2025襄阳三校联考高二上学期12月教学交流考试数学试题含答案

这是一份2025襄阳三校联考高二上学期12月教学交流考试数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第项是（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，，，则（ ）
A．－2B．－1C．0D．1
3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.6
4．数列满足，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
5．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段AB的中点坐标是（ ）
A．（2，6）B．（3，2）C．（6，4）D．（4，6）
6．如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆E：（a＞b＞0）的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆以外，且线段PF1与椭圆E交于点M．若，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线的斜率不存在且过点，则直线方程为
B．直线过定点
C．是直线与直线垂直的充要条件
D．是直线与直线平行的充要条件
10．如图所示，在棱长为1的正方体中，是线段上动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面平面
B．的最小值为
C．若P为线段的中点，则平面与平面夹角余弦值为
D．若是线段的中点，则到平面的距离为
11．双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，则（ ）
A．双曲线的焦点到渐近线的距离为
B．若，则
C．当过点时，光线由所经过的路程为8
D．反射光线所在直线的斜率为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设为抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为；若抛物线上一点满足，那么点的纵坐标为_______．
13．已知为数列的前项和，，则_______．
14．已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知圆C的圆心在直线上，且经过点，．
（1）求圆C的方程；（2）求圆C与圆M：的公共弦长．
16．某部门组织甲、乙两人同时破译一个密码，每人能否破译该密码相互独立．已知甲、乙各自独立破译出该密码的概率分别为，．
（1）求他们破译出该密码的概率；
（2）求甲、乙至多有一人破译出该密码的概率；
（3）现把乙调离，甲留下，并要求破译出该密码的概率不低于80%，那么至少需要再增添几个与甲水平相当的人？
17．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
（2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值；
（3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
18．在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示．
（1）求证：平面；
（2）设直线与平面所成线面角为，求的最大值．
19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程：
（2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N．
（ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ⅱ）求面积的最大值．
高二年级12月教学交流考试数学试题参考答案
一、选择题
二、填空题
12． 4 13． 14．
三、解答题
15．（1）记点，线段AB的中垂线方程为：
圆C经过A，B，所以圆心C在直线上，又因为圆心C在直线上
所以圆心C的坐标为（2，－2）
半径
所以圆C的方程为：
（2）设圆C与圆M相交与E，F两点，则直线EF的方程为：
即：
圆心M到直线EF的距离，
所以，，即公共弦长为，
16．记“甲破译出密码”为事件A，“乙破译出密码”为事件B，则．
（1）“他们破译出该密码”的对立事件为“他们没有破译出该密码”，即“甲没有破译出该密码”与“乙没有破译出该密码”同时发生，所以他们破译出该密码的概率为．
（2）“至多有一人破译出密码”记为事件C
．
（3）设共需要个与甲水平相当的人，则有．
即，又
，数列是递减数列，所以．
故至少需要再增添3个与甲水平相当的人．
17．（1）如图所示．依题意，设该抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，所以，
所以该抛物线的方程为；
（2），焦点，
设,则,
由解得,,
所以，
（或：）
则；
（3）设车辆高为h，则，故，
代入抛物线方程，得，解得，
所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米．
18．（1）因为，则，
且，可得，
将沿DE折起到的位置，始终有，
因为平面，所以平面，
由平面，可得，
且平面BCDE，
所以平面BCDE
（2）由（1）可知，，CD，CB两两垂直，翻折后，
由勾股定理得，
以C为原点，直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
可知
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
且，
因为直线BM与平面线面角为，则
，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．
19．（1）由题意可知：，
则，
可知动点P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，
且，，，所以曲线C的方程．
（2）①联立方程，消去y可得，
因为直线与曲线C相切，则，
整理可得，
则原方程为，解得，
将代入直线，可得，
可知
则，为定值；
（2）由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为到直线的距离，
可得，
因为，则，
可得，
则面积，
（或：）可知当，即时，
取到最大值8．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
C
C
B
C
C
B
ACD
ABD
ABD