初中数学浙教版（2024）九年级上册4.1 比例线段课时作业

这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册4.1 比例线段课时作业，文件包含浙教版数学九年级上册同步考点练习专题41比例线段九大题型原卷版doc、浙教版数学九年级上册同步考点练习专题41比例线段九大题型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4550" 【题型1 成比例线段的概念辨析】 PAGEREF _Tc4550 \h 1
\l "_Tc9880" 【题型2 成比例线段与比例尺的结合】 PAGEREF _Tc9880 \h 3
\l "_Tc23508" 【题型3 成比例线段的实际应用】 PAGEREF _Tc23508 \h 5
\l "_Tc31228" 【题型4 利用比例的性质求字母的值】 PAGEREF _Tc31228 \h 8
\l "_Tc23329" 【题型5 利用比例的性质求代数式的值】 PAGEREF _Tc23329 \h 10
\l "_Tc25930" 【题型6 利用比例的性质进行证明】 PAGEREF _Tc25930 \h 13
\l "_Tc23734" 【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Tc23734 \h 15
\l "_Tc6314" 【题型8 黄金分割的概念辨析】 PAGEREF _Tc6314 \h 19
\l "_Tc4695" 【题型9 黄金分割的实际应用】 PAGEREF _Tc4695 \h 22
【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念辨析】
【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足，且．
(1)求a、b的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得；
（2）根据比例中项的定义求解即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
解得，
则．
（2）解：线段是线段、的比例中项，
，即，
解得或（不符合题意，舍去），
则的值为．
【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．
【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为，2，6，，且它们是成比例线段，则的值为 .
【答案】3
【分析】根据题意得，根据比例的基本性质即可求解．
【详解】解：根据题意得，即，
解得，（负值舍去）．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查比例线段的定义．注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解．
【变式1-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足，且．
(1)求a、b的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得；
（2）根据比例中项的定义求解即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
解得，
则．
（2）解：线段是线段、的比例中项，
，即，
解得或（不符合题意，舍去），
则的值为．
【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．
【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由，即可求得答案．
【详解】解：∵b是a、c的比例中项，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．
【题型2 成比例线段与比例尺的结合】
【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行 千米．
【答案】900
【分析】由题意可知：上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达共飞了2小时，根据“比例尺是1：90000000”，又因为甲乙两地的图上距离是2厘米，求实际距离，进而求出答案．
【详解】解：甲乙两地的实际距离：
，
（千米），
（千米）；
答：这架飞机每小时行900千米．
故答案为：900．
【点睛】本题考查比例线段，正确根据比例进行计算是解题关键．
【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为厘米，比例尺是，那么这两地间的实际距离是（ ）
A．千米B．千米C．千米D．千米
【答案】B
【分析】根据比例尺定义代入计算，最后化单位即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
实际距离为：（厘米），
∴（厘米）（千米），
故选B．
【点睛】本题考查比例尺的运用，解题的关键是熟练掌握比例尺的定义及注意单位化简．
【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为
【答案】1：50000
【分析】根据比例尺的定义，用图上距离比实际距离即可．
【详解】4.8：240000=1：50000，
即这张平面地图的比例尺为1：50000．
故答案为1：50000．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．解决本题的关键是记住比例尺的定义．
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是 厘米．
【答案】6
【分析】根据比例尺的定义，可得实际距离比例尺图上距离，依此列式计算即可．
【详解】相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是厘米．
故答案为:6．
【点睛】本题考查了比例线段，比例尺的定义，掌握比例尺图上距离：实际距离是解题的关键，注意单位之间的换算问题．
【题型3 成比例线段的实际应用】
【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（ ）
A．文学社增加，篮球社不变
B．文学社不变，篮球社不变
C．文学社增加，篮球社减少
D．文学社不变，篮球社减少
【答案】A
【分析】设该班上、下学期的学生人数都为x人，然后按照该班学生上、下学期各社团的人数比例计算出该班上、下学期的文学社的学生人数，上、下学期的篮球社的学生人数，再比较大小即可．
【详解】解：设该班上、下学期的学生人数都为x人，
则该班上学期的文学社的学生人数＝x＝x，上学期的篮球社的学生人数＝x＝x；
该班下学期的文学社的学生人数＝x＝x，下学期的篮球社的学生人数＝x＝x；
故上学期、下学期文学社团的学生人数增加了，篮球社团的学生人数不变．
故选：A．
【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？
【答案】45cm
【分析】根据题意知道，一本书的厚度一定，书叠起的高度与书的本数成正比例，由此列比例解答．
【详解】解：设书的高度是x厘米，
25：10 = x：18
x= 45
所以，书的高度是45cm．
【点睛】解答此题的关键是，先判断出哪两种相关联的量成何比例，再列出比例解答即可．
【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（ ）m
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．
【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查比例的性质及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片的长，宽，按照图中所示方式将它裁成矩形与矩形.若矩形与矩形的短边与长边之比相等，求的长.
【答案】的长为1或4或.
【分析】根据题意设未知数，分和两种情况进行讨论，求解即可.
【详解】解：设，
则.
应分两种情况进行讨论：
⑴当，
即时，解得或；
⑵当，即时，解得.
综上所述，的长为1或4或.
【点睛】此题考查成比例的线段，矩形的性质，解题关键在于掌握比例式两边的关系以及分情况讨论.
【知识点2 比例的性质】
【题型4 利用比例的性质求字母的值】
【例4】（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为 ．
【答案】或
【分析】根据题意得出，三式相加得出，然后分类讨论，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
即，
当时，，
当时，，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期中）已知，且，求x，y的值．
【答案】x=6，y=10
【分析】设，则x=3k，y=5k，z=6k，由可求得k的值，从而可求得x与y的值．
【详解】设，则x=3k，y=5k，z=6k
∵
∴
解得：k=2
∴x=3×2=6，y=5×2=10
即x、y的值分别为6、10
【点睛】本题考查了比例的性质，若几个比相等，即，常常设其比值为k，则有a=kb，c=kd，e=kf，再根据题目条件解答则更简便．
【变式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为的三边长，且，．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长；
（2）由题意可直接得出，解出x的值（舍去负值）即可．
【详解】（1）由题意可设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
整理，得：，
解得：（舍去负值）．
【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键．
【变式4-3】（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知，则 ．
【答案】或．
【分析】由，可得，再分两种情况讨论即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
当时，
∴，则，
当时，，
∴，则，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“利用比例的基本性质进行求值”是解本题的关键．
【题型5 利用比例的性质求代数式的值】
【例5】（2023春·山东威海·九年级统考期中）若，则的值为 ．
【答案】-1或8
【分析】设=k，根据比例的性质可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根据等式的性质可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况，分别求出k值，根据=k3即可得答案．
【详解】设=k，
∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，
∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c），
∴（a+b+c）(2-k)=0，
当a+b+c=0时，即a+b=-c，
∴k===-1，
∴==k3=-1，
当a+b+c≠0时，则2-k=0，
解得：k=2，
∴==k3=8，
故答案为：-1或8
【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键．
【变式5-1】（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若，则的值为（ ）
A．B．1C．1.5D．3
【答案】A
【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．
【详解】解： 由，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．
【变式5-2】（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知代数式，，，下列结论：
①若，则；
②若，则；
③若，b为关于a的方程的一个解，则；
④若，则；其中正确的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①，设，代入A、B、C，进行计算即可判断；
②根据得，分和两种情况求解即可；
③当时，代入A、B、C，可得，根据b是方程④的一个实根得，进行即可判断；
④根据a，b，c为正整数，且得，即可判断；
【详解】解：①，设，
∴，
即，
故①正确；
②∵，
∴，
若，即，
则，
若，
则，
即A的值为或，
故②不正确；
③当时，，，，
∴，
∵b是方程的一个实根，
∴，
∴，
∴，
故③不正确；
④∵a，b，c为正整数，且，
∴，
∴，
故④正确；
综上，①④正确，正确的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，比例的性质，解题的关键是掌握这些知识点，并正确计算．
【变式5-3】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）（1）若，求的值；
（2）若，且，求．
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）先设，得到，然后代入计算即可；
（2）先设，得到，再根据求出，最后进行比较即可．
【详解】解：（1）设，
∴，
∴；
（2）设，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参数，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值．
【题型6 利用比例的性质进行证明】
【例6】（2023春·九年级单元测试）已知，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】由得到，则利用等式的基本性质得到，，则，利用比例的基本性质即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·浙江湖州·九年级统考阶段练习）已知
(1)求：
(2)求证：
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】(1)根据a与b的比值，设a=2k，b=3k，再将a，b的值代入代数式化简可求解.
(2)由(1)中的a=2k，b=3k，分别代入等式的左右两边，即可得证.
【详解】(1)解：由 可设a=2k，b=3k
∴.
(2)证明：由(1)得，=，
∴
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，设比例参数是解题的关键.
【变式6-2】（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项.求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上.
【答案】见解析
【分析】设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，证明k=m即可证得．
【详解】证明：设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，则b=ak，则k=，
设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，则d=cm，
解得：m=，
∵a，b，c，d四个数成比例，
∴=，
∴=，
∴k=m，
则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及比例线段的定义，解题关键是理解证明的思路．
【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）已知，且.求证：.
【答案】见解析
【分析】根据已知设，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出
【详解】设，从而，，，
于是（+），
又因为，所以；
.
【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键
【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】
【例7】（2023春·重庆大渡口·九年级统考期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下：
解；设，则有：
，，，
将以上三个等式相加，得.
，，都为正数，
，即，.
.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
（1）若正数，，满足，求的值；
（2）已知，，，互不相等，求证：.
【答案】（1）k=；（2）见解析．
【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立．
【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足，
∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），
∴x+y+z=3k（x+y+z），
∵x、y、z均为正数，
∴k=；
（2）证明：设=k，
则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），
∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），
∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0，
∴8a+9b+5c=0．
故答案为（1）k=；（2）见解析．
【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·九年级课时练习）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设，
则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）
于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，
依照上述方法解答下列问题：
已知：（x+y+z≠0），求的值．
【答案】．
【分析】设，根据比例的性质得到x=y=z，计算即可．
【详解】解：设，
则y+z=xk，z+x=yk，x+y=zk，
∴2（x+y+z）=k（x+y+z），
解得，k=2，
∴y+z=2x，z+x=2y，x+y=2z，
解得，x=y=z，
则．
【点睛】本题考查的是比例的性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：．
证明：∵，
∴．
∴．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，且a≠b，c≠d，证明．
【答案】（1）；（2）证明过程见解析
【分析】（1）根据计算即可；
（2）先在等式两边同时减去1再结合计算即可；
【详解】（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边与，连结第三个顶点并延长交于，则．
【问题解决】
如图（2），已知在中，为的中点，为的中点，的连线交于．
（1）找出以为公共边的所有“共边三角形”，若的面积为？，分别求出这些“共边三角形”的面积；
（2）求证：；
（3）若将“为的中点”条件，改为“”，则______．
【答案】（1）、、，，;（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据“共边三角形”的概念可求解，则有，，进而问题可求解；
（2）由（1）及题意可进行求解；
（3）由题意易得，，进而问题可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
以BF为公共边的“共边三角形”为：、、，
由“共边三角形”的性质：，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴；
（2）证明：由“共边三角形”的性质：
即：，
∴，
∴；
（3）解：由“共边三角形”的性质：，，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据“共边三角形”的概念找到成比例的线段，然后进行解决问题即可．
【知识点3 黄金分割】
若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型8 黄金分割的概念辨析】
【例8】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设BC=a，根据黄金矩形的概念求出AB，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：设BC=a，
∵矩形ABCD为黄金矩形，
∴AB=a，
∴BE=a-a=a，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据黄金分割的定义得，即可解决问题．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
，，
A、C、D选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值为，近似值为，即为黄金分割．
【变式8-2】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知线段，若，是的两个黄金分割点，则长为 ．
【答案】
【分析】根据黄金分割的概念先计算出，然后再计算，最后根据即可求出答案．
【详解】如图，，是的两个黄金分割点，设，
根据题意得，

．
故答案为:．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，熟练掌握黄金比是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，线段，点C是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，以此类推，则 ．
【答案】
【分析】先按照黄金分割比例依次计算出、、，然后按照规律即可得到．
【详解】解：设，，
点C是线段的黄金分割点，
，
即，整理得，
解得或（舍去），
∴，，
是线段的黄金分割点，
，，
是线段的黄金分割点，
，，
、、，
以此类推，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割、规律探究表达，求出黄金分割比，并按照规律表示出是解题关键．
【题型9 黄金分割的实际应用】
【例9】（2023春·全国·九年级统考期中）人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿 （精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美．
【答案】4.8
【分析】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，根据黄金分割的定义，列出方程直接求解即可．
【详解】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则

解得：x≈4.8cm．
经检验知x≈4.8是原方程的解，
答：她应该选择穿4.8cm的高跟鞋看起来更美．
故答案为4.8．
【点睛】此题主要考查了黄金分割，据题黄金分割的定义列出方程是本题的关键．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．
【变式9-1】（2023春·四川成都·九年级统考期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号）
【答案】5-5
【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×10＝5﹣5（cm），
故答案为：5﹣5．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC ( AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB : AC=AC : BC )，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金分割比值是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到0.1）

【答案】4.3cm
【分析】设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为列式计算即可．
【详解】解：设蝴蝶身体的长度为xcm，
由题意得：＝，
解得：x＝≈4.3，
故答案为：4.3cm．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·甘肃白银·九年级校考期末）节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为，则主持人站在离点 处最自然得体．（结果精确到）
【答案】或
【分析】根据黄金分割定义，由黄金分割点的位置分两种情况讨论：①黄金分割点离近；②黄金分割点离近，由黄金分割比列式求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，分两种情况，作图求解：
当①黄金分割点离近，如图所示：
，
由黄金分割比可知，
设，则，代入得到，解得，
，（舍弃）；
②黄金分割点离近，如图所示：
，
由黄金分割比可知，
设，则，代入得到，解得，
，（舍弃）；
综上所述，主持人站在离点或处最自然得体，
故答案为：或．
【点睛】本题考查利用黄金分割解决实际问题，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．文学社
篮球社
动漫社
上学期
3
4
5
下学期
4
3
2
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.