人教版（2024）九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课后作业题

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一、单选题：
1．若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（ ）
A．1和6B．5和-6C．-5和6D．5和6
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=5，x1x2=6。
2．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项不正确的是（ ）
A．m+n＝﹣2B．mn＝﹣5C．m2+2m﹣5＝0D．m2+2n﹣5＝0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0，n2+2n﹣5＝0，
∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程的根及一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可。
3．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝-2，x2＝4，则m-n的值是（ ）
A．-10B．10C．-6D．6
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝-2、x2＝4，
∴x1+x2＝﹣m＝-2+4，解得：m＝﹣2，
x1•x2＝n＝-2×4，解得：n＝-8，
∴m-n＝﹣2-（-8）＝6.
故答案为：D.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，x1•x2＝，可得x1+x2＝﹣m，x1•x2＝n，据此分别求出m、n的值，再代入计算即可.
4．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：是一元二次方程的一个根，设方程的另一个根为n，
∵两根的和为：，
∴，解得：，
故答案为：C．
【分析】设方程的另一个根为n，根据一元二次方程根与系数的关系可得，所以，再求出n的值。
5．已知是方程的根，则的值是（ ）
A．1B．-1C．±1D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1与x2是方程的根，
∴ ，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2==1，x1x2==-1，对待求式进行通分可得，据此计算.
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（ ）
A．﹣7B．7C．2D．﹣2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2＝3，x1x2＝1，再代入求解即可。
二、填空题：
7．若关于x的方程有一个根是2，则另一个根为 ．
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2t=-8，
解得：t=-4，
即方程的另一个根为-4.
故答案为：-4．
【分析】根据一元二次方程根与系数可得方程的另一个根。
8．一元二次方程的两根为，，则 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1＋x2＝3，x1x2＝2，
所以x1＋x2−x1x2＝3−2＝1．
故答案为1．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系先求出x1＋x2＝3，x1x2＝2，再代入求解即可。
9．若一元二次方程的两根分别为m与n，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根分别为m与n，
根据根与系数的关系得，mn=2，
所以原式=．
故答案为：．
【分析】利用根与系数的关系求出，mn=2，再代入求解即可。
10．已知方程x2－mx－3m＝0的两根是x1、x2，若x1＋x2＝1，则 x1x2＝ ．
【答案】－3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ ， ∴
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1＋x2==m，又x1＋x2＝1，故m=1，从而得出 x1x2==-3m=-3.
三、解答题：
11．若 是方程 的一个根，求方程的另一个根及c的值.
【答案】解：∵ 是此方程的一个根，设另一个解为
则 ，
，即方程的另一个根为
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得x1+x2=6，据此可得x2，然后根据x1x2=c可得c的值.
12．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，
∴ ，
＝ (x1＋x2)2－2x1x2 ＝32－2×(－1)＝11
（2）解：
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得 ；（1）将所求式子变形为(x1＋x2)2－2x1x2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可；（2）将所求式子变形为 ，然后整体代入上面两个式子计算即可．
13．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．
【答案】（1）解：由题意可得：在关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0中，△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0有两个不相等的实数根时，
∴△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2
（2）解：根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，
∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，
∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先算出其根的判别式的值，根据此方程有两个不相等的实数根时，其根的判别式应该要大于0，从而列出不等式，求解得出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，根据完全平方公式的恒等变形，将方程x12+x22=22+x1x2变为（x1+x2）2﹣2x1x2=22+x1x2，然后整体代入，求解并根据（1）中m的取值范围检验得出m的值。
14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．
【答案】解：由根与系数的关系，得
x1+x2=4 ，
x1•x2=k﹣3
又∵x1=3x2
∴x1=3，x2=1；
∴k=x1x2+3=3×1+3=6
答：方程两根为x1=3，x2=1；k=6．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可。
提升篇
1．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+b2+ab的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴a+b＝2，ab＝﹣1，
∴a2+b2+ab
＝（a+b）2﹣ab
＝4+1
＝5．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得a+b＝2，ab＝﹣1，利用配方将a2+b2+ab变形为（a+b）2﹣ab，然后整体代入计算即可.
2．已知m，n是方程 的两根，则代数式 的值等于（ ）
A．0B．C．9D．11
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的概念可得m2-10m=-1，根据根与系数的关系可得m+n=10，待求式可变形为m2-10m+(m+n)，据此计算.
3．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2+3x+4=0B．x2﹣4x+3=0C．x2+4x﹣3=0D．x2+3x﹣4=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为
故答案为：B
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=3+1=−p ， x1·x2=3×1=q ，从而得出答案。
4．关于x的方程 的两根互为相反数，则k的值是（ ）
A．2B．±2C．-2D．-3
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设原方程的两根为 ，则
由题意，得
∴
又∵
∴当k1=2时，△=−40，原方程有实根。
∴k=−2.
故答案为：C
【分析】设原方程的两根为 x1 、 x2 根据一元二次方程根与系数的关系则 x1+x2=4−k2 ； 又知此方程的两根互为相反数，故 x1+x2=0，从而列出关于k的方程，求解得出k的值，再根据k的值是否满足根的判别式的值不为负数进行检验即可得出答案。
5．若m、n是方程x²－3x－1=0的解，则m²－4m－n的值是 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：是方程的解，
，
，
，
、是方程的解，
，
．
故答案为：-2．
【分析】先求出，再求出，最后代入求解即可。
6．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 ．若 时，则 = ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1•x2=m2，
由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m= ，
∵ ＞ ，
∴m= 不合题意，舍去，
若x1-x2=0，即x1=x2
∴△=0，由（1）知，m= ，
故当x12-x22=0时，m= ．
故答案为：
【分析】由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1•x2=m2，将方程x12-x22=0左边利用平方差公式分解因式为：（x1+x2）（x1-x2）=0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m= ，若x1-x2=0，即x1=x2，根据方程有两个相等的实根，故原方程的判别式等于0，从而得出方程，求解得出m的值。
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的最大整数时，m的值为 ．
【答案】0或
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元一次方程x4x+k=0有两个不相等的实数根，
△=16-4k>0，解得k