2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式-专项训练【含答案】，共9页。
1.已知正数a,b满足a2+b2=13,则ab2+3 的最大值为( )
A.6B.8C.4D.16
2.下列函数中,最小值为2的是( )
A.y=x+2x
B.y=x2+3x2+2
C.y=ex+e-x
D.y=sin x+1sinx(0-1)的最小值为 .
7.某钢铁企业需要从某地采购两次铁矿石,为保证企业利益最大化,提出以下两种采购方案.方案一:不考虑铁矿石价格升降,每次采购铁矿石的数量一定;方案二:不考虑铁矿石价格升降,每次采购铁矿石所花的钱数一定,方案 更经济.
8.已知函数f(x)=x2+ax+11x+1(a∈R),若对于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是 .
9.(1)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值;
(2)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.
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10.(多选题)已知a>0,b>0且4a+b=2,则( )
A.ab的最大值为12
B.2a+b的最大值为2
C.2a+ab的最小值为6
D.4a+2b的最小值为4
11.(多选题)已知a,b都是正实数,则下列不等式恒成立的是( )
A.(a+4b)(1a+1b)≥9 B.(a+b)(1a+1b)≥6
C.a2+52>3a D.aa2-a+1≤12
12.某小区要建一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域,四个小矩形加一个正方形面积共为200 m2.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4 200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺设花岗岩地坪,造价为每平方米210元,再在四个角上铺设草坪,造价为每平方米80元.设AD长为x m,总造价为S元,则当x为 时,总造价S最小,为 元.
13.某公司拟在下一年度开展系列促销活动,已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足:x=3-2t+1(t≥0).已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件产品需再投入
32万元的生产费用,若将每件产品售价定为其生产成本的1.5倍与“平均每件促销费的一半”之和,则当年生产的商品正好能销完.
(1)将下一年的利润y(单位:万元)表示为促销费t的函数;
(2)该公司下一年的促销费投入多少万元时,年利润最大?并求出此时的最大利润.(注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C级 应用创新练】
14.(多选题)《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图(1),用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图(2)所示的矩形,该矩形长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图(3),设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是( )
A.由图(1)和图(2)面积相等得d=2aba+b
B.由AE≥AF可得a2+b22≥a+b2
C.由AD≥AE可得a2+b22≥21a+1b
D.由AD≥AF可得a2+b2≥2ab
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:因为a2+b2=13,所以ab2+3≤a2+b2+32=13+32=8,
当且仅当a=b2+3时,等号成立,
所以ab2+3的最大值为8.故选B.
2.解析:当x-1)的最小值为0.
答案:0
7.解析:设第一次价格为p1>0,第二次价格为p2>0,方案一:若每次购买数量为n,则两次购买的平均价格为x1=p1n+p2n2n=p1+p22,方案二:若每次购买钱数为m,则两次购买的平均价格为x2=2mmp1+mp2=21p1+1p2,所以x1-x2=
p1+p22-2p1p2p1+p2=(p1+p2)2-4p1p22(p1+p2)=(p1-p2)22(p1+p2)≥0,即x1≥x2,当且仅当p1=p2时,等号成立,所以方案二更经济.
答案:二
8.解析:因为对任意x∈N*,f(x)≥3,即x2+ax+11x+1≥3恒成立,即a≥-(x+8x)+3.设g(x)=x+8x,x∈N*,则g(x)=x+8x≥42,当且仅当x=22时,等号成立,又g(2)=6,g(3)=173,g(2)>g(3),所以g(x)min=173.所以-(x+8x)+3≤-83,所以a≥-83,故a的取值范围是[-83,+∞).
答案:[-83,+∞)
9.解:(1)正数x,y满足x+3y=5xy,即3x+1y=5,因此3x+4y=15(3x+1y)(3x+4y)=
15(13+3xy+12yx)≥15(13+23xy·12yx)=5,当且仅当3xy=12yx,即x=2y=1时,取等号,所以当x=2y=1时,3x+4y取得最小值5.
(2)x>0,y>0,x+2y+2xy=8,而x+2y+2xy≤(x+2y)+(x+2y2)2,当且仅当x=2y时,取等号,因此(x+2y)+(x+2y2)2≥8,即(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,化为(x+2y+8)(x+2y-4)≥0,由x>0,y>0,解得x+2y≥4,由
x=2y>0,x+2y+2xy=8,解得x=2y=2,所以当x=2y=2时,x+2y取得最小
值4.
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10.解析:对于A,因为2=4a+b≥24ab=4ab,所以ab≤14,
当且仅当a=14,b=1时,等号成立,故A错误;
对于B,由2a+b2≤4a+b2,得2a+b≤2,
当且仅当a=14,b=1时,等号成立,故B正确;
对于C,由4a+b=2得a=12-b4,
所以2a+ab=2a+12b-14,
因为2a+12b=12(2a+12b)(4a+b)=12(172+2ba+2ab)≥12×(172+24)=254,
所以2a+ab=2a+12b-14≥254-14=6,当且仅当a=b=25时,等号成立,故C正确;
对于D,令a=13,b=23,则4a+2b=413+223=2×4130,故a2+52>3a恒成立,C正确;
D选项,a是正实数,故aa2-a+1=1a+1a-1,其中a+1a≥2a·1a=2,
故aa2-a+1=1a+1a-1≤12-1=1,当且仅当a=1a,即a=1时,等号成立,D错误.
故选AC.
12.解析:设DQ=y,由题意知x2+4xy=200,即y=200-x24x(0