苏科版数学七年级上册期末复习专题3.2 代数式（章节复习+考点讲练）（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：代数式
如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
知识要点：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
知识点02：整式的相关概念
1．单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
知识要点：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
知识要点：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
知识要点：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
知识点03：整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
知识要点：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
知识要点：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
【典例精讲】（2022秋•东台市月考）在x，1，x2﹣2，πR2，S＝ab中，代数式的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【思路点拨】代数式即用运算符号把数与字母连起来的式子，根据这一概念逐个进行判定即可．
【规范解答】解：在x，1，x2﹣2，πR2，S＝ab中，
代数式有：x，1，x2﹣2，πR2，共4个，
故选：C．
【考点评析】此题考查了代数式的概念．注意代数式中不含有关系符号，即不含有＝、≠、＜、＞、≤、≥等符号．
【变式训练1-1】（2022秋•无锡期中）下列式子中，符合代数式的书写格式的是（ ）
A．（a﹣b）×7B．3a÷5bC．1abD．
【思路点拨】根据代数式的书写要求判断各项．
【规范解答】解：选项A正确的书写格式是7（a﹣b），
选项B正确的书写格式是，
选项C正确的书写格式是ab，
选项D的书写格式是正确的．
故选：D．
【考点评析】代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
【变式训练1-2】用字母表示图中阴影部分的面积．
【思路点拨】（1）读图可得，阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积；
（2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣扇形的面积．
【规范解答】解：（1）阴影部分的面积＝ab﹣bx；
（2）阴影部分的面积＝R2﹣πR2．
【考点评析】解决问题的关键是读懂图，找到所求的阴影部分的面积和各部分之间的等量关系．
【典例精讲】（2022秋•仪征市期末）红星商店有甲、乙两种商品，基本信息如下表：
（1）商家决定将甲种商品按成本价提高40%后标价出售；乙种商品按成本价的七折出售，则a＝ 1.4m （用含m的代数式表示），b＝ 0.7n （用含n的代数式表示）；
（2）在（1）的条件下，将甲、乙商品全部售出，用含m、n的代数式表示商家的利润；
（3）若商家将两种商品都以元的平均价格一次打包全部出售，请判断商家这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由．
【思路点拨】（1）依题意可知，分别列出甲、乙商品的销售价格即可；
（2）由（1）可知，用售价减去成本即可求出利润；
（3）求出商家将两种商品都以元的平均价格售出的售价，然后减去成本即可．
【规范解答】解：（1）依题意可知，
甲种商品按成本价提高40%后标价出售，售价为：a＝m（1+40%）＝1.4m，
乙种商品按成本价的七折出售，售价为：b＝0.7n；
故答案为：1.4m，0.7n；
（2）将甲、乙商品全部售出利润为：30（1.4m﹣m）+40（0.7n﹣n）＝12m﹣12n（元）；
（3）将两种商品都以元的平均价格一次打包全部出售，利润为：，
当m＞n时，5（m﹣n）＞0，则赚钱；
当m＝n时，5（m﹣n）＝0，则不赚不亏；
当m＜n时，5（m﹣n）＜0，则亏本；
即：若m＞n，则赚钱；若m＝n，则不赚不亏；若m＜n，则亏本．
【考点评析】本题考查了销售问题、列代数式，代数式加减的应用；解题的关键是理解题意，正确列代数式．
【变式训练2-1】（2022秋•秦淮区校级期中）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．x2+5xB．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2D．（x+3）（x+2）﹣2x
【思路点拨】根据图形，可以用代数式表示出图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【规范解答】解：由图可得，
图中阴影部分的面积为：x2+3x+2×3＝x2+3x+6，故选项A符合题意，
x（x+3）+2×3＝x（x+3）+6，故选项B不符合题意，
3（x+2）+x2，故选项C不符合题意，
（x+3）（x+2）﹣2x，故选项D不符合题意，
故选：A．
【考点评析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
【变式训练2-2】（2022秋•溧水区期末）如图，将一个长方形纸片沿虚线剪去一个三角形，根据标注的长度，图中阴影部分的面积为 10x﹣13 （用含x的代数式表示）．
【思路点拨】用长方形的面积减去三角形的面积即可．
【规范解答】解：阴影部分的面积为：10（x﹣1）﹣
＝10x﹣10﹣
＝10x﹣13，
故答案为：10x﹣13．
【考点评析】本题主要考查列代数式，解答的关键是由图形得出阴影部分的面积等于长方形的面积减去三角形的面积．
【变式训练2-3】（2022秋•高新区期末）定义一种新运算∇：对于任意有理数x和y，有x∇y＝mx﹣ny+xy（m，n为常数且mn≠0），如：2∇3＝2m﹣3n+2×3＝2m﹣3n+6．
（1）①＝ m﹣4n+ （用含有m，n的式子表示）；
②若，求1∇6的值；
（2）请你写出一组m，n的值，使得对于任意有理数x，y，x∇y＝y∇x均成立．
【思路点拨】（1）①根据所给的新运算，把相应的数代入运算即可；
②根据所给的新运算，把相应的数代入运算即可；
（2）对比x∇y与y∇x，结合条件从而可求解．
【规范解答】解：（1）①
＝m﹣4n+
＝m﹣4n+，
故答案为：m﹣4n+；
②∵，
∴m﹣4n+＝3，
整理得：m﹣6n＝，
∴1∇6
＝m﹣6n+6
＝+6
＝；
（2）y∇x＝my﹣nx+xy，x∇y＝mx﹣ny+xy，
∵x∇y＝y∇x，
∴mx﹣ny+xy＝my﹣nx+xy，
m（x﹣y）+n（x﹣y）＝0，
（x﹣y）（m+n）＝0，
则x﹣y＝0或m+n＝0，
∴当m＝﹣n时，对于任意有理数x，y，x∇y＝y∇x均成立，
∴当m＝2，n＝﹣2时，x∇y＝y∇x均成立（答案不唯一）．
【考点评析】本题主要考查列代数式，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【典例精讲】（2022秋•泗阳县期中）按照如图所示的计算程序，若输入结果是﹣3，则输出的结果是 ﹣71 ．
【思路点拨】认真读懂题意，根据题目的计算程序进行计算，然后判断即可．
【规范解答】解：当x＝﹣3时，10﹣（﹣3）2＝1，
1＞0，
∴根据题意继续计算10﹣12＝9，
9＞0，
∴根据题意继续计算10﹣92＝﹣71，
﹣71＜0，
∴输出结果为﹣71．
故答案为：﹣71．
【考点评析】本题考查了代数求值，解题的关键要读懂题意，能根据题意进行代数计算，最后得到符合题意的结果．
【变式训练3-1】（2022秋•兴化市校级期末）数学家欧拉最早用记号f（x）表示关于x的多项式，用f（a）表示x等于某数a时的多项式的值．例如：多项式f（x）＝x2﹣x+1，当x＝4时，多项式的值f（4）＝42﹣4+1＝13．已知多项式f（x）＝mx3﹣nx+1，当x＝1时，多项式的值f（1）＝14，则f（﹣1）的值为（ ）
A．﹣14B．﹣12C．﹣13D．13
【思路点拨】把x＝1代入f（x）＝mx3﹣nx+1＝14，可得m﹣n＝13，把x＝﹣1代入计算即可确定出f（﹣1）的值．
【规范解答】解：当x＝1时，
f（1）＝m×13﹣n×1+1
＝m﹣n+1，
∵f（1）＝14，
∴m﹣n+1＝14，
∴m﹣n＝13，
f（﹣1）＝m（﹣1）3﹣n×（﹣1）+1
＝﹣m+n+1
＝﹣（m﹣n）+1
＝﹣13+1
＝﹣12．
故选：B．
【考点评析】此题主要考查了代数式求值问题，解题的关键是化简代数式，整体代入．
【变式训练3-2】（2022秋•玄武区校级期末）如果|m|＝2，n2＝36，|m﹣n|＝n﹣m．那么代数式m+n的值是（ ）
A．4，8B．﹣4，﹣8C．﹣4，8D．4，﹣8
【思路点拨】根据|m|＝2，|m﹣m|＝n﹣m，求出m，n的值计算即可．
【规范解答】解：∵|m|＝2，n2＝36，|m﹣n|＝n﹣m，
∴m＝±2，n＝6，
当m＝2时，m+n＝8，
当m＝﹣2时，m+n＝4，
故选：A．
【考点评析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【变式训练3-3】（2019秋•清江浦区期末）a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3
（1）试求（﹣2）※3的值
（2）若1※x＝3，求x的值
（3）若（﹣2）※x＝﹣2+x，求x的值．
【思路点拨】（1）根据规定的运算法则求解即可．
（2）（3）将规定的运算法则代入，然后对等式进行整理从而求得未知数的值即可．
【规范解答】解：（1）（﹣2）※3＝（﹣2）2+2×（﹣2）×3＝4﹣12＝﹣8；
（2）∵1※x＝3，
∴12+2x＝3，
∴2x＝3﹣1，
∴x＝1；
（3）﹣2※x＝﹣2+x，
（﹣2）2+2×（﹣2）x＝﹣2+x，
4﹣4x＝﹣2+x，
﹣4x﹣x＝﹣2﹣4，
﹣5x＝﹣6，
x＝．
【考点评析】此题考查学生对代数式求值的掌握情况．
【变式训练3-4】（2017秋•宝应县期末）如图所示是一个长方形．
（1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）若x＝3，求S的值．
【思路点拨】根据图形可知：阴影部分的面积可用长方形的面积减去两个直角三角形的面积．
【规范解答】解：（1）由图形可知：S＝4×8﹣×4×8﹣×4（4﹣x）
＝16﹣8+2x
＝（8+2x）cm2．
另解：大三角形面积为：×4×8＝16cm2，
小直角三角形的面积为：×（8﹣4）×（4﹣x）＝（8﹣2x）cm2，
∴S＝8×4﹣16﹣（8﹣2x）＝（8+2x）cm2．
（2）将x＝3代入上式，S＝8+2×3＝14cm2．
【考点评析】本题考查列代数式求值，涉及长方形的面积公式，三角形面积公式，代数式求值等问题．
【典例精讲】（2022秋•姜堰区期末）单项式﹣2x2y3的次数是 5 ．
【思路点拨】单项式的次数是所有字母的指数的和，根据定义解题即可．
【规范解答】解：∵单项式的次数是所有字母的指数的和，
∴﹣2x2y3的次数是5次．
故答案为：5．
【考点评析】本题主要考查单项式的次数，能够熟练运用定义算出次数是解题关键．
【变式训练4-1】（2022秋•高新区期末）单项式﹣3x2y的系数和次数分别是（ ）
A．3，2B．﹣3，2C．3，3D．﹣3，3
【思路点拨】根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案．
【规范解答】解：单项式﹣3x2y的系数和次数分别是﹣3，3，
故选：D．
【考点评析】本题考查了单项式次数，掌握单项式中所有字母指数的和是单项式的次数是解题的关键．
【变式训练4-2】（2022秋•惠山区校级期末）单项式的系数是（ ）
A．B．﹣3C．D．﹣3π
【思路点拨】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，由此即可判断．
【规范解答】解：单项式的系数是﹣π．
故选：C．
【考点评析】本题考查单项式的有关概念，关键是掌握单项式的系数的概念．
【变式训练4-3】（2022秋•亭湖区期中）单项式：﹣的系数为 ﹣ ．
【思路点拨】直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，进而得出答案．
【规范解答】解：﹣的系数为﹣．
故答案为：﹣．
【考点评析】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的系数定义是解题关键．
【典例精讲】（2019秋•高新区期末）多项式x2﹣3kxy﹣3y2+6xy﹣8不含xy项，则k＝ 2 ．
【思路点拨】先将原多项式合并同类项，再令xy项的系数为0，然后解关于k的方程即可求出k．
【规范解答】解：原式＝x2+（﹣3k+6）xy﹣3y2﹣8，
因为不含xy项，
故﹣3k+6＝0，
解得：k＝2．
故答案为：2．
【考点评析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，题目设计巧妙，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
【变式训练5-1】（2021秋•梁溪区校级期中）下列说法正确的有（ ）
①6x2﹣3x﹣2的项是6x2，3x，2；
②为多项式；
③多项式﹣2x+4xy的次数是2；
④一个多项式的次数是3，则这个多项式中只有一项的次数是3；
⑤单项式﹣3πx2的系数是﹣3；
⑥0不是整式．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【思路点拨】根据单项式、多项式和整式的概念，逐一分析解答即可，多项式中的每一个单项式叫多项式的项．
【规范解答】解：①6x2﹣3x﹣2的项是6x2，﹣3x，﹣2，原说法错误；
②为多项式，原说法正确；
③多项式﹣2x+4xy的次数是2，原说法正确；
④一个多项式的次数是3，则这个多项式中最高次项的次数是3，原说法错误；
⑤单项式﹣3πx2的系数是﹣3π，原说法错误；
⑥0是整式，原说法错误．
所以正确的有：②③，2个．
故选：A．
【考点评析】本题考查了多项式，单项式和整式，单项式和多项式统称为整式，单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；若干个单项式的代数和组成的式子叫多项式．
【变式训练5-2】（2020秋•江阴市期中）下列说法正确的是（ ）
A．多项式x2+2x2y+1是二次三项式
B．单项式2x2y的次数是2
C．0是单项式
D．单项式﹣3πx2y的系数是﹣3
【思路点拨】根据多项式、单项式、系数、常数项的定义分别进行判断，即可求出答案．
【规范解答】解：A．多项式x2+2x2y+1是三次三项式，此选项错误；
B．单项式2x2y的次数是3，此选项错误；
C．0是单项式，此选项正确；
D．单项式﹣3πx2y的系数是﹣3π，此选项错误；
故选：C．
【考点评析】此题考查了多项式、单项式；把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
【变式训练5-3】（2018秋•苏州期末）当k＝ 3 时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣3y2﹣2xy﹣5中不含xy项．
【思路点拨】不含有xy项，说明整理后其xy项的系数为0．
【规范解答】解：整理只含xy的项得：（k﹣3）xy，
∴k﹣3＝0，k＝3．
故答案为：3．
【考点评析】本题考查多项式的概念．不含某项，说明整理后的这项的系数之和为0．
【变式训练5-4】（2021秋•广陵区期中）已知多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于x，y的四次三项式．
（1）求m的值；
（2）当x＝，y＝﹣1时，求此多项式的值．
【思路点拨】（1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值；
（2）将x，y的值代入求出答案．
【规范解答】解：（1）∵多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于的xy四次三项式，
∴|m|﹣2+3＝4，m﹣3≠0，
解得：m＝﹣3，
（2）当x＝，y＝﹣1时，此多项式的值为：
﹣6××（﹣1）3+（）2×（﹣1）﹣2××（﹣1）2
＝9﹣﹣3
＝．
【考点评析】此题主要考查了多项式以及绝对值，正确得出m的值是解题关键．
【典例精讲】（2021秋•新晃县期中）下列代数式：①﹣mn，②m，③，④，⑤2m+1，⑥，⑦，⑧x2+2x+中，整式共有 6 个．
【思路点拨】根据单项式和多项式统称为整式解答即可．
【规范解答】解：在①﹣mn，②m，③，④，⑤2m+1，⑥，⑦，⑧x2+2x+中，
①﹣mn，②m，③，⑤2m+1，⑥，⑧x2+2x+都是整式，
④，⑦的分母中含有字母，属于分式．
综上所述，上述代数式中整式的个数是6个．
故答案为：6．
【考点评析】本题考查了整式的定义．解题的关键是熟练掌握整式的定义．要注意虽然有分数线，但是分母中不含有表示未知数的字母，所以它仍是整式．在整式中除式不能含有字母．
【变式训练5-1】（2022秋•邗江区期中）下列说法：①a为任意有理数，a2+1总是正数；②在数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边；③若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0；④代数式、、都是整式；⑤若a2＝（﹣2）2，则a＝﹣2．其中错误的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【思路点拨】分别利用整式的定义以及偶次方的性质、有理数的乘法、数轴的性质分别分析得出答案．
【规范解答】解：①a为任意有理数，a2+1总是正数，正确；
②在数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边，错误；
③若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0，正确；
④代数式、、都是整式，错误，不是整式；
⑤若a2＝（﹣2）2＝4，则a＝±2，故此选项错误．
故选：B．
【考点评析】此题主要考查了整式以及偶次方的性质、有理数的乘法、数轴等知识，正确把握相关定义是解题关键．
【变式训练5-2】（2018秋•泰州期中）下列代数式：（1）﹣mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7）x2+2x+中整式有 （1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（7） （填序号）．
【思路点拨】直接利用整式的定义分析得出答案．
【规范解答】解：（1）﹣mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7）x2+2x+中整式有：（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（7）．
故答案为：（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（7）．
【考点评析】此题主要考查了整式，正确把握定义是解题关键．
【变式训练5-3】（2020秋•江阴市期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A．﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4
B．﹣1是整式
C．6x2﹣3x+1的项是6x2、﹣3x，1
D．2πR+πR2是三次二项式
【思路点拨】根据单项式的系数、次数，可判断A，根据整式的定义，可判断B，根据多项式的项是多项式中每个单项式，可判断C，根据多项式的次数是多项式中次数最高项的单项式的次数，可判断D．
【规范解答】解：A、﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4，故A正确；
B、﹣1是整式，故B正确；
C、6x2﹣3x+1的项是6x2、﹣3x，1，故C正确；
D、2πR+πR2是二次二项式，故D错误；
故选：D．
【考点评析】本题考查了整式，利用了单项式的系数、次数，多项式的项，多项式的次数．
【典例精讲】（2022秋•高邮市期末）下列两个单项式中，是同类项的是（ ）
A．3与xB．2a2b与3ab2C．xy2与2xyD．3m2n与nm2
【思路点拨】根据同类项的定义，逐项判断即可求解．
【规范解答】解：A、3与x不是同类项，故本选项不符合题意；
B、2a2b与3ab2不是同类项，故本选项不符合题意；
C、xy2与2xy不是同类项，故本选项不符合题意；
D、3m2n与nm2是同类项，故本选项符合题意；
故选：D．
【考点评析】本题考查了同类项的定义．熟练掌握所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项是解题的关键．
【变式训练7-1】（2022秋•镇江期末）下列各组中，不是同类项的是（ ）
A．2x与﹣xB．﹣5mn与nm
C．0.2p2q与D．a3b5与7a5b3
【思路点拨】根据同类项的定义进行判断即可．
【规范解答】解：根据“所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”可知，
a3b5与7a5b3不是同类项，
因此选项D符合题意，
故选：D．
【考点评析】本题考查同类项，理解“所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”是正确判断的前提．
【变式训练7-2】（2022秋•秦淮区期末）若代数式﹣2x2ym与xny3是同类项，则代数式mn＝ 9 ．
【思路点拨】根据同类项的定义解答．
【规范解答】解：代数式﹣2x2ym与xny3是同类项，
可得m＝3，n＝2，
所以mn＝32＝9，
故答案为：9．
【考点评析】本题考查了同类县的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
【变式训练7-3】（2016秋•徐州期中）已知 4x2my3+n与﹣3x6y2是同类项，求多项式0.3m2n﹣mn2+0.4n2m﹣m2n+nm2的值．
【思路点拨】根据同类项的概念即可求出m与n的值，然后将原式化简即可求出答案．
【规范解答】解：（1）由题意可知：2m＝6，3+n＝2，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴原式＝（0.3﹣1+）m2n+（﹣+0.4）mn2
＝﹣m2n+mn2
＝﹣×32×（﹣1）+×3×（﹣1）2
＝
【考点评析】本题考查同类项的概念，涉及代入求值，合并同类项等知识．
【典例精讲】（2020秋•泰州期中）若﹣2xmy4与3x2yn的和仍为单项式，则这两个单项式的和为 x2y4 ．
【思路点拨】根据合并同类项的法则求出m、n的值，再求出答案即可．
【规范解答】解：∵﹣2xmy4与3x2yn的和为单项式，
∴m＝2，n＝4，
∴﹣2xmy4+3x2yn
＝﹣2x2y4+3x2y4＝x2y4，
故答案为：x2y4．
【考点评析】本题考查了同类项定义和合并同类项法则，能根据合并同类项法则求出m、n的值是解此题的关键．
【变式训练8-1】（2022秋•鼓楼区校级月考）如果单项式2a2m﹣5bn+2与ab3n﹣2可以合并同类项，那么m和n的值分别为（ ）
A．2，3B．3，2C．﹣3，2D．3，﹣2
【思路点拨】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，进行计算即可．
【规范解答】解：由题意得：
2m﹣5＝1，n+2＝3n﹣2，
∴m＝3，n＝2，
故选：B．
【考点评析】本题考查了合并同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
【变式训练8-2】（2021秋•高邮市期末）若关于x、y的单项式xa+7y5与﹣2x3y3b﹣1的和仍是单项式，则ab的值是 16 ．
【思路点拨】根据题意可知3xa+7y5与﹣2x3y3b﹣1是同类项，从而得到a＝﹣4，b＝2，然后代入计算即可．
【规范解答】解：∵关于x、y的单项式3xa+7y5与﹣2x3y3b﹣1的和仍是单项式，
∴3xa+7y5与﹣2x3y3b﹣1是同类项．
∴a+7＝3，5＝3b﹣1，
∴a＝﹣4，b＝2，
∴ab＝（﹣4）2＝16，
故答案为：16．
【考点评析】此题考查了合并同类项及单项式，掌握含有相同字母，相同字母的指数相同的单项式叫同类项是解决此题关键．
【变式训练8-3】（2021秋•滨湖区期末）定义：若x﹣y＝m，则称x与y是关于m的相关数．
（1）若5与a是关于2的相关数，则a＝ 3 ．
（2）若A与B是关于m的相关数，A＝3mn﹣5m+n+6，B的值与m无关，求B的值．
【思路点拨】（1）根据相关数的定义得到5﹣a＝2，从而得到a的值；
（2）根据相关数的定义得到A﹣B＝m，从而B＝（3n﹣6）m+n+6，根据B的值与m无关得到3n﹣6＝0，求出n的值，从而得到B的值．
【规范解答】解：（1）∵5﹣a＝2，
∴a＝3，
故答案为：3；
（2）∵A﹣B＝m，
∴3mn﹣5m+n+6﹣B＝m，
∴B＝3mn﹣5m+n+6﹣m
＝3mn﹣6m+n+6
＝（3n﹣6）m+n+6，
∵B的值与m无关，
∴3n﹣6＝0，
∴n＝2，
∴B＝2+6＝8．
答：B的值为8．
【考点评析】本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键．
【变式训练8-4】（2022秋•锡山区校级期中）计算题：
（1）（﹣8）+10+2+（﹣1）
（2）（﹣2）÷（﹣10）×
（3）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）
（4）2a2﹣5a+a2+6+4a﹣3a2
【思路点拨】（1）根据有理数的加法法则进行计算即可；
（2）先根据有理数的除法法则进行计算，再根据有理数的乘法法则进行计算即可；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加法即可；
（4）根据合并同类项法则合并同类项即可．
【规范解答】解：（1）（﹣8）+10+2+（﹣1）
＝﹣9+12
＝3；
（2）（﹣2）÷（﹣10）×
＝×（﹣）
＝﹣；
（3）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）
＝﹣9÷9+（﹣6）
＝﹣1+（﹣6）
＝﹣7；
（4）2a2﹣5a+a2+6+4a﹣3a2
＝（2+1﹣3）a2+（﹣5+4）a+6
＝﹣a+6．
【考点评析】本题考查了有理数的混合运算和整式的加减，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解（1）（2）（3）的关键，能正确合并同类项是解（4）的关键．
【典例精讲】（2013秋•滨湖区校级期末）去括号，合并同类项
（1）﹣3（2s﹣5）+6s；
（2）3x﹣[5x﹣（x﹣4）]；
（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2+ab）；
（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）
【思路点拨】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去小括号，再去中括号，再合并同类项即可；
（3）先去括号，再合并同类项即可；
（4）先去括号，再合并同类项即可．
【规范解答】解：（1）﹣3（2s﹣5）+6s
＝﹣6s+15+6s
＝15；
（2）3x﹣[5x﹣（x﹣4）]
＝3x﹣[5x﹣x+4]
＝3x﹣5x+x﹣4
＝﹣x﹣4；
（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2+ab）
＝6a2﹣4ab﹣8a2﹣2ab
＝﹣2a2﹣6ab；
（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）
＝﹣6x2+3xy+4x2+4xy﹣24
＝﹣2x2+7xy﹣24．
【考点评析】此题考查了整式的运算，用到的知识点是去括号、合并同类项，在去括号时要注意符号的变化和去括号的顺序．
【变式训练9-1】（2021秋•江阴市期中）下列各式中与a﹣b﹣c的值不相等的是（ ）
A．a﹣（b+c）B．a﹣（b﹣c）C．（a﹣b）+（﹣c）D．（﹣c）﹣（b﹣a）
【思路点拨】根据去括号方法逐一计算即可．
【规范解答】解：A、a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c；
B、a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c；
C、（a﹣b）+（﹣c）＝a﹣b﹣c；
D、（﹣c）﹣（b﹣a）＝﹣c﹣b+a．
故选：B．
【考点评析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是”+“，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是”﹣“，去括号后，括号里的各项都改变符号．
【变式训练9-2】将整式﹣[a﹣（b+c）]去括号，得（ ）
A．﹣a+b+cB．﹣a+b﹣cC．﹣a﹣b+cD．﹣a﹣b﹣c
【思路点拨】根据去括号法则，先去小括号，再去中括号，有时可简化计算．
【规范解答】解：根据去括号法则：﹣[a﹣（b+c）]＝﹣（a﹣b﹣c）＝﹣a+b+c．
故选：A．
【考点评析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是”+“，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是”﹣“，去括号后，括号里的各项都改变符号．
【变式训练9-3】（2015秋•仪征市月考）去括号：5a3﹣[4a2﹣（a﹣1）]＝ 5a3﹣4a2+a﹣1 ．
【思路点拨】根据去括号的法则，进行计算即可．
【规范解答】解：原式＝5a3﹣（4a2﹣a+1）
＝5a3﹣4a2+a﹣1．
故答案为：5a3﹣4a2+a﹣1．
【考点评析】本题考查了去括号的知识，熟记去括号的法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【变式训练9-4】（2017秋•盱眙县期中）将a﹣（b﹣c）去括号得 a﹣b+c ．
【思路点拨】依据去括号法则化简即可．
【规范解答】解：a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c．
故答案为：a﹣b+c．
【考点评析】本题主要考查的是去括号法则，掌握去括号法则是解题的关键．
【典例精讲】（2022秋•梁溪区校级期中）已知代数式 A＝ax2﹣4x+y，B＝3x2﹣2bx﹣3（其中a、b为常数），且A﹣B的值与字母x的取值无关，则代数式 a﹣2b的值为 ﹣1 ．
【思路点拨】根据整式的加减运算法则进行化简，然后令含x的项的系数为零可求出a与b的值，然后代入原式即可求出答案．
【规范解答】解：A﹣B＝（ax2﹣4x+y）﹣（3x2﹣2bx﹣3）
＝ax2﹣4x+y﹣3x2+2bx+3
＝（a﹣3）x2+（2b﹣4）x+y+3，
由题意可知：a﹣3＝0，2b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝2，
∴a﹣2b＝3﹣4＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【考点评析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
【变式训练10-1】（2019秋•崇川区期末）若a2+2ab＝﹣10，b2+2ab＝16，则多项式a2+4ab+b2与a2﹣b2的值分别为（ ）
A．6，26B．﹣6，26C．6，﹣26D．﹣6，﹣26
【思路点拨】将多项式合理变形即可，a2+4ab+b2＝（a2+2ab）+（b2+2ab）；a2﹣b2＝（a2+2ab）﹣（b2+2ab）．
【规范解答】解：∵a2+2ab＝﹣10，b2+2ab＝16，
∴a2+4ab+b2
＝（a2+2ab）+（b2+2ab），
＝﹣10+16，
＝6；
∴a2﹣b2
＝（a2+2ab）﹣（b2+2ab），
＝﹣10﹣16，
＝﹣26．
故选：C．
【考点评析】解答本题的关键是合理的将多项式进行变形，与已知相结合．
【变式训练10-2】（2021秋•广陵区校级月考）对于任意实数m，n，如果满足，那么称这一对数m，n为“完美数对”，记为（m，n）．若（a，b）是“完美数对”，则3（3a+b）﹣（a+b﹣2）的值为（ ）
A．﹣2B．0C．2D．3
【思路点拨】由题意先求出b＝﹣4a，再化简3（3a+b）﹣（a+b﹣2）＝8a+2b+2，结合b＝﹣4a即可求解．
【规范解答】解：∵（a，b）是“完美数对”，
∴+＝，
∴b＝﹣4a，
∴3（3a+b）﹣（a+b﹣2）＝9a+3b﹣a﹣b+2＝8a+2b+2＝2，
故选：C．
【考点评析】本题考查整式的加减运算，理解“完美数对”的定义，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．
【变式训练10-3】（2022秋•灌云县期中）已知多项式M＝4x﹣1，N＝﹣2x﹣5，当x＝﹣1时，代数式4M﹣（2M+3N）的值为 ﹣1 ．
【思路点拨】先化简4M﹣（2M+3N）可得结果为2M﹣3N，再代入计算可得化简结果为2x+13，再把x＝﹣1代入计算即可．
【规范解答】解：∵M＝4x﹣1，N＝﹣2x﹣5，
∴4M﹣（2M+3N）＝4M﹣2M﹣3N＝2M﹣3N＝2（4x﹣1）﹣3（﹣2x﹣5）＝8x﹣2+6x+15＝14x+13，
当x＝﹣1时，
原式＝14×（﹣1）+13＝﹣14+13＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【考点评析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握“化简的先后顺序”是解本题的关键．
【变式训练10-4】（2022秋•仪征市期末）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x．
（1）求A﹣2B；
（2）当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣2B的值；
（3）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
【思路点拨】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接把x，y的值代入得出答案；
（3）直接利用已知得出5y＝2，即可得出答案．
【规范解答】解：（1）∵A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x，
∴A﹣2B＝（2x2+3xy+2y）﹣2（x2﹣xy+x）
＝2x2+3xy+2y﹣2x2+2xy﹣2x
＝5xy﹣2x+2y；
（2）当x＝﹣1，y＝3时，
原式＝5xy﹣2x+2y
＝5×（﹣1）×3﹣2×（﹣1）+2×3
＝﹣15+2+6
＝﹣7；
（3）∵A﹣2B的值与x的取值无关，
∴5xy﹣2x＝0，
∴5y＝2，
解得：．
【考点评析】此题主要考查了整式的加减﹣化简求值，正确合并同类项是解题关键．
【变式训练10-5】（2022秋•涟水县期中）先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中a＝﹣2，b＝﹣1．
【思路点拨】原式去括号合并同类项得到最简代数式，把a与b的值代入计算即可求出值
【规范解答】解：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b）
＝﹣a2b+3ab2﹣a2b﹣4ab2+2a2b
＝﹣ab2；
当a＝﹣2，b＝﹣1时，
原式＝﹣（﹣2）×（﹣1）2
＝2×1
＝2．
【考点评析】此题考查了整式的加减一化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．
【典例精讲】（2021秋•常熟市校级月考）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：＝+，＝+，＝+…，那么第7行第3个数字是 ．
【思路点拨】根据每个数是它下一行相邻两数的和，求出第5、6、7三行的第二个数，继而可得第7行的第3个数．
【规范解答】解：设第n行第m个数为a（n，m），
由题意知a（6，1）＝，a（7，1）＝，
∴a（7，2）＝a（6，1）﹣a（7，1）＝﹣＝，
a（6，2）＝a（5，1）﹣a（6，1）＝﹣＝，
a（7，3）＝a（6，2）﹣a（7，2）＝﹣＝，
故答案为：．
【考点评析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
【变式训练11-1】（2021秋•丹阳市期中）已知a1+a2＝1，a2+a3＝2，a3+a4＝﹣3，a4+a5＝﹣4，a5+a6＝5，a6+a7＝6，a7+a8＝﹣7，a8+a9＝﹣8，…，a99+a100＝﹣99，a100+a1＝﹣100，那么a1+a2+a3+…+a100的值为（ ）
A．﹣48B．﹣50C．﹣98D．﹣100
【思路点拨】由题意可得：a1+a2+a3+a4＝1﹣3＝﹣2，a5+a6+a7+a8＝5﹣7＝﹣2，据此即可求解．
【规范解答】解：由题意得：a1+a2+a3+a4＝1﹣3＝﹣2，a5+a6+a7+a8＝5﹣7＝﹣2，…，
则a1+a2+a3+…+a100
＝（a1+a2+a3+a4）+（a5+a6+a7+a8）+…+（a97+a98+a99+a100）
＝﹣2×（100÷4）
＝﹣2×25
＝﹣50．
故选：B．
【考点评析】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是由所给的式子分析出存在的规律．
【变式训练11-2】（2018秋•射阳县期中）已知最近的一届世界运动会、亚运会、奥运会分别于2017年、2018年、2020年举办，若这三项运动会都是每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办（ ）
A．2066年B．2067年C．2068年D．2069年
【思路点拨】根据题意，可知这三项运动会，一定不会在2019+4n的年份举行，然后令2019+4n等于各个选项中的数据，然后求出n的值，即可得到这三项运动会均不在下列哪一年举办．
【规范解答】解：∵最近的一届世界运动会、亚运会、奥运会分别于2017年、2018年、2020年举办，
∴这三项运动会，一定不会在2019+4n的年份举行，
令2019+4n＝2066，得n＝，
令2019+4n＝2067，得n＝12，
令2019+4n＝2068，得n＝，
令2019÷4n＝2069，得n＝，
∴n为整数，
∴在2067年，这三项运动会都不会举行，
故选：B．
【考点评析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出这三项运动会均不在哪一年举办．
【变式训练11-3】（2022秋•宜兴市月考）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2022＝ 4 ．
【思路点拨】分别求出a1＝﹣，a2＝，a3＝4，a4＝﹣，……，发现每三次运算后结果循环出现，即可求a2022＝a3＝4．
【规范解答】解：∵a1＝﹣，
∴a2＝＝，a3＝＝4，a4＝＝﹣，……，
∴每三次运算后结果循环出现，
∵2022÷3＝674，
∴a2022＝a3＝4，
故答案为：4．
【考点评析】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．
【变式训练11-4】（2022秋•如皋市校级期末）观察下列等式，并完成下列问题：
第1个：22﹣1＝1×3；
第2个：32﹣1＝2×4；
第3个：42﹣1＝3×5；
第4个：52﹣1＝4×6；
……
（1）请你写出第5个等式： 62﹣1＝5×7 ；
（2）第n（n≥1，且n为整数）个等式可表示为： （n+1）2﹣1＝n（n+2） ；
（3）运用上述结论，计算：20222﹣20202．
【思路点拨】（1）根据题中等式即可得出结果；
（2）由题意找出规律求解即可；
（3）利用（2）中规律变形，再逆用乘法分配律求解即可．
【规范解答】解：（1）根据题意得第5个等式为62﹣1＝5×7，
故答案为：62﹣1＝5×7；
（2）第n（n≥1，且n为整数）个等式可表示为：
（n+1）2﹣1＝n（n+2），
故答案为：（n+1）2﹣1＝n（n+2）；
（3）由（2）得，20222﹣20202
＝2021×2023+1﹣（2019×2021+1）
＝2021×2023+1﹣2019×2021﹣1
＝2021×（2023﹣2019）
＝8084．
【考点评析】题目主要考查数字规律计算及有理数的乘方运算，理解题意，找出相应规律是解题关键．
【典例精讲】（2022秋•射阳县校级月考）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是 10 ．
【思路点拨】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【规范解答】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3＝10，
故答案为：10．
【考点评析】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
【变式训练12-1】（2022秋•惠山区校级期末）观察下列一组图形，其中图形①中共有5颗黑点，图形②中共有10颗黑点，图形③中共有17颗黑点，图形④中共有26颗黑点，按此规律，图形⑨中黑点的颗数是（ ）
A．69B．62C．101D．74
【思路点拨】根据图形，列出部分图形中黑点的个数，根据数据的变化找出变化规律，即可求解．
【规范解答】解：图形①中共有5颗黑点，即：5＝2+3，
图形②中共有10颗黑点，即：10＝2+3+5，
图形③中共有17颗黑点，即：17＝2+3+5+7，
图形④中共有26颗黑点，即：26＝2+3+5+7+9，
所以按照此规律，
图形n中黑点的颗数是2+3+…+（2n+1）＝n2+2n+2（n≥1），
所以图形⑨中黑点的颗数是92+18+2＝101，
故选：C．
【考点评析】本题考查图形类的规律探索，解题的关键是根据图形变化的特点，找到相应的规律．
【变式训练12-2】（2022秋•江阴市期末）如图，将黑、白两种颜色的小正方形按照一定规律组合成一系列图案，若第n个图案中黑色小正方形个数记作Sn，如S1＝3，S2＝4，则S101等于（ ）
A．101B．102C．202D．203
【思路点拨】先求出前6个图案中黑色小正方形个数，再找出规律求解．
【规范解答】解：∵S2＝4×1＝4，S4＝4×2＝8，……，
∴当n＝2k时，Sn＝2n，
当n＝2k+1时，Sn＝2n+3，
∴S101＝2×100+3＝203，
故选：D．
【考点评析】本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
【变式训练12-3】（2020秋•盱眙县期中）根据如图所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第30个图中平行四边形的个数是 2790 ．
【思路点拨】首先发现第一个图中平行四边形的个数是1+2+3＝6个，第二个图中平行四边形的个数是（1+2+3）（1+2），第三个图中平行四边形的个数是（1+2+3）（1+2+3），…由此发现规律解答即可．
【规范解答】解：第一个图中平行四边形的个数是1+2+3＝6个，
第二个图中平行四边形的个数是（1+2+3）（1+2），
第三个图中平行四边形的个数是（1+2+3）（1+2+3），
…
第n个图中平行四边形的个数是（1+2+3）（1+2+3+…+n）＝3n（n+1），
因此第30个图中平行四边形的个数是3×30×（30+1）＝2790个；
故答案为：2790．
【考点评析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第n个图中平行四边形的个数为3n（n+1），进一步解决问题．
【变式训练12-4】（2022秋•灌云县月考）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）第⑤个图中有 15 个黑色圆点；第⑩个图中有 55 个黑色圆点；
（2）第 20 个图中有210个黑色圆点．
【思路点拨】图形问题，可以作差比较，发现第一个图形得两个得到第二个图形，第二个图形加三个得到第三个图形，第三个图形加四个得到第四个图形，以此类推，可找出规律．
【规范解答】解：第一个图形的数量是1，可以表示为；第二个图形的数量是3，可以表示为；第三个图形的数量是6，可以表示为；第四个图形的数量是10，可以表示为，根据此规律可以得到第n个图形的圆圈数量为，
（1）第⑤个图中有个黑色圆点；第⑩个图中有＝55个黑色圆点；
故答案为：15；55；
（2）设第x个图中有210个黑色圆点，可得：，
解得：x＝20，
故答案为：20．
【考点评析】此题考查图形的规律问题，图形问题可以通过作差发现规律，所以相邻两个的圆圈数量在逐渐增加，所以可以得出规律
商品
成本（元/件）
数量（件）
售价（元/件）
甲商品
m
30
a
乙商品
n
40
b