2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理-专项训练【含答案】，共8页。
1.在(x2-1x)8的二项展开式中,第4项的二项式系数是( )
A.56 B.-56
C.70 D.-70
2.(2x-1x)5的展开式中x的系数为( )
A.-80 B.-40
C.40 D.80
3.已知(2x+1x)n的二项展开式中,第3项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为( )
A.212B.312C.310D.210
4.若(x-ax)8的二项展开式中x6的系数是-16,则实数a的值是( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5.已知多项式(x-2)5+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,则a1等于( )
A.11 B.74
C.86 D.-1
6.C6020-C6121+…-C6525+C6626的值为 .
7.已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2= ,a1+a2+a3+a4+a5= .
8.在(x+1)4(y+z)6的展开式中,系数最大的项为 .
9.已知在(3x-123x)n的展开式中第5项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
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10.(多选题)关于(1+x-1x2)8的展开式,下列说法正确的是( )
A.各项系数之和为256
B.各项系数的绝对值之和为38
C.x8项的系数为1
D.x2项的系数为224
11.(多选题)设(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,则下列结论正确的是( )
A.a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36
B.a2+a3=-100
C.a1,a2,a3,…,a6中最大的是a2
D.当x=7时,(2x+1)6除以16的余数是1
12.已知n∈N*且n>1,x(x3-2x)n的展开式中存在常数项,写出n的一个值为 .
13.在下面两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并对其求解.
条件①:只有第5项的二项式系数最大;
条件②:所有项的二项式系数的和为256.
问题:在(ax-13x)n(a>0)的展开式中, .
(1)求n的值;
(2)若其展开式中的常数项为112,求其展开式中系数的绝对值最大
的项.
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14.设f(x)=(1+x2)m-(1+x)2n(m∈N*,n∈N*).
(1)当m=4,n=3时,
记f(x)的展开式中xi的系数为ai(i=0,1,2,3,4,5,6,8),求a3+a4的值;
若f(x)的展开式中x2的系数为20,求mn的最小值.
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:第4项的二项式系数为C83=56.故选A.
2.解析:(2x-1x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-1x)r=(-1)r25-rC5rx5-2r,
令5-2r=1,得r=2,
所以(2x-1x)5的展开式中x的系数为(-1)2×25-2·C52=80.故选D.
3.解析:因为(2x+1x)n的二项展开式中第3项与第9项的二项式系数
相等,
所以Cn2=Cn8,解得n=10,取x=1,所以所有项的系数之和为310.故选C.
4.解析:根据(x-ax)8的二项展开式的通项Tr+1=C8r·x8-r·(-ax)r=
C8r(-a)rx8-2r.
令8-2r=6,得到r=1,
由x6的系数是-16,得到C81(-a)=-16,解得a=2.故选D.
5.解析:对于(x-2)5,其展开式的通项为Tr+1=C5rx5-r(-2)r,
令5-r=1,得r=4,
故T5=C54x(-2)4=80x,对于(x-1)6,其展开式的通项为Tk+1=C6kx6-k(-1)k,
令6-k=1,得k=5,
故T6=C65x(-1)5=-6x,
所以a1=80-6=74.故选B.
6.解析:C6020-C6121+…-C6525+C6626=126×(C60·26-C61·25+C62·24-C63·23+C64·22-
C65·21+C66·20)=(2-1)626=164.
答案:164
7.解析:由多项式展开式可知,a2=2C42(-1)2+C43(-1)3=12-4=8.令x=0可得a0=2,令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.
答案:8 -2
8.解析:因为(x+1)4的通项为C4rx4-r,(y+z)6的通项为C6ky6-kzk,
所以(x+1)4的展开式中系数最大的项为C42x2=6x2,(y+z)6的展开式中系数最大的项为C63y3z3=20y3z3,
所以在(x+1)4(y+z)6的展开式中,系数最大的项为120x2y3z3.
答案:120x2y3z3
9.解:(1)展开式的通项为Tr+1=Cnr(3x)n-r(-123x)r=Cnr(-12)rxn-2r3,
因为第5项为常数项,所以当r=4时,
有n-2r3=0,解得n=8.
(2)由(1),Tr+1=C8r(-12)rx8-2r3,
由题意得,8-2r3∈Z,0≤r≤8,r∈Z,所以r=1,4,7,所以有理项分别为T2=-4x2,T5=358,
T8=-116x2.
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10.解析:令x=1,则各项系数之和为(1+1-1)8=1,A不正确;
因为各项系数的绝对值之和与(1+x+1x2)8的各项系数和相等,
则令x=1,各项系数的绝对值之和为(1+1+1)8=38,B正确;
因(1+x-1x2)8表示8个(1+x-1x2)因式的乘积,
则选8个x即可得x8的系数为C88=1,C正确;
根据C选项,要得到x2项,可以选6个1,2个x,
或者选3个1,4个x,1个(-1x2),
或者选6个x,2个(-1x2),
则x2项的系数为C86C22+C83C54·(-1)+C86C22·(-1)2=-224,D不正确.
故选BC.
11.解析:对A,令x=-2,则[2×(-2)+1]6=a0-a1+a2-…+a6=36,故A正确;
对B,(2x+1)6=[-1+2(x+1)]6=C60(-1)6·[2(x+1)]0+C61(-1)5[2(x+1)]1+
…+C66(-1)0·[2(x+1)]6,
可知a2+a3=C62(-1)4×22+C63(-1)3×23=60-160=-100,故B正确;
对C,ai=C6i(-1)6-i·2i(i=0,1,2,3,4,5,6),当i=1,3,5时,ai1,
所以n=4k+1(k∈N*),
可得n的一个值为5.
答案:5(答案不唯一)
13.解:(1)选①,因为只有第5项的二项式系数最大,
所以n2=4,所以n=8.
选②,因为所有项的二项式系数的和为256,
所以2n=256,
所以n=8.
(2)二项式(ax-13x)8的展开式的通项为Tr+1=C8r(ax)8-r(-13x)r=C8r·a8-r·
(-1)rx8-43r,
令8-43r=0,得r=6,
所以展开式中的常数项为C86a2=112,得a2=4,
又因为a>0,所以a=2,
所以二项式(2x-13x)8的展开式的通项为Tr+1 =C8r·28-r·(-1)rx8-43r,
设第r+1项为系数绝对值最大的项,
则C8r·28-r≥C8r-1·28-(r-1),C8r·28-r≥C8r+1·28-(r+1),解得2≤r≤3,
又因为r∈N且r≤8,所以r=2,3,
所以展开式中系数的绝对值最大的项为T3=C82·26·(-1)2·x163=1 792x163和T4=C83·25·(-1)3·x4=-1 792x4.
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14.解:(1)由题意f(x)=(1+x2)4-(1+x)6.
(1+x2)4的展开式的通项为Tr+1=C4rx2r,r∈{0,1,2,3,4},
(1+x)6的展开式的通项为Tk+1=C6kxk,k∈{0,1,2,3,4,5,6},
故当k=3时,可得x3的系数为a3=-C63=-20,
当r=2,k=4时,可得x4的系数为a4=C42-C64=-9,因此a3+a4=-29.
(2)由二项式的展开式的特征可得(1+x2)m的展开式的通项为Tr+1=Cmrx2r,r∈{0,1,…,m},
(1+x)2n的展开式的通项为Tk+1=C2nkxk,k∈{0,1,…,2n},
当r=1,k=2时,x2的系数为Cm1-C2n2=m-2n(2n-1)2=20,即m=2n2-n+20,
则mn=20-n+2n2n=2(n+10n)-1,
又函数g(x)=x+10x在(0,10)上单调递减,在[10,+∞)上单调递增,
注意到n的取值为正整数,
因此g(n)=n+10n的最小值为min{g(3),g(4)}=193.
因此mn的最小值为2×193-1=353.