江苏省四市十一校联盟2024-2025学年高二上学期12月阶段联测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省四市十一校联盟2024-2025学年高二上学期12月阶段联测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线与垂直,则( )
A.0B.1C.2D.
2．双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A.B.2C.D.
3．已知数列1,,,,3,…,按此规律,是该数列的( )
A.第11项B.第12项C.第13项D.第14项
4．以点为圆心,且与直线相切的圆的方程是( )
A.B.
C.D.
5．已知点,抛物线上有一点,则的最小值是( )
A.10B.8C.5D.4
6．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器,该名称源于屈原长诗《天问》,寓意探求科学真理征途漫漫,追求科技创新永无止境.图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图,火星的球心是椭圆的一个焦点.过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线,,则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角.图（2）所示的Q,R,S,T四个点处,对火星的观测角最大的是( )
A.QB.RC.SD.T
7．将正整数n分解为两个正整数、的积,即,当、两数差的绝对值最小时,我们称其为最优分解.如,其中即为20的最优分解,当、是n的最优分解时,定义,则数列的前2024项的和为( )
A.B.C.D.
8．已知是圆的一条弦,,P是的中点.当弦在圆O上运动时,直线上总存在两点A,B,使得为钝角,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知曲线,下列说法正确的是( )
A.若,则曲线C为椭圆
B.若,则曲线C为双曲线
C.若曲线C为椭圆,则其长轴长一定大于2
D.若曲线C为焦点在x轴上的双曲线,则其离心率小于大于1
10．已知数列满足,,则下列说法正确的是( )
A.B.中存在连续三项成等差数列
C.中存在连续三项成等比数列D.数列的前n项和
11．已知椭圆的左,右顶点分别为A,B,左,右焦点分别为,,P是椭圆上异于的一点,且（O为坐标原点）,记PA,PB的斜率分别为,,设I为的内心,记,,的面积分别为,,,则( )
A.B.C的离心率为C.D.
三、填空题
12．下列条件中,哪两个条件组合一定能得到抛物线的标准方程为的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）.
①焦点在x轴上;②焦点在y轴上;③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为3;④焦点到准线的距离为4;⑤由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为.
13．已知数列满足,,且.若是数列的前n项积,求的最大值为______.
14．如图所示,已知双曲线的右焦点F,过点F作直线l交双曲线C于两点,过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G,,且三点A,O,G共线（其中O为坐标原点）,则双曲线C的离心率为_________.
四、解答题
15．已知双曲线的离心率,实轴长.
（1）求C的方程;
（2）过C右焦点且倾斜角为的直线交C于A,B两点,求;
16．在等比数列中,,,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和;
17．如图,圆内有一点,为过点M且倾斜角为的弦.
（1）当时,求的长;
（2）是否存在弦被点M平分?若存在,写出直线的方程;若不存在,请说明理由.
（3）是过点M的另一条弦,当与始终保持垂直时,求的最大值.
18．已知椭圆的一个焦点,两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过焦点作x轴的垂线交椭圆上半部分于点P,过点P作椭圆C的弦,,M、N在椭圆上且直线,的倾斜角互补,问直线MN的斜率是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
（3）在第（2）问的条件下,当面积最大时,求直线MN的方程.
19．若数列满足(n为正整数，p为常数)，则称数列为等方差数列，p为公方差.
(1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列.
(3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在的条件下，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和
参考答案
1．答案：C
解析：因为直线与垂直,
所以,解得.
故选:C.
2．答案：B
解析：中,,故,故焦点坐标为,
渐近线方程为,
故焦点到渐近线的距离为,
由对称性可知,双曲线的焦点到渐近线的距离为2.
故选:B
3．答案：D
解析：根据数列1,,,,3,…,
,
又,
,解得,
故选：D.
4．答案：D
解析：因为点为圆心到直线的距离为,
所以圆的半径为,圆的方程为.
故选:D.
5．答案：B
解析：已知抛物线上有一点,则,即.
又,故在抛物线的外部,
则,
因为抛物线的焦点为,准线方程为,则,故.
由于,当A,P,F三点共线（P在A,F之间）时,取到最小值,
则的最小值为.
故选:B
6．答案：A
解析：设火星半径为R,椭圆左焦点为,连接,则,
因为,所以越小,越大,越大,
所以当点P位于条件中点Q处,对火星的观测角最大.
故选:A.
7．答案：B
解析：当,时,,所以;
当,时,,所以;
所以数列的前2024项和为:
,
故选:B.
8．答案：D
解析：圆的圆心,半径,
因为P为弦的中点,所以,
又因为,所以三角形为正三角形,所以,
即点P在以O为圆心,以为半径的圆上,点P所在圆的方程为,
要使得为钝角恒成立,则点P所在的圆在以为直径的圆的内部,而在直线上,
到直线的距离,
所以以为直径的圆的半径的最小值为,
所以的最小值为.此时为直角,
所以的取值范围是,.
故选:D.
9．答案：BCD
解析：对于A选项,若C为椭圆,则,A不正确;
对于B选项,若C为双曲线,等价于,即或,B正确;
对于C选项,当时,椭圆长轴长,
当时,椭圆长轴长,C正确;
对于D选项,若C为焦点在x轴上的双曲线,则,解得,
双曲线C的离心率为,
且双曲线的离心率,故D正确.
故选:BCD.
10．答案：ABD
解析：数列中,由,得,
则数列是首项为,公比为的等比数列,因此,即,
对于A,,A正确;
对于B,,,,,即,,成等差数列,B正确;
对于C,假定连续三项,,成等比数列,则,
整理得,此方程无解,即中不存在连续三项成等比数列,C错误;
对于D,,则,
两式相减得,
因此,D正确.
故选:ABD
11．答案：ACD
解析：因为,所以为正三角形,且点P在以为直径的圆上,
所以,即,故A正确.
不妨设,
则C的离心率为,故B错误.
,故C正确.
设的内切圆半径为r,则,,,
,
,所以,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：①③（答案不唯一）
解析：若要得到抛物线的方程为,则焦点一定在x轴上,故①必选,②不选.
若选①③,由抛物线的定义可知,得,则抛物线的方程为.
若选①⑤,设焦点,,,,
由,得解得,故抛物线的方程为.
由④可知,故还可选择①④.
故答案为:①③（答案不唯一）
13．答案：
解析：因为,且,所以,
所以数列为等比数列,则数列,
所以,
因为,
又因为,所以当或时,取最大值55,
所以
故答案为:
14．答案：
解析：设另一个焦点,连接,,,设,则,
再根据双曲线的定义可知:,,
由双曲线的对称性可知,O是的中点,O也是的中点,
所以四边形是平行四边形,又因为,所以可得,
所以由勾股定理得:,
化简得:,
再由勾股定理得:,
代入得:,
故答案为:.
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题设,又,
所以,则.
（2）由右焦点为,则,
联立双曲线方程,得,整理得,
显然,则,,
所以.
16．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设等比数列的公比为q,则,
化简可得,整理可得,
由,则,由方程解得,
由,则.
由数列是以为首项,以4为公比的等比数列,则.
（2）由,则,,
由数列是以为首项,以1为公差的等差数列,
则.
17．答案：（1）;
（2）存在,;
（3）22
解析：（1）当时,直线为,故,
由圆的圆心为原点且半径为,则圆心到距离为,
所以.
（2）假设存在,当弦被点M平分时,点M是的中点,
连接,,则,故,又,即,
所以直线为,则.
（3）记点O到,的距离分别为,,有,
又,,
,
当且仅当时等号成立,
综上,的最大值为22.
18．答案：（1）;
（2）是,
（3）和
解析：（1）由题意可知椭圆的半焦距,
由两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形得,
,
故椭圆C的标准方程为.
（2）由已知得,
由图知,直线,的倾斜角互补,即直线的斜率与的斜率互为相反数,
可设直线的方程为,
代入,消去y得.
设,,
所以,可得,,
因直线PM的斜率与PN的斜率互为相反数,
所以在上式中以代替k,可得,
所以直线的斜率,
即直线的斜率为定值.
（3）由（1）已得,,可设直线的方程为:,
代入,整理得:,
则,即,
设,,则,
于是,,
点到直线的距离为,
则的面积为:
,
因,则,故当时,取得最大值,
此时直线的方程为,
即和.
19．答案：(1)为等方差数列，不是等方差数列，理由见解析;
(2)证明见解析;
(3)1622
解析：(1)因为常数)，
所以数列为等方差数列，1为公方差；
因为,,，
所以数列不是等方差数列.
(2)证明：因为是等差数列，设其公差为d，
则
又是等方差数列，
所以
故，
所以，
即，
所以，故是常数列.
（3）由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，
故，而，所以；
是首项为1，公比为3的等比数列，
而新数列中项(含前共有项，
令，结合，解得，
故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，
所以数列中前30项的和.