2025高考数学一轮复习-7.3-空间直线、平面的平行-专项训练【含答案】

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1.下列命题中正确的是( )
A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
C.若平面α内存在直线与平面β无交点,则α∥β
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a⊂α,b⊄α,则b∥α
2.设α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,且m,n⊂α,则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.如图,已知P为四边形ABCD外一点,E,F分别为BD,PD上的点,若
EF∥平面PBC,则( )
A.EF∥PA
B.EF∥PB
C.EF∥PC
D.以上均有可能
4.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题
“α∩β=m,n⊂γ,且 ,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.
可以填入的条件有( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
5.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F,G,P,Q分别为棱AB,C1D1,D1A1,D1D,C1C的中点,则下列叙述中正确的是( )
A.直线BQ∥平面EFG
B.直线A1B∥平面EFG
C.平面APC∥平面EFG
D.平面A1BQ∥平面EFG
6.在三棱柱ABCA1B1C1中,D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点,若A1C∥平面BC1D,则D为( )
A.棱AB的中点B.棱A1B1的中点
C.棱BC的中点D.棱AA1的中点
7.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长等于 .
8.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于A,C两点,过点P的直线n与α,β分别交于B,D两点,且PA=
6,PD=8,AC=9,则BD的长可能为 .
9.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.
(1)求证:平面A1C1G∥平面BEF;
(2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.
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10.(多选题)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,D,E,F为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面DEF平行的是( )
11.正方体的平面展开图如图所示,在这个正方体中,
①BM与ED平行;
②CN与BE平行;
③AF与平面BDM平行;
④平面CAN与平面BEM平行.
以上四个命题中,正确命题的序号是 .
12.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,D,D1分别为AC,A1C1上的点.
(1)当A1D1D1C1等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求ADDC的值.
13.如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,
AD,EF的中点.
求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
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14.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点M,N分别是棱BC,CC1的中点,动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动,且PA1∥平面AMN,则PA1的长度范围为( )
A.[1,52] B.[324,52]
C.[324,32] D.[1,32]
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:对于A,a可以在经过b的平面内;对于B,a与α内的直线也可能异面;对于C,α与β可能平行,也可能相交;对于D,由直线与平面平行的判定定理知b∥α.故选D.
2.解析:由面面平行的性质可知α//β,m,n⊂α⇒m∥β且n∥β,充分性成立;当m∥n时,若m,n⊂α,m∥β,n∥β,则α,β可能平行或相交,必要性不成立,所以“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.故选A.
3.解析:由线面平行的性质定理可知EF∥PB.故选B.
4.解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,m⊂γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故选C.
5.解析:过点E,F,G的截面为如图所示的六边形FGHEIQ(H,I分别为AA1,BC的中点),连接A1B,BQ,AP,AC,PC,易知BQ与平面EFG相交于点Q,故A错误;因为A1B∥HE,A1B⊄平面EFG,HE⊂平面EFG,所以A1B∥平面EFG,故B正确;AP⊂平面ADD1A1,HG⊂平面ADD1A1,延长直线HG与PA必相交,故C错误;易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q,故D错误.故
选B.
6.解析:如图,当D为棱A1B1的中点时,取AB的中点E,连接A1E,EC,
由题意,得A1E∥BD,DC1∥EC,DC1∩BD=D,
DC1,BD⊂平面BC1D,
A1E∩EC=E,A1E,EC⊂平面A1CE,
所以平面A1CE∥平面BC1D,又A1C⊂平面A1CE,
则A1C∥平面BC1D.
故选B.
7.解析:因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC,所以点F为DC的中点.故EF=12AC=2.
答案:2
8.解析:连接AB,CD,
当P在平面α与平面β的同侧时,
因为α∥β,平面PCD∩α=AB,平面PCD∩β=CD,
所以AB∥CD,
可得PAAC=PBBD,
因为PA=6,AC=9,
PD=8,
所以BD=245;
当P在平面α与平面β之间时,
同理可得PAPC=PBPD,
因为PA=6,AC=9,PD=8,所以PB=16,
所以BD=PB+PD=24.
综上所述,可得BD的长为245或24.
答案:245或24
9.证明:(1)因为E,F分别为B1C1,A1B1的中点,
所以EF∥A1C1.
因为A1C1⊂平面A1C1G,EF⊄平面A1C1G.
所以EF∥平面A1C1G,
又F,G分别为A1B1,AB的中点,所以A1F=BG.
又A1F∥BG,所以四边形A1GBF为平行四边形,
则BF∥A1G.
因为A1G⊂平面A1C1G,BF⊄平面A1C1G,
所以BF∥平面A1C1G.
又EF∩BF=F,EF,BF⊂平面BEF,
所以平面A1C1G∥平面BEF.
(2)因为平面ABC∥平面A1B1C1,
平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,
平面A1C1G与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线,设交BC于点H,如图,
则A1C1∥GH,得GH∥AC,
因为G为AB的中点,所以H为BC的中点.
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10.解析:对于A,AB∥DE,AB⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,
所以直线AB与平面DEF平行,故A正确;
对于B,如图1,作平面DEF交正方体的棱于点G,连接FG并延长,交AB的延长线于点H,则AB与平面DEF相交于点H,故B错误;
对于C,AB∥DF,AB⊄平面DEF,DF⊂平面DEF,
所以直线AB与平面DEF平行,故C正确;
对于D,如图2,
连接AC,取AC的中点O,连接OD,
又D为BC的中点,
所以AB∥OD,
因为OD与平面DEF相交,
所以直线AB与平面DEF相交,故D错误.故选AC.
11.解析:由展开图得到正方体的直观图如图,
对①,BM与ED异面,故①错误;
对②,连接BE,因为EN∥AD,EN=AD,AD∥BC,AD=BC,所以EN∥BC,
EN=BC,
所以四边形ENCB为平行四边形,
所以CN与BE平行,故②正确;
对③,连接MD,同②的方法可证四边形AFMD为平行四边形,所以
AF∥MD,
又AF⊄平面BDM,MD⊂平面BDM,
所以AF∥平面BDM,故③正确;
对④,连接EM,AC,AN(图略),
同②的方法可证四边形AEMC为平行四边形,
则AC∥EM,
又AC⊄平面BEM,EM⊂平面BEM,
所以AC∥平面BEM,同理AN∥平面BEM,
又AC∩AN=A,AC,AN⊂平面CAN,
所以平面CAN∥平面BEM,故④正确.
答案:②③④
12.解:(1)当A1D1D1C1=1时,BC1∥平面AB1D1.
如图,连接A1B交AB1于点O,连接OD1.
由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,
所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
所以OD1∥BC1.
又OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,所以BC1∥平面AB1D1.
所以当A1D1D1C1=1时,BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1.
因此BC1∥OD1,同理AD1∥DC1.
所以A1D1D1C1=A1OOB,A1D1D1C1=DCAD.
又A1OOB=1,所以DCAD=1,即ADDC=1.
13.证明:(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,
因为四边形ADEF为平行四边形,
所以O为AE的中点,
又M为AB的中点,
所以MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,
又因为BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的对边AD,EF的中点,所以
DE∥GN,
又因为DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点,N为AD的中点,
所以MN为△ABD的中位线,
所以BD∥MN,
因为BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,
所以BD∥平面MNG,
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,
所以平面BDE∥平面MNG.
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14.解析:取B1C1的中点E,BB1的中点F,连接A1E,A1F,EF,取EF的中点O,连接A1O,如图所示,
因为点M,N分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中棱BC,CC1的中点,所以AM∥A1E,MN∥EF,因为AM∩MN=M,A1E∩EF=E,AM,MN⊂平面AMN,
A1E,EF⊂平面A1EF,所以平面AMN∥平面A1EF,因为动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动,且PA1∥平面AMN,所以点P的轨迹是线段EF,因为A1E=A1F=12+(12) 2=52,EF=1212+12=22,所以A1O⊥EF,所以当P与O重合时,PA1的长度取最小值A1O,A1O=(52) 2-(24) 2=324,当P与E(或F)重合时,PA1的长度取最大值A1E或A1F,A1E=A1F=52,所以PA1的长度范围为[324,52].
故选B.