初中数学人教版（2024）九年级上册21.2.2 公式法练习

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考查题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．（2022·湖南郴州·统考中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A
【分析】根据即可判断．
【详解】解：，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．
2．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可；
【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
C．，方程没有实数根，符合题意；
D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
故选： C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根．
3．（2022·广西梧州·统考中考真题）一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定
【答案】B
【分析】根据判别式即可判断求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4．（2022·湖南怀化·统考中考真题）下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝0
【答案】C
【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．
【详解】A选项中，，故方程无实数根；
B选项中，，故方程无实数根；
C选项中，，故方程有两个不相等的实数根；
D选项中，，故方程无实数根；
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键．
考查题型二 用公式法解方程
1．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：（公式法）
【答案】
【分析】利用公式法解答，即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解题的关键．
2．（2022秋·四川广安·九年级统考阶段练习）解方程：．
【答案】，
【分析】根据公式法可进行求解方程．
【详解】解：，则有，，，
∵，
∴方程有两个不等的实数根，
∴，
即，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
3．用公式法解下列方程：．
【答案】，．
【分析】先写出各项的系数，再利用求根公式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，注意各项系数的符号．
4．（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）解方程：．（用求根公式法）
【答案】，
【分析】根据一元二次方程的求根公式即可得到方程的解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法（公式法），熟记求根公式是解题的关键．
考查题型三 根据一元二次方程根的情况求参数
1．（2019·北京·统考模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当为正整数时，求方程的根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，利用判别式大于零即可解答；
（2）根据的取值范围，结合为正整数即可确定的值，将其代入原方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
＝．
解得．
（2）解：∵为正整数且，
∴．
∴方程可化为，
解得．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握根与判别式关系．
2．（2023·北京海淀·首都师范大学附属中学校考一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【详解】（1）解：

∴方程总有两个实数根；
（2）解：原方程可化为：

或
解得： ，
由题意可得：
解得：
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
3．（2022·湖北十堰·统考一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一实数根大于3，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)a>4
【分析】（1）先计算根的判别式得到Δ=(a-2)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用公式法解方程得到x1=1，x2=a-1，根据题意得a-1＞3，然后解不等式即可．
【详解】（1）证明：∵Δ=(-a)2-4(a-1)
=a2-4a+4
=(a-2)2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：x2-ax+a-1=0，
x=，
∴x1=1，x2=a-1，
∵方程有一实数根大于3，
∴a-1>3，
解得a>4，
即a的取值范围为a>4．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0．
∴m>-1．
∵BC=，△ABC是直角三角形，
∴当BC为斜边时，有，
解这个方程，得(不符合题意，舍去)，；
当AC为斜边时，有，
解这个方程，得．
综上所述，当m=0或m=1时，△ABC是直角三角形．
【点睛】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟练运用勾股定理进行分类讨论．
2．定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”_______．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
（3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．
【答案】（1）-10x2+3x+1=0；（2），互为倒数，证明见解析；（3）x5=0，x6=2022．
【分析】（1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可；
（2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可；
（3）先根据“友好方程”的根的特点得出-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2020，将待求方程变形为（x-1）2-b（x-1）-2021=0，把x-1看做整体即可求解．
【详解】解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”为：-10x2+3x+1=0，
故答案为：-10x2+3x+1=0；
（2）-10x2+3x+1=0，
，
解得，，，
根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数，
证明如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为，
“友好方程”cx2+bx+a=0的两根为．
∴，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
（3）∵方程2021x2+bx-c=0的两根是，
∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2021，
则c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021，
∴该方程的解为x5=0，x6=2022．
利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的两根为x5=0，x6=2022，
故答案为x5=0，x6=2022．
【点睛】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．
3．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0
【分析】（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑：当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的判别式△=（k-3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；
（2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x1=-1和x2为整数以及k为正整数，即可求出k的值；
（3）结合（2）的结论即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．
【详解】解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1；
当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，
∴方程有实数根，
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴，，且k≠﹣1，
∵x2为整数，k为正整数，
∴k=1或k=3；
（3）由（2）得x1=-1，，且k≠-1，
∴|x1-x2|=，
解得：k=-3或k=0，
经检验k=﹣3或k=0是原方程的解，
故k的值为﹣3或0．
【点睛】本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑；（2）找出x1=﹣1，；（3）找出关于k的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．
4．如图1，四边形ACDE是美国第二十任总统伽菲尔德验证勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）判断方程是否是 “勾系一元二次方程”；并说明理由．
（2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）如图2，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB=2a，CD=2b，a≠b，关于x的方程是“勾系一元二次方程”，求∠BAC的度数
【答案】（1）是，理由详见解析；（2）详见解析；（3）45°
【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义即可判断；
（2）利用勾股定理以及“勾系一元二次方程”的定义即可解决问题；
（3）如图2中，连接OC，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，利用全等三角形的性质推导出∠COB=90°即可解决问题．
【详解】（1）是 “勾系一元二次方程”，理由如下：
∵中，
∴
∴，能构成直角三角形
∴方程是“勾系一元二次方程”
（2）∵关于的方程是“勾系一元二次方程”
∴构成直角三角形，c是斜边
∴
∵
∴
∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根．
（3）在图2中，连接OC，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，如下图：
∵关于x的方程是“勾系一元二次方程”
∴，5构成直角三角形，5是斜边
∴
∵AB//CD，OE⊥CD
∴OF⊥AB
∴∠OEC=∠OFB= 90°
∴
∵AB=2a，CD=2b
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾系数一元二次方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等．