2024-2025学年湖南省岳阳市云溪区高二上册11月期中考试数学检测试题

这是一份2024-2025学年湖南省岳阳市云溪区高二上册11月期中考试数学检测试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8小题，每小题5分，总分40分）
1. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. “”是“直线与直线垂直”（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（ ）
A. B. C. D.
4. 在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知圆与圆，过动点分别作圆、圆切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共4小题，每小题5分，总分20分）
9. 满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
A. 的倾斜角为，的斜率为
B. 的斜率为，经过点，
C. 经过点，，经过点，
D. 的方向向量为，的方向向量为
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 点是图象的一个对称中心
B. 的单调递增区间为，
C. 在上的值域为
D. 将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则
11. 曲线是平面内与两个定点，的距离的积等于的点的轨迹，则下列结论正确的是（ ）
A. 点到轴距离的最大值为B. 点到原点距离的最大值为
C. 周长的最大值为D. 最大值为
12. 在直三棱柱中，，，D是AC的中点，下列判断正确的是（ ）
A. ∥平面
B. 面⊥面
C. 直线到平面的距离是
D. 点到直线的距离是
三、填空题（共4小题，每小题5分，总分20分）
13. 已知向量与的夹角为，，，则______，______
14. 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成角的大小为___________.
15. 已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为__________、
16. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为_____.
四、解答题（共4小题，总分70分）
17. 如图，已知平面，为矩形，，分别为的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
18. 某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.
（1）求王阳第三次答题通过面试的概率；
（2）求王阳最终通过面试的概率.
19. 已知双曲线的实轴长为，且过点
（1）求双曲线C的方程.
（2）过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求
（3）若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上.
20. 已知为坐标原点，椭圆：两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
（1）求椭圆C的方程
（2）求证：直线恒过定点；
（3）斜率为直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值.
21. 如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为.

（1）求点的轨迹的方程；
（2）当时，点的轨迹方程记为.
（i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.