苏科版数学七年级上册期末复习专题4.4 一元一次方程（章节复习+能力强化卷）（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
知识点02：等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
知识点03：一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.
一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
1．（2分）（2023七上·海曙期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【规范解答】解：∵，得到，
∴的解为，
∵方程的解是，
∴，
故答案为：B.
【思路点拨】根据x、y的值可得x=1-y，则方程的解为y=-2021，据此解答.
2．（2分）（2023七上·长安期末）用200张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱.为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设用张彩纸制作圆柱侧面，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【规范解答】解：设把x张彩纸制作圆柱侧面，则有（200-x）张纸作圆柱底面，
根据题意可得：
故答案为：A.
【思路点拨】设把x张彩纸制作圆柱侧面，则有（200-x）张纸作圆柱底面，则可作侧面20x个，作底面60（200-x）个，进而根据底面的个数=侧面个数的2倍建立方程即可.
3．（2分）（2023七上·余姚期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方.图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【规范解答】解：如图，
由题意得：，解得：，
，解得：，
，解得：，
，即：，解得：，
，即，解得：，
则，即，解得：
所以，即，解得：
故答案为：C.
【思路点拨】根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等可表示出a、b、c、d、e、x，进而可得x的值.
4．（2分）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【规范解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【思路点拨】由题意可得x=y+1=-3，求解可得y的值.
5．（2分）（2023七上·桂平期末）下列方程的变形，正确的是（ ）.
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】D
【规范解答】解：A、由，得，因为移项时没有变号，所以原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由，得，原变形正确，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【思路点拨】根据等式的性质分别移项、将系数化为1将方程变形，再判断即可.
6．（2分）（2022七上·义乌月考）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则x+2y的值是 （ ）．
A．15B．17C．19D．21
【答案】D
【规范解答】解：由题意得：y+1=4+x，
∴y=3+x，
又∵4+1=-3+y，
∴x=5，
∴y=8，
∴x+2y=5+2×8=21.
故答案为：D.
【思路点拨】由每行每列每条对角线上的三个数之和相等得y+1=4+x，从而得y=3+x，又有4+1=-3+y，从而求得x=5，则y=8，再代入x+2y中计算求解.
7．（2分）（2021七上·乐平期末）一段跑道长100米，两端分别记为点A、B．甲、乙两人分别从A、B两端同时出发，在这段跑道上来回练习跑步，甲跑步的速度是6m/s，乙跑步的速度为4m/s，练习了足够长时间，他们经过了多次相遇，相遇点离A端不可能是（ ）
A．60米B．0米C．20米D．100米
【答案】B
【规范解答】解：设跑步时间为ts，
第一次相遇：
，
∴相遇点距A为60米，故A不符合题意；
第二次相遇：，
，
（米），
∴相遇点距A为20米，故C不符合题意；
第三次相遇：，
，
（米），
∴相遇点距A为100米，选项D说法符合题意，不符合题意；
第四次相遇：，
，
（米），
∴相遇点距A为20米；
第五次相遇：，
，
（米），
∴相遇点距A为60米；
综上，相遇点离A端不可能是0米，
故答案为：B．
【思路点拨】设跑步时间为ts，第一次相遇：，第二次相遇：，第三次相遇：，第四次相遇：，第五次相遇：，分讨论即可。
8．（2分）（2021七上·长春期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为（ ）
A．5B．3或5C．D．或5
【答案】D
【规范解答】解： 长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，
当在上时，
当在上时，
解得：
当在上时，如图，
解得：，经检验不符合题意，舍去，
所以当△APE的面积为5cm2时，x的值为5s或s，
故答案为：D
【思路点拨】分点P再AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，再根据三角形的面积公式计算即可。
9．（2分）（2021七上·江北期中）若不论 取什么实数，关于 的方程 （ 、 常数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【规范解答】解：∵关于x的方程 的解总是
∴
∴
∴
∴
解得：
∴
故答案为：A.
【思路点拨】将x=1代入方程中可得，根据方程解总是 ，可知该方程的解与k的值无关，故可得字母k的系数应该等于0，据此推出4+b=0，7-2a=0，据此解答即可.
10．（2分）（2021七上·玉山期末）如图，点O在直线 上，过O作射线 ， ，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t的值为（ ）
A．5B．4C．5或23D．4或22
【答案】C
【规范解答】解：∵ ，
∴ ，
①如图，
当 的反向延长线恰好平分锐角 时，
∴ ，
此时，三角板旋转的角度为 ，
∴ ；
②如图，
当 在 的内部时，
∴∠CON= ∠AOC=40°，
∴三角板旋转的角度为90°+100°+40°=230°，
∴ ；
∴t的值为：5或23．
故答案为： C ．
【思路点拨】先求出 ，再分类讨论，进行计算求解即可。
二、填空题(共10题；每题2分，共20分)
11．（2分）（2023七上·长安期末）如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中的值为 .
【答案】
【规范解答】解：根据题意知 ，
解得： ，
，
故答案为：-1.
【思路点拨】根据幻方的特点列出方程m+1-9=-5+0，求解得出m的值，将m的值代入待求式子计算即可.
12．（2分）（2023七上·义乌期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，当为11时的值是 .
【答案】17cm
【规范解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，由题意得
解得，
则n个纸杯叠放在一起时的高度为：，
当n=11时，其高度为：.
故答案为：17cm.
【思路点拨】设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，观察图形可得单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度=9，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度=14，根据两个等量关系列出方程组，求解即可.
13．（2分）（2023七上·慈溪期末）某外贸企业抓住优化疫情防控后的商机，投入资金生产某外贸产品，按疫情防控优化前的销售价格可获利，而优化疫情防控后产品价格增长了，生产成本仅增长了，最后该企业可比疫情优化前多盈利85万元，问该企业投入生产成本 万元.
【答案】250
【规范解答】解：设该企业投入生产成本万元，则按疫情防控优化前的销售价格可获利为：万元，优化疫情防控后可获利为：（万元），
∴，
解得：，
答：该企业投入生产成本为250万元.
故答案为：250.
【思路点拨】设该企业投入生产成本x万元，则按疫情防控优化前的销售价格可获利为20%x万元，由题意可得优化疫情防控后产品价格为(1+30%)x，优化疫情防控后可获利(1+20%)(1+30%)x-(1+2%)x=0.54x，然后根据该企业可比疫情优化前多盈利85万元建立关于x的方程，求解即可.
14．（2分）（2023七上·西安期末）小明和小刚从学校出发去敬老院送水果，小明带着东西先走了，小刚才出发.若小明每分钟行，小刚每分钟行，则小刚用 分钟可以追上小明.
【答案】5
【规范解答】解：设小刚用分钟可以追上小明，
根据题意得：，
解得：.
答：小刚用5分钟可以追上小明.
故答案为：5.
【思路点拨】设小刚用x分钟可以追上小明，根据小明与小刚x分钟的路程差=200建立方程，求解即可.
15．（2分）（2023七上·大竹期末）老张在装修新房时想在客厅的地面按照图1所示的正方形图案铺贴仿古地板砖，图1是由四块尺寸完全相同的长方形砖拼成的一个正方形，中间还可另外嵌一个面积为的小正方形花砖（花砖老张已另买）.但老张买砖时只看中了如图2所示的一款较大的正方形地砖，于是只能将其按照图3的方式切割出图1所需的长方形砖在进行铺贴，经过计算这样切割会让每块地砖产生废料.已知老张家客厅的面积为，请你帮老张算一下他需购买图2这款地砖 块.
【答案】120
【规范解答】解：，
，
，
，
设老张需购买图2这款地砖块，依题意有
，
解得.
答：老张需购买图2这款地砖120块.
故答案为：120.
【思路点拨】由题意得图3一个空白矩形的面积为0.12÷4=0.03m2，则阴影矩形的长为0.03÷0.1=0.3m，宽为0.3-0.1=0.2m，图1正方形图案的边长为0.3+0.2=0.5m，设老张需购买图2这款地砖x块，根据客厅的面积为30m2可得0.52x=30，求解即可.
16．（2分）（2023七上·澄城期末）清人徐子云《算法大成》中有一首名为“寺内僧多少”的诗：
巍巍古寺在山林，不知寺中几多僧．
三百六十四只碗，众僧刚好都用尽．
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．
请问先生明算者，算来寺内几多僧．
诗的大意是：在巍巍的大山和茂密的森林之中，有一座千年古寺，寺中有364只碗，要是3个和尚共吃一碗饭，4个和尚共喝一碗粥，这些碗刚好用完，问寺内有多少和尚？设有和尚人，由题意可列方程为 ．
【答案】
【规范解答】解：设有和尚x人，根据题意得
.
故答案为：
【思路点拨】设有和尚x人，根据3个和尚共吃一碗饭，4个和尚共喝一碗粥，可得到饭碗和粥碗的数量；然后根据寺中有364只碗，可得到关于x的方程.
17．（2分）（2022七上·龙港期中）下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算）
假设乘坐8千米，耗时：8÷40×60＝12分钟；出租车收费：8＋（8－3）×2.4＝20元；滴滴快车收费：8×1.4＋12×0.6＝18.4元．
为了提升市场竞争力，出租车公司推出行使里程超过10千米立减4.8元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费22.4元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付 元．
【答案】20.7或25.3
【规范解答】解：设此次的路程为x千米，
①假设此次的路程没有超过10千米，
则 8＋2.4（x－3）＝22.4 ，解得x=9，
则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需要支付9×1.4+（9÷40×60）×0.6=20.7元；
②假设此次的路程超过10千米，
则 8＋2.4（x－3）-4.8＝22.4 ，解得x=11，
则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需要支付11×1.4+（11÷40×60）×0.6=25.3元；
综上， 若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付20.7或25.3元
故答案为：20.7或25.3.
【思路点拨】设此次的路程为x千米，此题需要分类讨论：①假设此次的路程没有超过10千米，②假设此次的路程超过10千米，分别根据出租车的计费方式列出方程，求解算出x的值，进而再根据滴滴快车的收费方式计算即可得出答案.
18．（2分）（2021七上·顺德期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1与3．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点Q从B点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀速运动．设P、Q两点的运动时间为t秒，当PQ＝AB时，t＝ ．
【答案】2或6或
【规范解答】解：①Q点向右运动
t秒后，点P表示的数为-1+2t，点Q表示的数为3+t
解得或6
②Q点向左运动
t秒后，点P表示的数为-1+2t，点Q表示的数为3-t
解得或
当t为2或6或，PQ＝AB
故答案为：2或6或．
【思路点拨】先表示出运动t秒时P、Q两点表示的数，再根据列方程求解即可。
19．（2分）（2021七上·官渡期末）学校为“中国共产党建党100周年合唱比赛”印制宣传册，某复印店的收费标准如下：
①印制册数不超过100册时，每册2元；
②印制册数超过100册但不超过300册时，每册按原价打八折；
③印制册数超过300册时，前300册每册按原价打八折，超过300册的部分每册按原价打六折；
学校在复印店印制了两次宣传册，分别花费192元和576元，如果学校把两次复印的宣传册合并为一次复印，则可节省 元．
【答案】76.8或48
【规范解答】解：设：印制册的花费为元，
由题意可知：当印制册数不超过100册时，对应的花费元，
当印制册数超过100册但不超过300册时，对应的花费为元，
当印制册数超过300册时，对应的花费为元，
对于第一次花费来说，设宣传册数为，
由于花费为192元，故分两种情况讨论，
①当时，，解得：，
②当时，，解得：，
对于第二次花费来说，设宣传册数为，
由于花费为576元，故只能是第③种优惠方案，
，解得：
第一次购买是96册时：优惠为元，
第一次购买是120册时：优惠为元，
故答案为：76.8或48．
【思路点拨】对于第一次花费来说，设宣传册数为x，分两种情况，再分别列出方程求出x的值，再对于第二次花费来说，设宣传册数为y，分别列出方程求出y的值，最后计算求解即可。
20．（2分）（2021七上·余杭期中）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为-10，点B表示的数为30，点M以每秒6个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．
【答案】或
【规范解答】解：设经过t秒 ，点M、点N分别到原点O的距离相等 ，
|-10+6t|=2t，
当-10+6t时，
10-6t=2t，
解得t=；
综上，t=或.
故答案为：或.
​​​​​​​【思路点拨】设经过t秒 ，根据点M、点N分别到原点O的距离相等，列出绝对值方程，然后分两种情况讨论，即当t时，分别去绝对值解方程，即可解答.
三、解答题(共8题；共60分)
21．（12分）（2021七上·德阳月考）计算题、解方程
（1）（3分）
（2）（3分）
（3）（3分）2(x－3)－3＝19－5(2x－4）
（4）（3分）
【答案】（1）解：原式=6+3+2=6+3+2=6+3+18=27.
（2）解：原式=-1-0.5.
（3）解：2x-6-3=19-10x+20
2x+10x=19+20+6+3
12x=48
x=4
（4）解：
25x-(10x-1)=5
25x-10x+1=5
15x=5-1
15x=4
【思路点拨】（1）利用有理数乘法，绝对值，有理数乘方，得出6+3+2，再利用有理数除法，得出6+3+2，再利用有理数乘法和有理数加法，得出结果。
（2）根据混合运算顺序，利用有理数乘方，得出结果。
（3）利用去括号法则，得出2x-6-3=19-10x+20，再利用移项，得出2x+10x=19+20+6+3，最后得出结果。
（4）利用分数的基本性质，得出，再利用去分母，得出25x-(10x-1)=5，再利用去括号，得出25x-10x+1=5，再利用移项，得出15x=5-1，最后得出结果。
22．（5分）年卡塔尔举行的足球世界杯期间，有甲、乙两种价格的门票，甲种门票价格为元人民币/张，乙种门票价格为元人民币/张，王先生购买这两种价格的门票共6张，花了元人民币，求王先生购买甲、乙两种门票各多少张？
【答案】解：设甲种门票张，则乙种门票张，根据题意得：
，
解得，
张
答：甲、乙两种门票分别为2张和4张.
【思路点拨】设甲种门票x张，则乙种门票(6-x)张，根据甲的单价×张数+乙的单价×张数=总价结合题意建立关于x的方程，求解即可.
23．（5分）（2023七上·陈仓期末）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑得快的马每天走240 里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
【答案】解：设快马x天可以追上慢马，
根据题意，得
解得
答：快马20天可以追上慢马.
【思路点拨】 设快马x天可以追上慢马， 由路程=速度乘以时间及快马x天所跑的路程等于慢马（x+12）天所跑的路程建立方程，求解即可.
24．（6分）（2023七上·海曙期末）某口罩生产企业第一车间有工人150名，第二车间工人数比第一车间的多10人.
（1）（3分）求第二车间工人数；
（2）（3分）现因生产需要，给两个车间都增加了工人，已知第二车间增加的工人数是第一车间增加的工人数的2倍，若此时第二车间工人数比第一车间多10人，求第一车间增加的工人数.
【答案】（1）解：∵第一车间有工人150名，第二车间工人数比第一车间的多10人，
∴第二车间工人数为（人）
（2）解：设第一车间增加x名工人，则第二车间增加人，根据题意，得
，
解方程得，
故第一车间增加的工人数为30.
【思路点拨】（1）由题意可得：第二车间工人数为150×+10，计算即可；
（2）设第一车间增加x名工人，则第二车间增加2x人，则此时第二车间的人数为(130+2x)，第一车间的人数为(150+x)，然后根据第二车间工人数比第一车间多10人建立方程，求解即可.
25．（8分）（2023七上·桂平期末）为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元.
（1）（2分）如果小张家一个月用电128度，那么这个月应缴纳电费多少元？
（2）（3分）如果小张家一个月用电a度，那么这个月应缴纳电费多少元？（用含a的代数式表示）
（3）（3分）如果这个月缴纳电费为147.8元，那么小张家这个月用电多少度？
【答案】（1）解：由题意得：这个月应缴纳电费：0.5×128=64（元），
答：这个月应缴纳电费64元；
（2）解：若a≤150，这个月应缴纳电费为：0.5a，
若a＞150，这个月应缴纳电费为：0.5×150+0.8（a﹣150）＝0.8a﹣45，
答：若a≤150，这个月应缴纳电费为：0.5a，若a＞150，这个月应缴纳电费为：0.8a﹣45；
（3）解：∵0.5×150＝75＜147.8，
∴小张家这个月用电超过150度，
设小张这个月用电x度，
根据题意得：0.8x﹣45＝147.8，
解得：x＝241，
答：小张家这个月用电241度.
【思路点拨】（1）如果小张家一个月用电128度，由于128＜150，按每度电0.5元计算即可；
（2）分两种情况： a≤150和a＞150 ，根据每种方案分别列式即可；
（3） 由于0.5×150＝75＜147.8，可知小张家这个月用电超过150度， 设小张这个月用电x度， 根据题意列出方程并解之即可.
26．（8分）（2023七上·玉林期末）某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：
（1）（2分）根据上表，用水量每月不超过，实际每立方米收水费多少元？如果10月份某用户用水量为，那么该用户10月份应该缴纳水费多少元？
（2）（3分）某用户11月份共缴纳水费80元，那么该用户11月份用水多少？
（3）（3分）若该用户水表12月份出了故障，有25%的水量没有计入水表中，这样该用户在12月份只缴纳了54元水费，问该用户12月份实际应该缴纳水费多少元？
【答案】（1）解：根据表中数据可知， 每月不超过，
实际每立方米收水费 （元），
10月份某用户用水量为，不超过，
∴该用户10月份应该缴纳水费（元），
（2）解：由（1）知实际每立方米收水费3元， ，
∴11月份用水量超过了，
设11月份用水量为，
根据题意列方程得， ，
解得，
答：该用户11月份用水；
（3）解：由（1）知实际每立方米收水费3元， ，
∴水表12月份出故障时收费按没有超过计算，
设12月份实际用水量为，
根据题意列方程得，，
解得，
（元），
答：该用户12月份实际应该缴纳水费76元.
【思路点拨】（1）根据表中数据可得：当每月不超过20m3时，实际每立方米的费用为3元，然后根据单价×数量=总费用进行计算；
（2）由（1）知实际每立方米收水费3元，20×3=60