2025高考数学一轮复习-7.1-立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.1-立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积-专项训练【含答案】，共11页。
1.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是( )
A.正方形B.矩形
C.菱形D.一般的平行四边形
2.《算术书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的数学著作,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V=136l2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V≈25942l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取( )
A.227 B.258
C.15750 D.355113
3.如图所示,△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图,A′B′在x′轴上,B′C′与x′轴垂直,且B′C′=3,则△ABC的边AB上的高为( )
A.62 B.33 C.32 D.3
4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(7≈2.65)( )
A.1.0×109 m3B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3D.1.6×109 m3
5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2,这个球的表面积为6π,则这个正四棱柱的体积为( )
A.1B.2C.3D.4
6.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AA1=3,点E为AB上的动点,则D1E+CE的最小值为( )
A.22 B.10
C.5+1D.2+2
7.已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等,则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是 ,圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是 .
8.司马迁在《史记·高祖本纪》中借刘邦之口赞美张良:“夫运筹策帷帐之中,决胜于千里之外”.帷帐又名帷幄,是古代行军打仗必备的帐篷.下图是一种帷帐的示意图,帐顶采用“五脊四坡式”,四条斜脊长度相等,一条正脊平行于底面,帷帐主体部分可以看作一个长方体.若该帷帐主体部分长10,宽6,高4,帐顶部分正脊长4,斜脊长34,则它的体积为 .
9.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,求该圆锥内半径最大的球的体积.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
10.在三棱锥P - ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=6,则该棱锥的体积为( )
A.1B.3 C.2 D.3
11.(多选题)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=2 cm,且CD=2AB,则下列说法正确的是( )
A.该圆台的高为1 cm
B.该圆台轴截面面积为33 cm2
C.该圆台的体积为73π3 cm3
D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路程为5 cm
12.如图,四边形ABCD是正方形,BD是以A为圆心、AB为半径的弧,将正方形ABCD以AB为轴旋转一周,求图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分经旋转所得几何体的体积之比.
13.已知圆锥的侧面展开图为半圆,母线长为23.
(1)求圆锥的底面积;
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的体积.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C级 应用创新练】
14.(多选题)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A.直径为0.99 m的球体
B.所有棱长均为1.4 m的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:在原图形OABC中,应有OACB,所以四边形OABC为平行四边形,OD=2O′D′=2×22=42(cm),CD=C′D′=2 cm,所以OC=
OD2+CD2=(42)2+22=6(cm),所以OA=OC,故平行四边形OABC是菱形.故选C.
2.解析:V=13πr2h=13π·(l2π)2h=112πl2h.由112π≈25942,得π≈15750.故选C.
3.解析:如图,过C′作C′D′∥O′y′交x′轴于D′,则2C′D′是
△ABC的边AB上的高.由于△B′C′D′是等腰直角三角形,
则C′D′=2B′C′=32,
所以△ABC的边AB上的高等于2×32=62.故选A.
4.解析:如图,由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m),所以该棱台的体积V=13×9×(140+140×180+180)×106=60×(16+37)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3).故选C.
5.解析:设球的半径为R,则S表=4πR2=6π,所以R=62.设正四棱柱底面边长为x,则(22x)2+1=R2,所以x=1,所以V正四棱柱=2.故选B.
6.解析:如图,连接D1A,C1B,并分别延长至F,G,使得AD=AF,BC=BG,连接EG,FG,因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为正四棱柱,所以AB⊥平面ADD1A1,AB⊥平面BCC1B1,所以AB⊥AF,AB⊥BG,又AB=AD=AF,所以四边形ABGF为正方形,所以EG=BE2+BG2=BE2+BC2=CE,所以D1E+CE的最小值为D1G,由AD=AB=1,AA1=3,得AD1=2,则D1F=3,D1G=D1F2+FG2=
9+1=10,所以D1E+CE的最小值为10.故选B.
7.解析:设球O的半径为R,则球O的体积V1=43πR3,表面积S1=4πR2.
由题知圆锥MM′的高为2R,底面半径为23R3,则圆锥的体积V2=13·
π(23R3)2·2R=8π9R3,表面积S2=π·(23R3)2+π·23R3·(2·23R3)=
4πR2.
则V2V1=23,S2S1=1.
答案:23 1
8.解析:如图所示,BM,AN分别垂直于底面,过点M,N分别作宽的平行线,连接AC,AF,BD,BE,得到如图所示的几何体,
底部长方体的体积是10×6×4=240,帐顶部分被分割成3部分,中间一部分是直三棱柱,两边是相同的四棱锥,CD=4,
则BD=(34)2-(10-42) 2=5,
BM=BD2-DM2=52-32=4,
所以帐顶部分的体积V=2×13×6×3×4+12×6×4×4=96,
总体积V=240+96=336.
答案:336
9.解:因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球,如图,圆锥母线长BS=3,底面半径BC=1,其高SC=BS2-BC2=22,
不妨设该内切球与母线BS切于点D,
令OD=OC=r,由△SOD∽△SBC,得ODOS=BCBS,
即r22-r=13,解得r=22,V=43πr3=2π3.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
10.解析:如图,取AB的中点E,连接PE,CE.
因为△ABC是边长为2的等边三角形,
PA=PB=2,
所以PE⊥AB,CE⊥AB.
又PE=CE=2×32=3,PC=6,
故PC2=PE2+CE2,即PE⊥CE.
又AB∩CE=E,AB,CE⊂平面ABC,
所以PE⊥平面ABC.
所以V=13S△ABC·PE=13×12×2×2×sin 60°×3=1.故选A.
11.解析:如图(1)所示,作BE⊥CD交CD于点E,易得CE=CD-AB2=1 cm,则BE=22-12=3 cm,则圆台的高为3 cm,A错误;
圆台的轴截面面积为12×(2+4)×3=33 cm2,B正确;圆台的体积为13×3×(π+4π+π·4π)=73π3 cm3,C正确;
将圆台一半侧面展开,如图(2)阴影部分所示,设P为AD的中点,
由O2B∶O1C=1∶2可得OB∶OC=1∶2,则OC=4 cm,∠COD=4π24=π2,又OP=
OA+AD2=3 cm,则CP=42+32=5 cm,即点C到AD的中点所经过的最短路程为5 cm,D正确.故选BCD.
12.解:Ⅰ生成圆锥,Ⅱ生成的是半球去掉Ⅰ生成的圆锥,Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形ABD生成的半球.
设正方形的边长为a,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分经旋转所得几何体的体积分别为VⅠ,VⅡ,VⅢ,
则VⅠ=13πa3,VⅡ=12×43πa3-13πa3=13πa3,
VⅢ=πa3-12×43πa3=13πa3.所以三部分经旋转所得几何体的体积之比为1∶1∶1.
13.解:(1)设OB=R,由题意,AB=23,
因为圆锥的侧面展开图为半圆,则2πR=23π,
所以R=3,故圆锥的底面积为πR2=3π.
(2)设圆柱的高OO1=h,OD=r,
在Rt△AOB中,AO=AB2-OB2=3,
因为△AO1D1∽△AOB,
所以AO1AO=O1D1OB,
即3-ℎ3=r3,h=3-3r,
S圆柱侧=2πrh=2πr(3-3r)=-23π(r2-3r)
=-23π(r-32)2+33π2,
所以当r=32,h=32时,
圆柱的侧面积最大,此时圆柱的体积V=πr2h=9π8.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C级 应用创新练】
14.解析:对于选项A,因为0.99 m1.4,所以能够被整体放入正方体内,故B正确;对于选项C,因为正方体的体对角线长为3 m,且31 m,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆,如图,过AC1的中点O作OE⊥AC1,设OE∩AC=E,可知AC=2 m,CC1=1 m,
AC1=3 m,OA=32 m,则tan ∠CAC1=CC1AC=OEAO,即12=OE32,解得OE=64 m,且(64)2=38=924>925=0.62,即64>0.6,故以AC1为轴可能对称放置底面直径为1.2 m 的圆柱;若底面直径为1.2 m的圆柱与正方体的上下底面均相切,设圆柱的底面圆心为O1,圆O1与正方体的下底面的切点为M,可知AC1⊥O1M,O1M=0.6 m,则tan ∠CAC1=CC1AC=O1MAO1,即12=0.6AO1,解得AO1=
0.62 m,根据对称性可知圆柱的高为3-2×0.62≈1.732-1.2×
1.414=0.035 2>0.01,所以能够被整体放入正方体内,故D正确.故选ABD.