初中数学浙教版（2024）九年级上册3.3 垂径定理巩固练习

这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册3.3 垂径定理巩固练习，文件包含浙教版数学九年级上册同步考点练习专题33垂径定理及其推论十大题型原卷版doc、浙教版数学九年级上册同步考点练习专题33垂径定理及其推论十大题型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19590" 【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】 PAGEREF _Tc19590 \h 1
\l "_Tc13554" 【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】 PAGEREF _Tc13554 \h 3
\l "_Tc26470" 【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】 PAGEREF _Tc26470 \h 8
\l "_Tc7180" 【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 PAGEREF _Tc7180 \h 14
\l "_Tc11397" 【题型5 利用垂径定理求平行弦问题】 PAGEREF _Tc11397 \h 19
\l "_Tc30859" 【题型6 利用垂径定理求同心圆问题】 PAGEREF _Tc30859 \h 23
\l "_Tc16918" 【题型7 垂径定理的实际应用】 PAGEREF _Tc16918 \h 27
\l "_Tc10956" 【题型8 垂径定理在格点中的运用】 PAGEREF _Tc10956 \h 33
\l "_Tc30230" 【题型9 利用垂径定理求整点】 PAGEREF _Tc30230 \h 38
\l "_Tc17317" 【题型10 利用垂径定理求最值或取值范围】 PAGEREF _Tc17317 \h 41
【知识点1 垂径定理及其推论】
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】
【例1】（2023春·九年级单元测试）如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据垂径定理判断即可；
【详解】∵直径垂直于弦于点，则由垂径定理可得，，，，故选项A，B，D正确；无法得出，故C错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:
甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.
下面对这两个命题的判断,正确的是
A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲乙都对D．甲乙都错
【答案】D
【分析】根据在同圆或等圆中, 如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、 两条弦中有一组量相等, 则另外两组量也相等，可判断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题.
【详解】(1)在同圆或等圆中, 相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误; (2)平分弦的直径垂直于不是直径的弦; 故乙命题项错误;
故选D.
【点睛】本题主要考查同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理.
【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线经过圆心
C．平分弦的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦
【答案】ABD
【分析】根据垂径定理及其推论进行判断即可．
【详解】A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，正确；
B、弦的垂直平分线经过圆心，正确；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
D、平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦，正确；
故选ABD．
【点睛】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．
【变式1-3】（2023·福建三明·泰安模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．DE=BEB．
C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形
【答案】B
【详解】试题分析：∵AB⊥CD，AB过O，
∴DE=CE，，
根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．
故选B．
【考点】垂径定理．
【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】
【例2】（2023·贵州遵义·统考三模）在半径为r的圆中，弦垂直平分，若，则r的值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设交于D，根据题意和垂径定理得到，在由勾股定理得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：设交于D，
∵弦垂直平分，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
故选C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，利用方程的思想求解是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·浙江·九年级统考阶段练习）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为 ．
【答案】7
【分析】当OE⊥AB，EF最大，即点F与点B重合，过O作OE⊥AB于E，连接OB，根据垂径定理得到BE=4，根据勾股定理得到OE=，从而得到答案．
【详解】解：当OE⊥AB，EF最大，即点F与点B重合，
过O作OE⊥AB于E，连接OB，
∵AB=8，
∴BE=4，
∵OB=5，
∴OE==3，
∴OE+EF=OE+OB=7，故答案为7．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.
【变式2-2】（2023·湖北孝感·校联考一模）如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E点，已知⊙O的半径为1，则 的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】连接BE，根据垂径定理得到AD=DB，得到EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AD=DB，
∴EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，
∵∠ECB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°，
∴∠BEC=90°，
在直角△BEC中，BE2+CE2=BC2，
∵OC⊥OB，且OC=OB=OA
∴BC2=2OA2=2，
∴BE2+CE2=2，即AE2+CE2=2．
故选：B．
【变式2-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°．
（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；
（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；
（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围．
【答案】（1）；（2）；（3）不变，值为
【分析】（1）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，则OH=OP=，再在Rt△OHN中，利用勾股定理计算出NH=，然后根据垂径定理由OH⊥MN得到HM=HN，所以MN=2NH=2；
（2）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可计算出ON=，所AB=2ON=2；
(3) 作OH⊥MN于H，连接ON，根据垂定理得HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，则PH2+NH2=R2，然后变形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值为2R2，又AB=2R，代入计算即可求出答案．
【详解】解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，OP=2，
在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，
∴OH=OP=，
在Rt△OHN中，∵ON=4，OH=，
∴NH===，
∵OH⊥MN，
∴HM=HN，
∴MN=2NH=2；
（2）作OH⊥MN于H，连接ON，
则HM=HN，
∵MP=3，NP=5，
∴MN=8，
∴HM=HN=4，
∴PH=1，
在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，
∴OH=1，
在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，
∴ON==，
∴AB=2ON=2；
（3）的值不发生变化，为定值，
作OH⊥MN于H，连接ON，
则HM=HN，
设圆的半径为R，
在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2，
在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，
∴OH=PH，
∴PH2+NH2=R2，
∵PM2+PN2=（HM-PH）2+（NH+PH）2
=（NH-PH）2+（NH+PH）2
=2（PH2+NH2）
=2R2．
又AB2=4R2，
∴==
∴的值不发生变化，为定值．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】
【例3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，的弦垂直于，点为垂足，连接．若，，则的值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点作于点，于点，连接，根据垂径定理可求出的值，再证，可得，根据正方形的判定可得四边形为正方形，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，连接，

∴根据垂径定理得，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，是正方形的对角线，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础值，垂径定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
【答案】3
【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．
【详解】解：∵E点为AF中点，
∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在△AEO和△ODC中，
，
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝＝＝3．
【点睛】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键
【变式3-2】（2023·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;
（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．
【详解】证明：（1）连结，
∵M、N分别是和的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在中，，
，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
，
，
∴，
;

（2）设OG交MN于E，
，
∴，
∴，即，
，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四边形，
，
∴四边形ACNM是矩形．
【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．
【变式3-3】（2023春·江西赣州·九年级统考期末）按要求作图
(1)如图1，已知是的直径，四边形为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出的角平分线；
(2)如图2，已知是的直径，点C是的中点，，请你用无刻度的直尺在射线上找一点P，使四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AD，EC交于点F，作射线OF交于点P，OP即为所求；
（2）连接DB，OC交于点E，作射线AE交DC于点P， 四边形即为所求．
【详解】（1）解：如图1，连接AD，EC交于点F，作射线OF交于点P，OP即为所求；
四边形ACDE为平行四边形，
，
，
是的角平分线；
（2）如图2，连接OD，连接DB，OC交于点E，作射线AE交射线DC于点P， 四边形即为所求；
点C是的中点，
,
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂径定理，三线合一，掌握以上知识是解题的关键．
【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】
【例4】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图像被截得的弦的长为，则a的值是（ ）

A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】作轴于C，交于D，作于E，连接，求出D点坐标为，可得为等腰直角三角形，从而也为等腰直角三角形．根据垂径定理得，在中，利用勾股定理求出，再求出的长即可求解．
【详解】解：作轴于C，交于D，作于E，连接，如图，
∵的圆心坐标是，
∴，
把代入得，
∴D点坐标为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．正确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式4-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点，在以为直径的半圆上，且四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】点的坐标为
【分析】连接，作于，于，根据题意得，，，根据垂径定理得出 ． 在中，勾股定理得出进而得出的纵坐标为，又，即可求解．
【详解】解：如图，连接，作于，于．
四边形为平行四边形，点的坐标是，
，，．
又，
．
点的坐标是，
，
．
在中， ．
．又．
点的坐标为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
【变式4-2】（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 ．
【答案】
【详解】设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，先根据垂径定理可得EA＝EB＝4，FC＝FD，进而可求出OE＝2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，进而可得点D坐标．
【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB＝＝4，FC＝FD，
∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，
∴E（2，0），
设P（2，m），则F（0，m），
连接PC、PA，
在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，
在Rt△APE中，PA2＝m2+42，
∵PA＝PC，
∴（3﹣m）2+22＝m2+42，
∴m＝（舍正），
∴F（0，），
∴CF＝DF＝＝，
∴OD＝OF+DF＝＝4，
∴D（0，﹣4），
故答案为：（0，﹣4）．
【点睛】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．
【变式4-3】（2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点，直线与交于、两点，则弦的最小值是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】C
【分析】易知直线过定点，运用勾股定理可求出，由经过点，可求出半径，由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．
【详解】解：对于直线，
当时，，
故直线恒经过点，记为点．
由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，即当时，最短，
连接，如图所示，
∵，
∴，
∵经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴弦的最小值是 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点以及运用“过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键．
【题型5 利用垂径定理求平行弦问题】
【例5】（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ．
【答案】2或14
【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，

过点O作，垂足为F，交于点E，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，，
∴；
②当弦与在圆心异侧时，如图，

过点O作于点E，反向延长交于点F，连接，
同理，，
，
所以与之间的距离是2或14．
故答案为：2或14．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
【变式5-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
【答案】
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH=EF=2，
∵GB=5，
∴OF=OB=，
在△OHF中，勾股定理，得
OH=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
【答案】
【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．
【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9，
∴，，
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，
在Rt△BCH中，根据勾股定理得：，
即PA＋PC的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．
【变式5-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
【答案】（1）7；（2）8
【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长；
（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．
【详解】解：（1）连接AO和DO，
∵，且EF过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，
，
∴；
（2）如图，连接BO和DO，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
，解得，（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．
【题型6 利用垂径定理求同心圆问题】
【例6】（2023春·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）如图，两个圆都是以为圆心．
（1）求证：；
（2）若，，小圆的半径为，求大圆的半径的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）作，由垂径定理得AE=BE，CE=DE，即可得到AC=BD；
（2）连接OB，OD，由AB=10，则BE=5，由勾股定理，得，，，即可求出大圆半径.
【详解】解：（1）如图：作于E，
由垂径定理，得：
，，
∴，
即；
（2）如图，连接OD，OB，
∵AB=10，
∴BE=AE=5，DE=5-2=3，
在Rt△OBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得：
，，
∴=，
即，
解得：.
∴大圆的半径为.
【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键.
【变式6-1】（2023春·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【答案】134
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT△OAE中，
在RT△OCE中，，
则
解得：r=134．
故答案为：134．
【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
【变式6-3】（2023·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．

【答案】16
【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论．
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S矩形APND=S矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD
∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4
故S△AOD的最大值为4
∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．
【题型7 垂径定理的实际应用】
【例7】（2023·浙江温州·校联考二模）如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由和直角围成，且点也在所在的圆上，已知，隧道的最高点离路面的距离，则该道路的路面宽 m；在上，离地面相同高度的两点，装有两排照明灯，若是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m．
【答案】
【分析】先求得圆心的位置，根据垂径定理得到，即可求得半径为5，根据勾股定理即可求得，进而求得，根据勾股定理求得，从而以及垂径定理求得，利用勾股定理求得，通过证得求得，进一步即可求得．
【详解】作的垂直平分线，交于，交于，则是圆心，连接，
，
，
圆的半径为，
，
，
连接、交于，作于，于，
，，
，
，
，
是的中点，
垂直平分，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为，．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为，求这个圆形截面的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）运用尺规作图的步骤和方法即可解答；
（2）作于D，并延长交于C，则D为的中点，则，设这个圆形截面的半径为，在中，运用勾股定理求出x即可．
【详解】（1）如图所示；

（2）作于D，并延长交于C，则D为的中点，
∵，
∴．
设这个圆形截面的半径为，
又∵，
∴，
在中，
∵，即，
解得．
∴圆形截面的半径为．
【点睛】本题考查了垂经定理和勾股定理，根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键．
【变式7-2】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．

(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【答案】(1)5米
(2)2米
【分析】（1）作于点E，交于点D，由垂径定理可得，，再由勾股定理即可求出圆的半径；
（2）当米时，米． 在中，由勾股定理可得，，则米，即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，作于点E，交于点D．
则米，米．
设圆的半径为r米，在中，，
∴，
解得，
∴该圆的半径为5米；

（2）解：当米时，米．
在中，，
∴，
∴米，
∴（米）．
答：水面下盛水筒的最大深度为2米．
【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键．
【变式7-3】（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）

问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
【答案】(1)；
(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．
【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；
（2）作于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒，
∴每秒旋转，
当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，，
∵，
∴；
（2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，

在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．
【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【题型8 垂径定理在格点中的运用】
【例8】（2023春·湖北武汉·九年级校联考期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图（1）中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使；
(2)在图（2）中，A，E，F三点是格点，经过点A．先过点F画的平行线交于M，N两点，再画弦的中点G．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先根据网格的特点和圆的性质求得点D，然后根据矩形的对角线互相平分和圆的性质求得点O即可；
（2）设与的交点为，根据网格的特点和平行线的求得直线交于M，N两点，然后连接，交于点D，连接并延长交与点G即可求解．
【详解】（1）如图所示，连接，相交于点O，
由网格可得，，
由网格的特点可得，
∵点A，C，B，在同一个圆上
∴
∴点和即为所要求作的D点；
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∴点O即为经过A，B，C三点的圆的圆心，
∴点O即为所求作的点；
‘
（2）如图所示，∵，点A，C，N，M在上
∴
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∴，且平分，
∴点G即为所求作的点．

【点睛】本题考查了复杂作图，利用了垂径定理的推论，矩形的性质，作轴对称图形，轴对称的性质等知识，灵活运用所学知识，将复杂作图逐步转化为基本作图是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一段弧经过格点（正方形网格交点）A、B、C，其中，则圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
【答案】
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可知弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故答案是：
【点睛】本题考查的是坐标图形性质、垂径定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键．
【变式8-2】（2023春·河南驻马店·九年级统考期末）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．
连接OA、OB，
∵OC⊥AB，
∵AC=1，OC=2，
∴OA=．
【点睛】考点：1．垂径定理的应用；2．勾股定理．
【变式8-3】（2023·北京·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是 cm．（结果保留一位小数）
【答案】8.9
【分析】根据垂径定理确定圆的圆心，根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的周长公式计算，得到答案．
【详解】由垂径定理可知，圆的圆心在点O处，连接OA，
由勾股定理得， ，
圆的周长为：(cm)．
故答案为：8.9．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键．
【题型9 利用垂径定理求整点】
【例9】（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
【答案】 3 12
【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【详解】解：过C作直径UL∥x轴，
连接CA，则AC=×10=5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．
【变式9-1】（2023春·全国·九年级统考期中）的直径为10，弦，P是弦AB上一动点，满足线段OP的长为整数的点P有 处不同的位置．
【答案】3
【分析】当P为A B的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长，当P与A或B重台时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长．
【详解】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
如图所示：
在中，
即OP的最小值为3，
当P与A或B重合时，OP最长，此时0P=5，
则使线段OP的长度为整数的点P有4， 5，共3个．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
【变式9-2】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，．注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点．
（1）若经过三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为 ；
（2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过 格点．
【答案】 （2，0） 8
【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求，根据点M的位置写出坐标即可．
（2）利用图象法，判断即可．
【详解】（1）如图，点M的坐标为（2，0）
（2）如图，满足条件的点有8个．
【点睛】本题考查作图一复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
【变式9-3】（2023·湖南邵阳·校联考一模）⊙O的直径为10，弦AB=8，点P为AB上一动点，若OP的值为整数，则满足条件的P点有 个．
【答案】5
【详解】分析：先求出OP的取值范围，然后再根据OP长为整数的条件来判断符合要求的P点有几个．
详解：过O作OC⊥AB于C，连接OA；
Rt△OAC中，OA=5cm，AC=4cm；
∴OC==3cm；
∴3≤OP≤5；
故OP=3cm，或4cm，或5cm；
当OP=3cm时，P与C点重合，有一个符合条件的P点；
当OP=4cm时，P位于AC或BC之间，有两个符合条件的P点；
当OP=5cm时，P与A或B重合，有两个符合条件的P点；
故满足条件的P点有5个．
点睛：此题主要考查垂径定理及勾股定理的应用，能够正确的判断出OP长的大致取值，是解答此题的关键．
【题型10 利用垂径定理求最值或取值范围】
【例10】（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图，取的中点，连接，，在Rt中，为中点，，当时，最小，此时矩形的对角线最小. 、、三点共线时，最小，此时在Rt中，设，知道，长度，根据勾股定理建立方程，即可求解的长度，进而求得的长度.
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
在Rt中，为中点，，
当时，最小，此时矩形的对角线最小，
∵，为弦，为中点，
∴在过的直径上，
而为圆心，则、、三点都在一条直线上；
故、、三点共线时，最小；
此时在Rt中，设，知道，，
有，
有，
解得，(舍去)，
，
故选A．
【点睛】本题考查了圆内动点问题、垂径定理等知识，根据垂径定理作出图形是解题的关键．
【变式10-1】（2023·广东佛山·统考二模）如图，的半径为，弦，是弦上的一个动点，则的长度范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用垂径定理得到，再利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，过O点作于C，
∵，
∴，
∴，
∵P点在上运动，
∴即
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，同时涉及到了垂线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念或定理．
【变式10-2】（2023春·浙江金华·九年级统考期中）如图，的半径弦于点，是上一点，，，的长的最大值为 ．
【答案】18
【分析】连接，根据垂径定理得，设半径为，在中，根据勾股定理得，可知当，，在同一条直线上时最长，的长的最大值为．
【详解】解：如图，连接，
的半径弦于点，，
，
设半径为，
在中，，
即，
解得，
，
可知当，，在同一条直线上时最长，
的长的最大值为．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是利用垂径定理得，属于中考常考题型．
【变式10-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，则弦的长度为 ；当点E在的运动过程中，线段的长度的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答．
【详解】解：连接，作，连接，
∵，
∴，
∵为圆心，半径为2，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点F在以为直径的圆M上移动，
当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为，
故答案为；．
【点睛】此题考查了垂径定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．