苏科版数学七年级上册期末复习专题6.4 平面图形的认识（一）（章节复习+考点讲练）（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：直线、射线、线段
直线，射线与线段的区别与联系
2. 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间线段最短．
知识要点：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图：
4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.
（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：.
知识要点：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.
如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.
（4）线段的延长线：如下图，图①称为延长线段AB，或称为反向延长线段BA；图②称为延长线段BA，或称为反向延长线段AB. 图中延长的部分叫做原线段的延长线.
知识点02：角
1．角的概念及其表示
（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
知识要点：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
2.角的分类
3.角的度量
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.
知识要点：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
4.角的平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1＝∠2＝∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
5．余角、补角、对顶角
（1）余角、补角：
若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
知识要点：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．
（2）对顶角：对顶角相等．
知识点03：平行与垂直
1. 同一平面内的两条直线的位置关系:平行与相交. 平行用符号“∥”表示.
知识要点：只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.
2.垂线
（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．
（2）垂线的性质：
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【典例精讲】（2020秋•江阴市校级月考）如图所示，图中共有 2 条直线， 13 条射线， 6 条线段．
【思路点拨】根据直线，射线、线段的定义，利用表示方法表示出来即可．
【规范解答】解：图中共有2条直线，即直线AB、BC；13条射线，即射线AC、CA、BC、CB、DC、AB、DB，还有6条不可以表示的；6条线段，即线段AB、AD、BD、AC、DC、BC．
故答案为：2，13，6．
【考点评析】本题考查了直线、线段、射线的定义，能正确表示射线，直线、线段是解此题的关键．
【变式训练1-1】（2022秋•海门市期末）往返A，B两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．7种
【变式训练1-2】（2019秋•崇川区校级月考）观察图形，下列说法正确的个数是（ ）
（1）直线BA和直线AB是同一条直线
（2）射线AC和射线AD是同一条射线
（3）AB+BD＞AD
（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练1-3】（2021秋•东台市期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：
P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段AB）．
特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．
已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．
如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）＝1，d2（点C，线段AB）＝8．
（1）若点D表示的数为﹣7，则
d1（点D，线段AB）＝ ，d2（点D，线段AB）＝ ；
（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）＝3，则m的值为 ；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）＝12，则n的值为 ．
（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
【典例精讲】（2022秋•如皋市校级期末）如图，C，D为线段AB上两点，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB＝ 4 cm．
【思路点拨】根据D为线段AC的中点，可得AC＝2AD＝3cm，再根据线段的和差即可求解．
【规范解答】解：∵D为线段AC的中点，
∴AC＝2AD＝3cm，
∵AB＝7cm，
∴CB＝AB﹣AC＝7﹣3＝4（cm），
故答案为：4．
【考点评析】本题主要考查了有关中点的计算，熟练掌握把一条线段分成相等的两段的点，叫做这条线段的中点是解题的关键．
【变式训练2-1】（2022秋•泸县校级期末）下列说法：①经过一点有无数条直线；②两点之间线段最短；③经过两点，有且只有一条直线；④若线段AM等于线段BM，则点M是线段AB的中点，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练2-2】（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．A小区B．B小区C．C小区D．D小区
【变式训练2-3】（2022秋•句容市校级期末）如图，延长线段AB到C，使BC＝3AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝3cm．
（1）求AC的长度．
（2）若点E是线段AC的中点，求ED的长度．
【典例精讲】（2022秋•如皋市校级期末）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在AC的延长线上，且CD＝AB．
（1）请用圆规在图中确定D点的位置；
（2）比较线段的大小：AC ＝ BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（3）若AB：BC＝2：5，AC＝14，求AD的长．
【思路点拨】（1）以点C为圆心，AB长为半径画弧交AC的延长线于点D，即为所求；
（2）由线段AB＝CD得出AB+BC＝CD+BC，即可得出结论；
（3）由已知求出AB＝4，得出CD＝4，即可得出AD的长．
【规范解答】解：（1）如图所示，以点C为圆心，AB长为半径画弧交AC的延长线于点D，即为所求，
（2）∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD；
故答案为＝；
（3）∵AB：BC＝2：5，AC＝14，
∴，
∴CD＝4，
∴AD＝AC+CD＝18，
故答案为：18．
【考点评析】本题考查线段长短的计算及作一条线段等于已知线段，对线段长进行大小比较以及对线段长度求值，结合图形求解是解题关键．
【变式训练3-1】（2022秋•姑苏区校级期末）如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若AC＝18，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
【变式训练3-2】（2019秋•宿城区校级期末）如图，已知点A、B、C、D、E在同一直线上，且AC＝BD，E是线段BC的中点．
（1）点E是线段AD的中点吗？说明理由；
（2）当AD＝10，AB＝3时，求线段BE的长度．
【变式训练3-3】（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．
（2）在（1）中，如果AC＝acm，BC＝bcm，其它条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律．
（3）对于（1）题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC＝6cm，BC＝4cm，点C在直线AB上，点M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．
【典例精讲】（2022秋•赣榆区校级月考）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】根据角的表示方法和图形进行判断即可．
【规范解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
D、图中的∠1不能用∠O表示，故本选项错误；
故选：C．
【考点评析】本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
【变式训练4-1】（2020秋•高淳区校级期末）在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA、OB可组成的角的个数是（ ）
A．595B．406C．35D．666
【变式训练4-2】（2019秋•沭阳县期末）如图，∠AOB的度数是 °．
【变式训练4-3】已知如图，∠AOB是锐角，以O为端点向∠AOB内部作一条射线，则图中有多少个角？若作二条、三条射线有多少个角？n条时有多少个角？画一画，你发现什么规律？
【典例精讲】（2021秋•徐州期末）上午10：00，钟面上时针与分针所成角的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【思路点拨】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答．
【规范解答】解：由题意得：
2×30°＝60°，
∴上午10：00，钟面上时针与分针所成角的度数是：60°，
故选：C．
【考点评析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
【变式训练5-1】（2022秋•泗阳县校级期末）9点30分时，钟表上时针与分针所组成的角为 度．
【变式训练5-2】（2020秋•崇川区校级月考）时钟表面3点25分时，时针与分针所成夹角（小于平角）的度数是 ．
【变式训练5-3】（2017秋•兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为 °，分针每分钟转动的角度为 °；
（2）8点整，钟面角∠AOB＝ °，钟面角与此相等的整点还有： 点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．
【典例精讲】（2021秋•启东市校级月考）如图，OA表示北偏东20°方向的一条射线，OB表示南偏西50°方向的一条射线，则∠AOB的度数是（ ）
A．100°B．120°C．140°D．150°
【思路点拨】根据方向角的定义可直接确定∠AOB的度数．
【规范解答】解：因为OA表示北偏东20°方向的一条射线，OB表示南偏西50°方向的一条射线，
所以∠AOB＝20°+90°+（90°﹣50°）＝150°．
故选：D．
【考点评析】本题考查了方向角及其计算．掌握方向角的概念是解题的关键．
【变式训练6-1】（2023•南开区校级开学）如图，A、O、B在同一条直线上，如果OA的方向是北偏西37°47′，那么OB的方向是 ．
【变式训练6-2】（2013秋•海安县校级期末）小明从A处向北偏东72°38′方向走10m到达B处，小亮也从A处出发向南偏西15°38′方向走15m到达C处，则∠BAC的度数为 度．
【变式训练6-3】（2014秋•靖江市校级月考）如图，货轮D在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60°的方向上．同时，在货轮D的北偏西30°、西北方向上又发现了客轮B和海岛C．
（1）仿照表示灯塔方位的方法，在图中画出表示客轮B和海岛C方向的射线；
（2）在（1）的条件下填空：∠BOC＝ ，∠BOA＝ ；和∠AOF互余的角为 ．
【典例精讲】（2022秋•宜兴市月考）下列说法中：其中正确的有（ ）
①1°＝60′；
②若2AC＝BC，则A是线段BC的中点；
③两点之间所有连线中，直线最短；
④两点确定一条直线．
A．②③④B．①②③C．①②④D．①④
【思路点拨】①根据度分秒的换算进行判定即可得出答案；
②根据题意画出图形，如图进行判定即可得出答案；
③根据线段的性质进行判定即可得出答案；
④根据直线的性质进行判定即可得出答案．
【规范解答】解：①因为1°＝60′，所以①说法正确，故①选项符合题意；
②如图，因为2AC＝BC，A不是线段BC的中点，所以②说法不正确，故②选项不符合题意；
③因为两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，所以③说法不正确，故③选项不符合题意；
④因为直线公理：经过两点有且只有一条直线．所以④说法正确，故④选项符合题意．
所以说法正确的有①④，
故选：D．
【考点评析】本题考查了度分秒的换算，两点间的距离，直线的性质，线段的性质，掌握两点间的距离，直线的性质，线段的性质进行判定是关键．
【变式训练7-1】（2022秋•兴化市期末）54°36′＝ 度．
【变式训练7-2】（2017秋•崇川区校级期末）计算：15°37′+42°51′＝ ．
【变式训练7-3】（2019秋•港闸区校级月考）（1）；
；
（3）42°15'26''×4﹣21°36'20''÷5+3.295°．
【典例精讲】（2021秋•大丰区期末）射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOC+∠BOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOCD．∠BOC＝∠AOB
【思路点拨】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．可知B不一定正确．
【规范解答】解：A、射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝∠BOC，则OC是∠AOB的平分线，故选项A不符合题意；
B、射线OC在∠AOB的内部，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，则不能判断OC是∠AOB的平分线，故选项B符合题意；
C、射线OC在∠AOB的内部，∠AOB＝2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线，故选项C不符合题意；
D、射线OC在∠AOB的内部，∠BOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线，故选项D不符合题意；
故选：B．
【考点评析】此题主要考查了从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．
【变式训练8-1】（2022秋•启东市校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．当直线CD绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，下列各角的度数与∠BOD度数变化无关的角是（ ）
A．∠AODB．∠AOCC．∠EOFD．∠DOF
【变式训练8-2】（2021秋•溧阳市期末）OC、OD是∠AOB内部任意两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠MON＝m°，∠COD＝n°，则∠AOB＝ °（用含m、n的代数式表示）．
【变式训练8-3】（2022秋•徐州期末）如图①，点O在直线AB上，∠BOC＝50°．将直角三角尺（斜边为DE）的直角顶点放在点O处，一条直角边OE放在射线OB上．已知∠DEO＝30°，将该三角尺绕点O按逆时针方向旋转180°，在旋转过程中，解决下列问题．
（1）如图②，若射线OE平分∠BOC，则∠COD与∠DOA的数量关系为 ；
（2）如图③，当斜边DE与射线OA相交时，∠COE与∠AOD的差是否保持不变？请说明理由．
【典例精讲】（2021秋•兴化市校级月考）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝4∠DOE，∠COE＝α，则∠BOE的度数为（ ）
A．360°﹣4αB．180°﹣4αC．αD．270°﹣3α
【思路点拨】设∠DOE＝x，则∠BOD＝4x、∠BOE＝3x，根据角之间的等量关系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可．
【规范解答】解：设∠DOE＝x，则∠BOD＝4x，
∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD，
∴∠BOE＝3x，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣4x．
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD＝∠AOD＝（180°﹣4x）＝90°﹣2x．
∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°﹣2x+x＝90°﹣x，
由题意有90°﹣x＝α，解得x＝90°﹣α，
则∠BOE＝270°﹣3α，
故选：D．
【考点评析】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键．
【变式训练9-1】（2020秋•姜堰区期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝10°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【变式训练9-2】（2021秋•相城区校级月考）在同一平面内，∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为 ．
【变式训练9-3】（2022秋•南通期末）定义：从∠MPN的顶点P引一条射线PQ（不与PM重合），若∠QPN+∠MPN＝180°，则称射线PQ为∠MPN关于边PN的补线．
（1）下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号）
（2）如图，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB同侧，OD是∠BOC的平分线，则OC是∠AOD关于边OD的补线吗？为什么？
（3）已知射线OC为∠AOB关于边OB的补线，OP是∠BOC的平分线．若∠AOB＝α，试用含α的式子表示∠AOP（直接写出结果）．
【典例精讲】（2022秋•玄武区校级期末）已知一个角的补角比这个角的余角3倍大10°，则这个角的度数是 50 度．
【思路点拨】相加等于90°的两角称作互为余角，也作两角互余．和是180°的两角互为补角，本题实际说明了一个相等关系，因而可以转化为方程来解决．
【规范解答】解：设这个角是x°，
则余角是（90﹣x）度，补角是（180﹣x）度，
根据题意得：180﹣x＝3（90﹣x）+10
解得x＝50．
故填50．
【考点评析】题目反映了相等关系问题，就可以利用方程来解决．
【变式训练10-1】（2022秋•亭湖区期末）若∠AOC与∠BOD互余，且∠AOC＝48°，则∠BOD的度数为（ ）
A．132°B．42°C．48°D．138°
【变式训练10-2】（2021秋•启东市期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【变式训练10-3】．（2022秋•锡山区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，将一个直角三角尺的直角顶点放置在点O处，且ON平分∠BOD．
（1）若∠AOC＝64°，求∠MOB的度数；
（2）试说明OM平分∠AOD．
【典例精讲】（2022秋•泗洪县期末）如图所示，从A地到B地有多条道路可⾛，⼈们往往会选择⾛中间的直路，这是因为（ ）
A．两点之间线段最短
B．两条直线相交只有一个交点
C．两点确定一条直线
D．其他的路⾏不通
【思路点拨】由题意从A地到B地有多条道路，肯定要尽量选择两地之间最短的路程，就用到两点间线段最短的数学知识．
【规范解答】解：从A到B有多条道路，人们会走中间的直路，而不会走其他曲折的路，这是因为两点之间线段最短．
故选：A．
【考点评析】本题考查了线段的性质，解题的关键是熟练掌握线段的性质：两点之间线段最短．
【变式训练11-1】（（2020秋•崇川区校级月考）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：两条直线相交，最多有一个交点，三条直线相交，最多有三个交点，四条直线相交，最多有6个交点，像这样，10条直线相交，最多交点的个数是（ ）
A．40个B．45个C．50个D．55个
【变式训练11-2】（2021秋•滨湖区期末）在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是 ．
【变式训练11-3】（2019秋•临江市期末）试用几何语言描述下图： ．
【典例精讲】（2022秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90°，图中与∠BOC互补的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】根据互为余角的定义以及对顶角的定义可得∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，再根据互为补角的定义以及等量代换可得答案．
【规范解答】解：∵∠AOE＝∠COF＝90°，即∠AOC+∠COE＝∠COE+∠EOF＝90°，
∴∠AOC＝∠EOF，
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，
∵∠BOC+∠AOC＝180°，即∠BOC与∠AOC互为补角，
∴∠BOC互补的角有：∠AOC，∠BOD，∠EOF共3个，
故选：C．
【考点评析】本题考查互为余角、互为补角、对顶角，掌握互为余角、互为补角以及对顶角的定义是正确解答的前提．
【变式训练12-1】（2017秋•丰县校级月考）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练12-2】（2022秋•射阳县校级期末）已知如图，直线AB、CD相交于点O，OE为射线，若∠AOE+∠DOE＝110°，则∠AOC＝ °．
【变式训练12-3】（2021秋•高邮市期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．
（1）如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
（2）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
（3）如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
【典例精讲】（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【思路点拨】根据生活经验结合数学原理解答即可．
【规范解答】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【考点评析】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握数学和生活密不可分的关系是解答本题的关键．
【变式训练13-1】（2018秋•泰兴市期末）在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段PC的长，理由是 ．
【变式训练13-2】（2021秋•泰兴市期末）如图，用三张卡片拼成如图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为C1、C2．
（1）请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是 ．（填写正确选项的字母）
A．两点之间线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
（2）分别计算C1、C2（用含m、n的代数式表示）；
（3）比较与的大小，并说明理由．
【变式训练13-3】（2022秋•姑苏区校级期末）如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是 ．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是 ．
【典例精讲】（2019秋•邗江区校级期末）点P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA＝4cm，PB＝5cm，则点P到直线l的距离是（ ）
A．4cmB．小于4cmC．不大于4cmD．5cm
【思路点拨】根据垂线段最短，即可求解．
【规范解答】解：根据垂线段最短，则点P到直线l的距离应该小于PA、PB中最小的，
故选：C．
【考点评析】本题考查的是点到直线的距离的内容，要理解基本定义，明确垂线段最短．
【变式训练14-1】（2022秋•玄武区校级期末）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C，D．则点A到直线BC的距离是线段 的长．
【变式训练14-2】（2021秋•金坛区月考）如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，则点A到直线l1的距离是 ．
【变式训练14-3】（2018秋•盐都区期末）如图，A、B、C是平面内三点．
（1）按要求作图：
①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；
②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ；
（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B
之间的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP+PQ的最小值为 ，依据是 ．
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β＝90°
90°