北师大版数学八年级上册期末复习专项训练02 一次函数与勾股定理（2份，原卷版+解析版）

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【分析】首先过点作于点，作于点，易得四边形是矩形，可得，，又由，，为的中点，可求得与的长，然后由勾股定理求得的长，又由垂线段最短，可得当与重合，即与重合时，最短，求得答案．
【解答】解：过点作于点，作于点，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，，
，，为的中点，
，，
，
由垂线段最短，可得当与重合，即与重合时，最短，
的最小值为5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
（2019春•罗湖区期末）在中，，，，的角平分线与的角平分线相交于，且交于，则的长等于 ．
【分析】思想利用勾股定理的逆定理证明，利用面积法求出，设，，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：如图，作于，于，于．
，，，
，同理可证：，
，
，，，
，
，
，
，
易证四边形是正方形，
，
，，，
，
，设，，
则有，
解得，
补充方法：根据，设，则，利用勾股定理构建方程求出即可．
故答案为．
【点评】本题考查角平分线的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（2019秋•瓯海区期末）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点、分别在轴与轴上，已知，，点为轴上一点，其坐标为，点在线段上运动，当点与点重合时停止运动．
（1）点在运动过程中，当为直角三角形时，请直接写出此时点的坐标；
（2）当点关于的对称点落在轴上时，求点的坐标．
【分析】（1）求出的长，然后分和是直角两种情况求出，再写出点的坐标即可；
（2）根据轴对称的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得，然后写出点的坐标即可．
【解答】解：（1），，
，
若，则，
点的坐标为，
若，则，
点的坐标为，
以为直径作圆显然与没有交点，所以不可能是，
综上所述，为直角三角形时，点的坐标为或；
（2）点关于的对称点落在轴上，
，
是等腰直角三角形，
，
点的坐标为．
【点评】此题考查了勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（1）分情况讨论，（2）判断出是等腰直角三角形．
（2021秋•东明县期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、，点的坐标为．
（1）关于、的方程组的解为 ．
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题目中点的坐标，从而可以得到关于、的方程组的解；
（2）根据点的坐标可得，计算的长，根据三角形面积公式可得结论；
（3）根据题意，画出相应的图形，可知有三种情况，然后分别进行讨论计算即可解答本题．
【解答】解：（1）一次函数的图象与一次函数的图象交于点，且点的坐标为，
关于、的方程组的解是，
关于、的方程组的解是，
故答案为：；
（2）把点的坐标代入一次函数中得：，
解得：，
，
，
，
；
（3）存在，
如图1，当点为直角顶点时，过点作轴于，
，
；
当点为直角顶点时，轴上不存在点；
当点为直角顶点时，过点作交轴于点，作轴于，
设，
当时，，
，
，
，
，，
，
，，
在中，
，
在中，
，
在中，，
，
解得，
，
综上，点的坐标为：或．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数与轴、轴的交点、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与方程组的关系，三角形的面积、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
（2020秋•成都期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，．
（1）求点的坐标；
（2）点为轴正半轴上一点，，点为线段上一动点，设的纵坐标为，请用含的代数式表示点到轴的距离；
（3）在（2）的条件下，过点作交轴于点，连接，，当为等腰三角形时，求的面积．
【分析】（1）用表示出，，利用勾股定理构建方程求解即可．
（2）如图1中，过点作的角平分线交于．利用全等三角形的性质证明，由此构建方程求解即可．
（3）在（2）的条件下，，因为，推出，，分两种情形：当时，过点作于，②当时，分别求出直线的解析式，构建方程组即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意，直线直线交轴于点，交轴于点，
在中，，
，
或（舍弃），
，
．
（2）如图1中，过点作的角平分线交于．
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，
，
，
，
直线的解析式为，
的纵坐标为，点横坐标为，
，
．
（3）在（2）的条件下，，
，
，，
①当时，过点作于，
，
，，，
，
，
，
，
，
直线过点，
，
直线的表达式为，
由，解得，
，，
．
②当时，，
直线的表达式为，
由，解得，
，，
．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
（2022春•桂林期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、坐标分别为，，．
（1）直接写出点的坐标，并求出直线的解析式；
（2）若是直线上的一个动点与、不重合），当的面积是3时，请求出点的坐标；
（3）在轴上是否存在一点，使得是不以点为直角顶点的直角三角形．若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用平行四边形的性质确定点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）根据三角形面积公式求得的高，然后利用一次函数图象上点的坐标特征求点坐标；
（3）设点坐标为，然后结合勾股定理列方程求解．
【解答】解：（1）在平行四边形中，，，
又顶点、坐标分别为，，，
点坐标为，
设直线的解析式为，
将，，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为：；
（2），且的面积是3，
设的边上的高为，
则，
解得：，
点纵坐标为或，
又是直线上的一个动点，
在中，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
点坐标为，或，；
（3）设点坐标为，
由题意可得：，，，
①当点为直角顶点时，，
，
解得：，
此时，点坐标为；
②当点为直角顶点时，，
，
解得：，
此时，点坐标为；
综上，点坐标为或．
【点评】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，理解相关性质定理，利用分类讨论思想解题是关键．
（2017•和平区三模）将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，点，，点，点
（1）过边上的动点（点不与点，重合）作交于点，沿着折叠该纸片，点落在射线上的点处．
①如图，当为中点时，求点的坐标；
②连接，当为直角三角形时，求点坐标；
（2）是边上的动点（点不与点重合），将沿所在的直线折叠，得到△，连接，当取得最小值时，求点坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（1）①由为中点结合，可得出为的中位线，再根据点、的坐标即可得出点的坐标；
②根据折叠的性质结合角的计算可得出，分和两种情况考虑，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出点的坐标；
（2）根据三角形的三边关系，找出当点在轴上时，取最小值，根据折叠的性质可得出直线的解析式，再根据点、的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，联立两直线解析式成方程组，解之即可得出点的坐标．
【解答】解：（1）①，，
．
为中点，
为的中位线，
点为线段、的中点，
点的坐标为，．
②由折叠可知：，
，，
．
是直角三角形，
或．
当时，如图1所示．
．
在中，，，
，，
，
，．
在中，，，
，
，
，．
．
点的坐标为，；
当时，如图2所示．
，，
，
．
在中，，，
，
，
，．
在中，，，
，
，
．
，
点的坐标为，．
综上所述：当为直角三角形时，点坐标为，或，．
（2）由折叠可知：△，
，，
又，
当点在轴上时，取最小值，如图3所示．
，
，
直线的解析式为．
设直线的解析式为，
将，、代入中，
，解得：，
直线的解析式为．
联立直线、的解析式成方程组，
，解得：，
当取得最小值时，点坐标为，．
【点评】本题考查了三角形的中位线、待定系数法求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、勾股定理以及折叠的性质，解题的关键是：（1）①找出为的中位线；②分和两种情况求点的坐标；（2）根据三角形三边关系找出取得最小值点的位置．
（2019秋•普陀区期末）如图，在平面直角坐标系内，直线经过点，点坐标为，
（1）求点的坐标；
（2）若为射线上的一点，当是直角三角形时，求点坐标．
【分析】（1）根据直线经过点，可得，易求，即可得点坐标；
（2）考虑有两种情况：①当时，点的横坐标与点的横坐标相同，均为4，把代入，易求，从而可得点坐标；当时，可先设点坐标是，根据勾股定理易得，解可求，（舍去），进而可求点坐标，综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为或．
【解答】解：（1）直线经过点，
，
解得：，
点的坐标为；
（2）①当时，点的横坐标与点的横坐标相同，均为4，
将代入，得，
点的坐标为，
②当时，，
设点坐标为，，
解得，（舍去），
点的坐标为，
综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为或．
【点评】本题考查了一次函数综合题、勾股定理．解题的关键是根据题意画出图，要根据点的不同位置进行分类求解．
（2020秋•罗湖区校级期末）（1）如图1，在和中，，，且点在边上滑动（点不与点，重合），连接，
①则线段，，之间满足的等量关系式为 ；
②求证：；
（2）如图2，在四边形中，．若，，求的长．
【分析】（1）①证明，得出，可得；
②根据全等三角形的性质可得，得到，根据勾股定理计算即可；
（2）作，使，连接，，证明，得到，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）①解：，理由如下：
，
，
即，
在和中，，
，
，
；
故答案为：；
②证明：中，，
，
由（1）得，，
，，
，
，
在中，，
又，
；
（2）解：作，使，连接，，如图2所示：
，
即，
在与中，，
，
，
，，
，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（2021•新吴区二模）已知中，，，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在处，，将三角板绕点旋转（保持点在内部），连接、、．
（1）如图1求证：；
（2）如图2当三角板绕点旋转到点、、在同一直线时，求的长；
（3）设射线与射线相交于点，连接，写出旋转过程中、、之间的数量关系．
【分析】（1）由题意可得：，即可证，可得；
（2）作于，由题意可求，可得，根据勾股定理可求，即可求的长；
（3）作于，于，设交于，由题意可证，可得，，即可证，，，则可求得、、之间的数量关系．
【解答】证明：（1）如图1中，，
且，
（2）解：如图2中，作于
、、共线，，
，
，
在中，
（3）解：结论：
理由：如图3中，作于，于，设交于．
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
【点评】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
如图所示，在中，，是斜边的中点，，分别在边，上，，若，，，求线段的长度．
【分析】延长至点，使得，连接，，易证，可得，，可证明，根据等腰三角形的性质可得，设，由勾股定理得出方程，解方程求出、，再由勾股定理求出即可．
【解答】解：延长至点，使得，连接，，如图所示：
为斜边的中点，
，
在和中，，
，
，，
，
，
即，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即，
解得：，
，，
，
，，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识；证明是解题的关键．
（2020秋•姑苏区期末）如图，在中，，，．翻折，使点落在斜边上某一点处，折痕为（点、分别在边、上）．
（1）当点与重合时，则 2 ；
（2）连接，当时，求的长；
（3）在（2）条件下，求证：．
【分析】（1）由图形的翻折知，，即可求解；
（2）证明，同理可得：，故；
（3）证明，得到是的中垂线，则，则，再证明，，即可求解．
【解答】解：（1）由图形的翻折知，，
在中，，，则，
故，
故答案为2；
（2）连接，由图形的翻折知，，
，，
，
而，
，
同理可得：，
；
（3）如图2，延长取，连接，
由（2）知，
而，
，
，，
，，故是的中垂线，
，则，
，，
，
在中，，
而，
．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了图形的翻折、直角三角形的中线定理、三角形全等、勾股定理的运用等，综合性很强，难度较大．
（2021春•罗湖区期末）已知和都是等腰直角三角形，．
（1）如图1：连，，求证：；
（2）若将绕点顺时针旋转，当点，，恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段，与交点为，若，，求出线段的长；
（3）若将绕点顺时针旋转，当点恰好落在边上时，如图3所示，与交点为，求证：．
【分析】（1）根据证明三角形全等即可．
（2）分别求出，即可．
（3）如图2中，在上取一点，使得，连接，．证明，可得，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
，
，
，，
．
（2）如图中，设交于，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，，
，
．
（3）证明：如图2中，在上取一点，使得，连接，．
，
，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
解法二：连结，证明与全等，然后说明是直角，可得结论．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图1，在中，，，为的中点，，分别为，上的点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，若，分别在、的延长线上，探究、、之间的数量关系．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到，，，，再利用等角的余角相等得到，然后根据“”可判断，则；
（2）根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到，，，，求出，然后根据“”可判断，推出即可．
【解答】证明：（1）如图1，连接，
是等腰直角三角形，为斜边的中点，
，，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，由勾股定理得：，
即；
（2）解：，
理由是：如图2，连接，
是等腰直角三角形，为斜边的中点，
，，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，由勾股定理得：，
即．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，能推出是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2020春•涪城区校级期末）已知，，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求证：；
（3）如图3，若，．求证：；
（4）如图4，若，探究，，之间的关系．
【分析】（1）延长至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质计算，证明结论；
（2）在线段上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质计算，证明结论；
（3）延长至，使，连接，作于，根据等腰三角形的性质解答；
（4）在线段上截取，连接，仿照（2）（3）的方法，得到答案．
【解答】证明：（1）如图1，延长至点，使，连接，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
，即，
为等腰直角三角形，
，
；
（2）如图2，在线段上截取，连接，
，，
，
在和中，
，
，，
，
，即，
为等腰直角三角形，
，
；
（3）如图3，延长至，使，连接，作于，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，，
，
，
，
，
，
；
（4），
理由如下：在线段上截取，连接，
由（2）（3）可知，．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（2020春•雨花区校级期末）如图，在中，，，是中线，，，求的长（提示：设，．
【分析】设，，根据三角形中线的定义可得，，然后利用勾股定理列式整理求出，再利用勾股定理解答即可．
【解答】解：设，，
、是的中线，
，，
在中，，
，即①，
在中，，
，
即②，
由①②得：，
在中，由勾股定理得，．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的中线的定义；熟练掌握勾股定理，通过设未知数由勾股定理求出是解题的关键．