2024-2025学年四川省眉山市东坡区高二上册11月期中联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省眉山市东坡区高二上册11月期中联考数学检测试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 下列现象是必然现象的是（ ）
A. 某路口每星期发生交通事故1次
B. 冰水混合物的温度是
C. 三角形的内角和为
D. 一个射击运动员每次射击都命中7环
2. 已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（ ）
A. 患此疾病的病人被治愈的可能性为
B. 医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C. 如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈
D. 医院接收10位患此疾病病人，其中一定有能被治愈的
3. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A. B. C. D. 4
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
5. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A. B. C. D.
6. 接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在正四面体中，过点作平面垂线，垂足为点，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，为圆锥的顶点，该圆锥的母线长为米，底面圆的半径为米，为底面圆周上一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点，则（ ）
A. 蚂蚁爬行的最短路程为米
B. 当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为
C. 蚂蚁爬行最短路程为米
D. 当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则在上的投影向量为
B. 若是四面体的底面的重心，则
C. 若，则四点共面
D. 若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
三、填空题
12. 如图，平面与平面夹角为，四边形，都是边长为1的正方形，则，两点间的距离是______．
13. 小刚参加一种答题游戏，需要解答A,B,C三道题，已知他答对这三道题的概率分别为，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为___________ .
14. 某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），两人第一局获胜的概率均为，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局获胜的概率为，若上局未获胜，则该局获胜的概率为，且一方第一局、第二局连胜的概率为．则打完4场结束比赛的概率为______．
四、解答题
15. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
16. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：
（1）向量，，的坐标；
（2），的坐标．
17. 2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求样本中数据的第百分位数；
（2）求样本数据的平均数；
（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率.
18. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
19. 如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记.
（1）若，求线段EF的长；
（2）若，设，求实数和的值；
（3）若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值
2024-2025学年四川省眉山市东坡区高二上学期11月期中联考数学
检测试题
一、单选题
1. 下列现象是必然现象的是（ ）
A. 某路口每星期发生交通事故1次
B. 冰水混合物的温度是
C. 三角形的内角和为
D. 一个射击运动员每次射击都命中7环
【正确答案】C
【分析】根据现象的分类逐项分析判断.
【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误；
对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误；
对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确；
对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误；
故选：C.
2. 已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（ ）
A. 患此疾病的病人被治愈的可能性为
B. 医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C. 如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈
D. 医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的
【正确答案】A
【分析】利用概率的意义直接求解．
【详解】某医院治疗一种疾病的治愈率为，
对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为，故A正确；
对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为，
不一定有一位病人被治愈，故B错误；
对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误；
对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D错误．
故选：A.
3. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A. B. C. D. 4
【正确答案】C
【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，
.
故选：C
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【正确答案】B
【分析】利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.
【详解】解：，，
.
故选：B.
5. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有：
116 812 730 217 109 361 284 147 318 027共10个，
故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是，
故选：B
6. 接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】最多人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解.
【详解】由题得最多人被感染的概率为.
故选：A
方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.
7. 如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.
【详解】记零件或系统能正常工作的概率为，
该系统正常工作的概率为:

,
故选：C.
8. 在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.
【详解】由题知，在正四面体中，
因为平面，
所以是的中心，
连接，则，
所以
.

故选：B
二、多选题
9. 已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】根据向量共面的定义分别判断各选项.
【详解】A选项：令，则，解得，即，，共面，故A选项不符合题意；
B选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故B选项符合题意；
C选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故C选项符合题意；
D选项：设，则，此方程组无解，，，不共面，故D选项符合题意；
故选：BCD.
10. 如图，为圆锥的顶点，该圆锥的母线长为米，底面圆的半径为米，为底面圆周上一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点，则（ ）
A. 蚂蚁爬行的最短路程为米
B. 当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为
C. 蚂蚁爬行的最短路程为米
D. 当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为
【正确答案】BC
【分析】由侧面展开图，可知当为中点时，路程有最小值可判断AC，根据向量的数量积运算律及性质可知为直径时由最大值，可判断BD.
【详解】圆锥的侧面展开图如图所示，
的长为，，
为等边三角形，
取的中点，连接，则，
此时的长即蚂蚁爬行的最短路程，且最短路程为米，A错误，C正确；
当蚂蚁爬行的路程最短时，为的中点，
设中点为，如图，
则，
，，
则当为直径时，取得最大值，且最大值为，B正确，D错误．
故选：BC．
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则在上的投影向量为
B. 若是四面体的底面的重心，则
C. 若，则四点共面
D. 若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
【正确答案】BC
【分析】根据投影向量定义结合空间向量的坐标运算求解可判断A；根据空间向量基本定理可判断B；根据四点共面的结论可判断C；根据空间向量基本定理分析可判断D.
【详解】对于A，在上的投影向量为
，故A错误；
对于B，如图，是四面体的底面的重心，延长交与点，
则点是的中点，所以
，故B正确；

对于C，若，则，
所以四点共面，故C正确；
对于D，设在基底下的坐标为，
则，
因为在单位正交基底下的坐标为，所以，解得，
则在基底下的坐标为，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
12. 如图，平面与平面夹角为，四边形，都是边长为1的正方形，则，两点间的距离是______．
【正确答案】
【分析】利用二面角的定义可得出，由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求.
【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，
又平面与平面夹角为，即，则，
因为，由图易知，，
所以
，
即，两点间的距离是.
故答案为.
13. 小刚参加一种答题游戏，需要解答A,B,C三道题，已知他答对这三道题的概率分别为，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为___________ .
【正确答案】##
【分析】记小刚解答三道题正确分别为事件，且相互独立，根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，合理计算，即可求解.
【详解】解：记小刚解答三道题正确分别为事件，且相互独立，
且，
因为他恰好能答对两道题的概率为，
可得
，整理得，
所以他三道题都答错的概率为.
故答案.
14. 某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），两人第一局获胜的概率均为，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局获胜的概率为，若上局未获胜，则该局获胜的概率为，且一方第一局、第二局连胜的概率为．则打完4场结束比赛的概率为______．
【正确答案】
【分析】由已知条件可知连胜两局的概率为，即可求解p，若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，有第1、2、4场获胜，第1、3、4场获胜，第2、3、4场获胜三种情况，分别出每种情况的概率，并求和即可.
【详解】解：令事件为一方在第i局获胜，，
则连胜两局的概率，解得，
若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，
其中一方在第1、2、4场获胜的概率，
其中一方在第1、3、4场获胜的概率，
其中一方在第2、3、4场获胜的概率，
所以打完4场结束比赛的概率，
故答案为.
四、解答题
15. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与交点．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）结合题意根据空间向量的线性运算求解即可；
（2）先利用空间向量的线性运算表示向量，，然后根据空间向量求异面直线所成角的公式求解即可.
【小问1详解】
由题意可知：点是的中点，则，
所以，
；
【小问2详解】
设，，，
则，，，
，，
，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以，
所以，
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
16. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：
（1）向量，，的坐标；
（2），的坐标．
【正确答案】（1），，
（2），
【分析】（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标；
（2）利用向量的坐标运算加法和减法即可.
【小问1详解】
由已知，
则，，；
【小问2详解】
，
.
17. 2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求样本中数据的第百分位数；
（2）求样本数据的平均数；
（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率.
【正确答案】（1）
（2）50 （3）
【分析】（1）先根据概率和为1确定样本中数据落在的频率，再利用公式即可求解.
（2）根据公式求样本数据的平均数即可.
（3）先分层抽样，再利用古典概型的概率公式求解即可.
【小问1详解】
依题意，样本中数据落在的频率为：
样本数据的第百分位数落在第四组，
且第百分位数为
【小问2详解】
平均数为.
【小问3详解】
与两组频率之比为.
现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为；组抽取4人，记为
所有可能的情况为共15种.
其中至少有1人的年龄在的情况有共9种.
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A，
则
18. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案；
（2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.
【小问1详解】
甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为.
【小问2详解】
乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
【小问3详解】
丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
.
19. 如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记.
（1）若，求线段EF的长；
（2）若，设，求实数和的值；
（3）若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由向量的线性运算可得，两边平方可求解；
（2）由已知可得，，可得结论；
（3）利用向量的线性关系可得，，计算可得结论.
【小问1详解】
若，则，，
所以，
两边平方可得，
所以；
【小问2详解】
若，则，所以，
①，
②，
由①②可得；
【小问3详解】
，
，
设，又，
又，所以①，
由，可得，所以，所以，
所以，
由，可得，
所以，
又三点共线，所以②，
联立①②解，
所以，所以，
，
，
所以
，
又，
所以，同理可得，
所以.
关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算