肥东圣泉中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份肥东圣泉中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，则是的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.既不充分又不必要条件D.充要条件
3．下列不等式中成立的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若且，则
4．已知幂函数的图像过点，下列说法中正确的是( )
A.是奇函数B.的定义域是
C.的值域是D.在定义域上单调递减
5．设偶函数在区间上单调递增，则( )
A.B.
C.D.
6．若，则( )
A.0B.1C.2D.3
7．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．猪血木又名阳春红檀,原产于广东阳江阳春市、广西平南县和巴马县,是中国特有的单种属濒危植物,属于国家一级保护植物和极小种群野生植物.猪血木不仅实现了人工繁育,在阳江阳春市储备苗木近10万株,还被引种到广州、深圳、韶关、云浮等地.某地引种猪血木1000株,假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加,且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年,则( )
（参考数据：）
A.9B.8C.7D.6
二、多项选择题
9．下列函数既是奇函数又在定义域内单调递增的是( )
A.B.C.D.
10．如果函数在区间I上单调递减，且函数在区间I上单调递增，那么称是区间I上的“可变函数”，区间I叫作的“可变区间”.已知函数，则下列区间为的可变区间的是( )
A.B.C.D.
11．对任意实数x，定义为不大于x的最大整数，如，，.设函数，则( )
A.的图像关于直线对称B.，
C.在上单调递增D.在上单调递减
12．若为偶函数，则实数____.
13．已知函数，若，且，则的取值范围是____.
三、填空题
14．已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为________.
四、解答题
15．(1)若,求的值;
(2)计算：.
16．设全集，集合,.
(1)若时，求,；
(2)若，求实数a的取值范围.
17．已知函数.
(1)若关于x的不等式的解集为，求a,b的值；
(2)当时，
(i)若函数在上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
(ii)解关于x的不等式.
18．已知函数是定义域为R的奇函数.
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明；
(3)若不等式对任意恒成立，求实数t的取值范围.
19．对于定义在R上的函数，若其在区间上存在最小值m和最大值M，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数.
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”；
(2)若函数是上的“聚集函数”，求实数a的取值范围;
(3)已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，，
所以.
故选：B.
2．答案：A
解析：若，则且，
所以或，故当时有，
而时，m不一定是1，
故是的充分而不必要条件.
故选：A.
3．答案：B
解析：对于A，当时，，故A错误；
对于B，若，由不等式的性质可知，故B正确；
对于C，若，取,，
得,,，则，故C错误；
对于D,若且，取,，
得,，则，故D错误.
故选：B.
4．答案：D
解析：幂函数的图像过点，
设，，即，得,，
，其定义域为，故B错误；
定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故A错误；
定义域为，，的值域是，故C错误；
，在定义域上单调递减，故D正确.
故选：D.
5．答案：B
解析：因为为偶函数，所以，
又在区间上单调递增，，所以，
则.
故选：B
6．答案：B
解析：，，，，
.
故选：B
7．答案：D
解析：由函数
因为函数任意且，都有，
所以函数在定义域R上为单调递减函数，
则满足，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
8．答案：B
解析：由题意得,则,解得.
因为,所以.
9．答案：BC
解析：对于A，为上的奇函数，在定义域内不单调，
A错误；
对于B，的定义域为R，，该函数为奇函数，
当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递增，函数在定义域R上单调递增，B正确；
对于C，的定义域为R，，是奇函数，
函数，均在R上单调递增，则在R上单调递增，C正确；
对于D，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，D错误.
故选：BC
10．答案：AC
解析：因为图像的对称轴为直线，
所以在区间上单调递减，
又在和上单调递增，
的单调递减区间和的单调递增区间的交集为，
故的可变区间应该是该集合的子集，A，C符合条件.
故选：AC.
11．答案：BD
解析：对于A，因为，
所以，，
即，而，
所以的图像不可能关于直线对称，故A错误；
对于B，因为为不大于x的最大整数，所以，
当时，，则；
当或时，，
因为的图像开口向上，对称轴为，
所以当或时，，故；
综上，，，故B正确；
对于C，因为，
所以，，
即，所以在上不可能单调递增，故C错误；
对于D，取，且，
当时，；
当时，；
综上，，
又由二次函数的性质可知在上单调递减，则，
所以，即，
所以在上单调递减，故D正确.
故选：BD.
12．答案：4
解析：［方法一］：定义法
偶函数对任意恒成立
.
故答案为：4.
［方法二］：利用二次函数与偶函数图像特征
因为函数是二次函数且为偶函数，
所以函数图像的对称轴是，即.
故答案为：4.
［方法三］：利用极值点特征
从另一个角度来看待偶函数的图像：既然图像关于y轴对称，说明该函数在处取得极值，因此是该函数的极值点，
由导数性质可得，即.
故答案为：4.
［方法四］：导数的性质
因为偶函数的导函数必为奇函数，
因此为偶函数为奇函数（这是一次函数），必为正比例函数.
故答案为：4.
13．答案：
解析：画出的图像，
当时，单调递增，且，
当时，单调递增，且，
令，解得，令，则，
若，且，则,，，
所以，，
当时，取得最小值，最小值为，
又时，，时，，
故.
故答案为：
14．答案：－4
解析：画出两函数图像可得，函数与的交点为，
所以，
所以，
故答案为：
15．答案：(1)
(2)12
解析：(1)因为,
所以.
(2)原式
.
16．答案：(1)；
;
(2)
解析：(1)因为，所以，又，
所以；
因为或，
所以.
(2)因为，所以.
若，即，可得，符合题意；
若，则，无解，
综上，a的取值范围是.
17．答案：(1)
(2)(i)；
(ii)答案见解析
解析：(1)依题意，关于x的方程的两个根为1和2，
于是得，解得，
所以.
(2)当时，，
(i)函数的对称轴为，因函数在上为单调递增函数，
则，解得，
所以实数a的取值范围是；
(ii)不等式为，即，
当时，解得或，
当时，解得，
当时，解得或，
综上可知，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
18．答案：(1);
(2)在R上单调递减，证明见解析;
(3)
解析：(1)因为是定义域为R的奇函数，
所以，所以，，
又，得，解得，
所以，
因为，
所以是奇函数，符合题意.
所以.
(2)由(1)知.
在R上单调递减，证明如下：
任取，设，
，
因为在R上是增函数，所以，，
又,，所以，从而，
所以在R上单调递减.
(3)因为为奇函数，且恒成立，
即恒成立，
因为在R上单调递减，
所以恒成立，即恒成立，
所以，解得.
所以t的取值范围为.
19．答案：(1)最小值-1，最大值为；是
(2);
(3)8
解析：(1)根据题意：，则，
因为，则当时，，
当时，，且，
即函数为上的“聚集函数”.
(2)
①若，则，，
根据题意：，无解；
②若，则，，
根据题意：，解得：；
③若，则，，
根据题意：，解得：；
④若，则，，
根据题意：，解得：无解；
综上：实数a的取值范围为：.
(3)
因为，则，
①若，则由图像可得：，
，设，即求L的最大值.
，
因为，则，代入上式，得，则.
②若，则由图像可得：，
，设，即求L的最大值.
，
因为，则，代入上式，得，则.
综上：的最大值为8，当且仅当时取等号，
即或时取等号.
因此的最大值为8.