通用技术必修一模型巩固练习

这是一份通用技术必修一模型巩固练习，共9页。
梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形．
梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线．

图1 图2
塞瓦（G·Gev1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，
如图2，则 。
注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。
例1.如图，在中，D为AC中点，，求证：．
例2.如图，在中，，，AD、BE交于点，求．
例3.如图所示，被通过它的三个顶点与三角形内一点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求的面积．
例4.已知AD是的高，点D在线段BC上，且，，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG．
例5. 如图所示，△ABC的三条外角平分线BE、AD、CF，与对边所在直线交于E、D、F三点，求证：D、E、F三点共线。
例6．（2023·山西·期中联考）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．
过点作交于点，则，（依据），
∴，∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
(1)情况①中的依据指： ；(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
(3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么
例7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：．
例8. 如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。
例8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。

例9.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：.
例10．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．
课后专项训练
1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（ ）
A．B．2C．D．
2.如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC的面积的（ ）
A．B．C．D．
3．（广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，在中，，，，，垂足为D，E为的中点，与交于点F，则的长为 ．

4．（2022年山西中考一模数学试题）如图，在中，，，．是边上的中线．将沿方向平移得到．与相交于点，连接并延长，与边相交于点．当点为的中点时，的长为 ．

5.如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为 ．
6.如图，在中，AD、CE交于点F，若，，求．
7.P是平行四边形ABCD内任意一点，过P作AD的平行线，分别交AB于E，交CD于F；又过P作AB的平行线，分别交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q．求证：D，P，Q三点共线．
8.（2023.湖北九年级期中）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有••＝1．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有＝．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，则AE＝ ．
9．（江苏2022-2023学年九年级月考）如图1，在中，D是边上的一点，过点D的直线分别与、的延长线交于点M、N．
问题引入：若点D是的中点，，求的值；如图2，可以过点C作，交于点P；如图3，也可以过点A作，交延长线于点Q．
探索研究：（1）如图4，若点D为上任意一点，求证：．
拓展应用：（2）如图5，P是内任意一点，，则_______，____．
10．（2023·四川内江·中考模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
问题引入：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC= ；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC= （用图中已有线段表示）．
探索研究：（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
拓展应用：（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．
11．（2023·重庆·八年级期中）如图，的面积为，、分别是，上的点，且,
．连接,交于点,连接并延长交于点．则四边形的面积为 ．
12．（2023上·河南洛阳·九年级期末）小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解答．已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连结FD交AC于点E．
(1)求的值；(2)若AB＝a，FB＝AE，求AC的长．