2024-2025学年四川省成都市高二上册期中数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高二上册期中数学学情检测试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则（ ）
A．2B．5C．21D．26
3．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知椭圆的两个焦点坐标分别为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
5．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（ ）
A．数据中可能存在极端大的值B．这组数据是不对称的
C．数据中众数一定不等于中位数D．数据的平均数大于中位数
7．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为BD中点，则点到直线EF的距离（ ）
A．B．C．D．
8．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．成都七中高新校区高二年级14个班团体操比赛成绩（满分100分）从小到大排序依次为：88，89，90，90，90，90，91，91，91，92，92，93，93，94（单位分），则下列说法正确的是（ ）
A．众数为90B．中位数为91.5C．第80百分位数为92D．方差为
10．已知正方体的棱长为2，点E，F，G分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（ ）

A．
B．分别是线段和上的两个动点，则
C．平面与平面夹角的正弦值为
D．平面EFG被正方体截得的截面面积为
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过左焦点的直线与椭圆相交于两点，，则以下说法正确的是（ ）
A．的周长为
B．的面积的最大值为
C．记关于坐标原点的对称点为，则
D．若为的中点，则的轨迹方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．点关于直线的对称点坐标为 .
13．连续抛掷一颗骰子次，则掷出的点数之和为的概率为 .
14．已知，点满足：，过点分别作两条相互垂直的射线DM，DN分别与点的轨迹交于M，N两点，记MN的中点为，记的轨迹为，过点分别作轨迹的两条切线，切点分别为，则取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.其中15题13分，16-17题15分，18-19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．为了检验同学们高二以来的学习效果，某市在期末的时候将组织调研考试．在某次调研考试中学校为了解同学们的调考情况，从所有同学中随机抽取某学科的100份答卷作为样本，将样本成绩按从低到高依次分为第组（如下图所示，成绩满分为100分且成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图求样本成绩的上四分位数；（上四分位数即75百分位数）
(2)已知第2组的平均成绩是54，方差是4，第3组的平均成绩为66，方差是4，
①分别求第2组和第3组的人数；
②求这两组成绩的总平均数和总方差.
参考公式或数据：
方差.
16．设向量，满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若点，设斜率为且过的直线与（1）中的轨迹交于P，Q两点，求的面积.
17．2024年10月1日是新中国诞辰75周年，为弘扬爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动，在最后一轮晋级中，参赛选手两人为一组，要求：在规定时间内两人分别对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立．已知甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，答题过程中甲乙每次是否作答正确互不影响．
(1)若，
①甲在两次作答中，分别求甲答对两道题和甲答对一道题的概率；
②求甲、乙各两次作答中一共答对3次题的概率；
(2)若，求甲、乙各两次作答中一共答对3次题的概率的最小值．
18．已知圆，圆与圆关于直线对称，圆.
(1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程；
(2)为平面内一动点，分别为圆与圆的切线（为切点）且，求点的轨迹方程；
(3)斜率为的直线过点与圆交于两点（在轴上方）.将平面沿轴折叠，使平面平面，设折叠后的长度为．求函数的解析式，并求函数的值域.
19．如图1所示，直角梯形，，，且，点A，E分别在线段MD，BC上，且，点为DC的中点，将四边形MBEA沿AE折起，使二面角的大小为.

(1)若（如图2所示），求直线AB与平面所成角的正弦值；
(2)若，点Q为平面ABE内一点，若平面ABE（如图3所示），求PQ的值；
(3)若时，点为线段的中点，将沿折起，使与四边形AEBM在平面AEND的同侧且平面平面ADE，点为四面体MECD内切球球面上一动点，求的最小值.
1．D
【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.
【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为，
则圆的方程为．
故选：D．
2．B
【分析】先得到的坐标，再利用数量积运算求解.
【详解】因为，
所以，
则.
故选：B
3．A
【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与直线平行”之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】当时，直线与平行；
当直线与直线平行时，
有且，解得，
故“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故选：A.
4．C
【分析】根据椭圆的定义计算即可.
【详解】易知椭圆焦点在横轴上，可设椭圆方程，
则根据题意知，所以，即椭圆方程为.
故选：C
5．A
【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可.
【详解】记2名男生为，2名女生为，
任意选出两人的样本空间，共6个样本点，
恰好一男一女生的事件，共4个样本点，
所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是.
故选：A
6．C
【分析】根据频率分布直方图的性质结合样本的数字特征即可判断.
【详解】数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则其图单峰不对称，故B正确；其大致图如下：
由图可知数据中可能存在极端大的值，故A正确；
由于“右拖尾”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，可能与众数相等，故C错误；
平均数靠近中点处，平均数容易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，故D正确；
故选：C
7．A
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，求出，利用空间点到直线的距离公式求解即可；
【详解】
连接，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由题意可得，
则，
所以点到直线EF的距离为，
故选：A.
8．B
【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定的轨迹，令，可求出点坐标，根据两点之间线段最短可求解.
【详解】直线过定点，
直线过定点，
且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆，
故圆心是，半径为则点的方程是
令，因为，
所以，
则
所以，可得点
则.

9．AD
【分析】由平均数、众数，中位数和方差的定义和计算公式求解即可.
【详解】易知：众数为90，中位数为91，
因为，所以第80百分位数为第十二个数为93；
平均数，
则方差为.
故选：AD.
10．ABD
【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，再证四边形为平行四边形可得A正确；建立如图所示坐标系，求出异面直线和的公垂线的一个方向向量，再由空间点线间距离公式可得B正确；分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，代入空间向量二面角公式，再结合同角的三角函数关系可得C错误；画出截面图形，由三角形的面积公式可得D正确；
【详解】

对于A，由正方体的性质可得平面，平面，所以，
又对角线，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为点E，G分别为棱的中点
又且相等，所以四边形为平行四边形，所以，
可知，故A正确；
对于B，以为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，

则，
，，
设为异面直线和的公垂线的一个方向向量，，即，取，
则，故B正确；
对于C，，
，
设n1=x1,y1,z1为平面的一个法向量，
，即，取，
则，取为平面的一个法向量，，
设平面与平面夹角为，
则，所以，故其正弦值为，故C错误；
对于D，如图延展平面易知平面EFG被正方体截得多边形为正六边形，则其面积为，故D正确；

故选：ABD.
11．CD
【分析】分别利用椭圆的性质判断每个选项即可.
【详解】易知的周长为，又故周长为，所以A错误；
椭圆方程可写为，
由设直线，代入椭圆方程得，
设，则，
则
，当且仅当，即时，等号成立，所以B错误；
易知，故，所以C正确
设点的坐标为，易知，故且，
化简可得，代入或满足条件，
故点的轨迹方程为．所以D正确．
故选：CD
12．
【分析】利用求点的对称点的方法求解即可.
【详解】设对称点坐标为，则有，解得
故
13．
【分析】计算出所有的基本事件数，并列举出事件“掷出的点数之和为”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.
【详解】连续抛掷一颗骰子次，基本事件的总数为，
其中事件“掷出的点数之和为”所包含的基本事件有：、、、、，共个，
因此，所求事件的概率为.
故答案为.
本题考查古典概型概率的计算，一般要列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.
14．
【分析】先分别求出点的轨迹和的轨迹方程，设，根据圆的性质结合数量积的定义化简，进而可得出答案.
【详解】设，由，得，
化简得，
故点的轨迹是以O0,0为圆心，为半径的圆，
因为，为的中点，所以，
又在圆上，所以，
则，
设，得，
化简得，
则轨迹的方程是以为圆心，为半径的圆，
设，则，故，
则，
则，
因为，所以点在圆内，
则，
即，所以，
由双钩函数的性质可得函数在上递减，在上递增，
又，
所以，
又，，
所以，
所以.

故答案为.
方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
15．(1)84；
(2)①10，20；②总平均数是62，总方差是36
【分析】（1）根据频率分布直方图结合百分位数的定义计算即可；
（2）①利用频率分布直方图直接计算可得；②利用平均数与方差的计算公式计算即可.
【详解】（1）上四分位数即75百分位数，
成绩落在内的频率为
成绩落在内的频率为，
设第75百分位数为，则其位于区间，
则，解得，
所以上四分位数为84；
（2）①由图可知，成绩在的人数为，
成绩在的人数为，
②两组成绩的总平均数为，
设成绩在中10人的分数分别为；
成绩在中20人的分数分别为，
则由题意可得，，，
即，
所以，
所以两组成绩的总平均数是62，总方差是36.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量模长公式，表达出，再根据椭圆定义，可推出动点轨迹；
（2）根据点斜式求出直线方程，和椭圆方程联立，根据韦达定理求出两交点长度，根据点到直线距离公式可求出到直线距离，即可求出的面积.
【详解】（1）由得，
由椭圆定义知：
点到两定点的距离之和为4，且，
所以，，所以可得
所以点的轨迹C的方程为.
（2）因为，
所以直线方程为，
联立方程组得，
设，则
所以
点到直线PQ的距离
所以
17．(1)①，；②
(2)
【分析】（1）设相应事件，①根据独立事件概率乘法公式运算求解；②分析可知，结合独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法运算求解；
（2）分析可知，整理可得，根据题意结合基本不等式分析求解.
【详解】（1）设甲答对一道题甲答对两道题，乙答对一道题乙答对两道题
①由题意可得：
②同理：由题知，
设“甲、乙各两次作答中一共答对3次题”，
则，且与互斥，与与分别相互独立，
所以
，
因此，甲、乙各两次作答中一共答对3次题的概率
（2）由题知：，
设“甲、乙各两次作答中一共答对3次题”，
则，且与互斥，与与分别相互独立，
所以
因为，当且仅当时等号成立，
可得，即，
所以甲、乙各两次作答中一共答对3次题的概率的最小值为
18．(1)，
(2)
(3)；
【分析】（1）将圆与圆相减即可得到公共弦所在直线方程；圆的圆心为，利用点关于线对称得到方程组，求出圆心,写出圆的方程即可;
（2）设出，借助切线长公式表示出,整理，进而得到，整理化简即可.
（3）联立直线与圆的方程，借助根与系数之间的关系以及向量表示出，结合函数思想求出值域即可.
【详解】（1）
如图所示，由
两式相减，
化简得．
所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为.
又圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为，
解得,
圆方程为.
（2）如图，根据切线长公式,，
因为，所以，即，
设，则，
化简得，
点Q的轨迹方程
（3）
如图：设直线的方程为，且设.
由得，
显然，且.
分别过作轴，轴，折叠后，
可知,
由，所以,
，
又由
由
,
，
综上:的值域为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用公式求解即可；
（2）根据题意可得，进而得平面PQK，又平面，确定点，进而根据三角形的相关知识可解出PQ的值；
（3）建立空间直角坐标系，根据等体积法求出内切球的球心坐标和半径，然后得内切球的方程，利用阿氏球相关知识可知空间中必存在一定点，使球上的点满足，然后根据方程解出点的坐标，进而求出的最小值.
【详解】（1）如图2，由题AM、AE、AD三线两两垂直，建立如图所示的坐标系，，，，，
，，，
设平面BCD的法向是，
由，得，即，
所以取平面BCD的一个法向量，
设AB与平面所成角为，所以，
与平面BCD所成角的正弦值为
（2）如图，设AE、AB的中点分别为K、T，连接KT.

由平面几何知：，，所以，且平面T.
若平面，因为平面ABE
所以，又，，平面，，所以平面PQK，
又平面，所以且，
在中，，因为，又，所以，
所以在中，；
（3）显然，MECD为棱长为的正四面体，作面BME，设内切球球心为，
建立如图所示的坐标系，且，则，.

设内切球半径为，由等体积法知，，所以，
所以内切球的方程为，
由阿氏球知，空间中必存在一定点，使球上的点满足，
即，
则，
由球的方程，
所以，解得，
所以，所以，
所以的最小值为.
思路点睛：根据题意建立空间直角坐标系，用空间向量解决立体几何中的求空间角问题，求最值问题.