当时，如图3，则；
，
综上，的值为或10或16．
（2021秋•密山市校级期末）已知：如图1，中，，为中点，、分别交于，交于，且．
（1）如果，求证：；
（2）如图2，如果，（1）中结论还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）过点作，交延长线于点，连接，通过证明，即可得出答案；
（2）延长至，使，连接、，根据（1）通过证明，即可得出答案．
【解答】（1）证明：过点作，交延长线于点，
连接．
，
，．
，，
．
，．
又，．
．（3分）
（2）成立．
证明：延长至，使，连接、．
，，
．
，．
．．
又，，．
（7分）
（说明：本题提供的两种证法对（1）、（2）两问均适用）
（2022春•韩城市期末）已知：如图，四边形，，，，，且．求四边形的面积．
【分析】先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：连接．
，，，
，
在中，，
是直角三角形，
，
，
．
故四边形的面积为．
（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在中，，，，点是延长线上一点，连接，若．求：的面积．
【分析】由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，再由勾股定理求出，得出，即可得出结果．
【解答】解：在中，，，，
，
即，
是直角三角形，，
在中，，
，
的面积．
（2022春•永定区期末）如图，一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为5米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：（米；
答：这个梯子的顶端距地面有12米高；
（2）梯子下滑了5米即梯子距离地面的高度为（米，
根据勾股定理：（米，
米
答：当梯子的顶端下滑5米时，梯子的底端水平后移了米．
（2022春•慈溪市期末）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的增面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点．
（1）若米，米．
①竹竿的顶端沿墙下滑1米，那么点将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）．
（2）若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小．
【分析】（1）①利用勾股定理可求解的长，即可求得的长，再利用勾股定理可求解，进而可求解；
②利用勾股定理列式，计算可求解的长，即可求解；
（2）利用勾股定理可求解，的长，再利用勾股定理列式，计算可得，进而可求解．
【解答】解：（1）①在中，米，米，
，
米，
米，
米，
在△中，米，
，
米，
米，
答：点将向外移动米；
②相等．
米，，
，
，，
，
解得或0（舍去），
故竹竿的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离会相等，移动距离为3.5米；
（2）不相等．
当时，米，
在中，，
，
解得，
在△中，，
即，
解得，
，
故顶端下滑的距离大于底端外移的距离．
（2021秋•随县期末）如图1所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点．
（1）求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由；
（2）如果把右边的正方形沿翻转得到如图2所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图2中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断）
【分析】（1）根据两点之间线段最短求解；
（2）把正方体相邻的两个面展开成平面，连接，即是最短路线．
【解答】解：（1）从路线长：，
从路线长：，
从路线长：．（3分）
根据两点之间，线段最短．
可得，即，（6分）
所以，即（7分）
（说明：只要写出理由“两点之间，线段最短”即给6分）
故从到的最短路线长为；（8分）
（2）从到的最短路线长为，（10分）
图中的点为线段的中点．（11分）
位置如图．（13分）