浙江省强基联盟2024-2025学年高一上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省强基联盟2024-2025学年高一上学期12月联考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知角，那么的终边在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．设命题P：，，则P的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
4．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．命题“，恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
6．设，，，则( )
A.B.C.D.
7．已知，且.若恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．若对任意的，恒成立，则的最大值为( )
A.32B.8C.35D.7
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
10．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是( )
A.
B.的解集为
C.
D.的解集为
11．已知函数，的定义域为R，且，，，则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知，则____.
13．幂函数，若在单调递增，则____.
14．函数，若，则的最小值为____.
四、解答题
15．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求，的值；
(2)求的值.
16．已知命题p：关于x的方程有实数根，命题q：.
(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
17．临近新年，车厘子、榴莲等高档水果受到人们青睐.老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动.据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为x元时，销售量为斤.现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即：供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：斤）成反比，比例系数为20.
(1)试将总利润y表示成关于x的函数；
(2)当每斤车厘子售价定为多少时，总利润最大，为多少？
18．已知对任意实数x，y，函数恒有，且当时，，.
(1)求的值，判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断并证明函数在R上的单调性，同时求出在区间上的最大值；
(3)若对所有的及，恒成立，求实数m的取值范围.
19．已知函数（）是定义在R上的奇函数.
(1)求k的值，并判断函数的单调性（不证明）；
(2)若，且在上有两个不同的零点，求m的取值范围.
20．已知集合，P为U的一个子集，记为集合P中的最大元素，为集合P中的最小元素，若U的子集Q满足以下三个条件：①；②；③，则称Q是P的一个“强集”.
(1)若，
(Ⅰ)写出P的一个“强集”；
(Ⅱ) P的“强集”个数.
(2)若P有“强集”，且P的“强集”都没有“强集”，求的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：集合，，
所以.
故选：B.
2．答案：B
解析：，所以与的终边相同，在第二象限.
故选:B.
3．答案：C
解析：命题p：，的否定是，.
故选：C.
4．答案：A
解析：因为
是开口向下、对称轴为的抛物线，且是增函数，
由复合函数的单调性判断可知，，解得，
故选：A.
5．答案：D
解析：因为，恒成立，
当时，，解得，不合题意；
当时，，解得，
所以，所以“，恒成立”的一个
充分不必要条件应为集合的真子集，
而是的真子集，
所以命题“，恒成立”的一个
充分不必要条件是.
故选：D.
6．答案：C
解析：，，，
所以.
故选：C
7．答案：D
解析：由，，得：，
（当且仅当，时取等号），
恒成立，，解得：，
即实数m的取值范围为.
故选：D.
8．答案：A
解析：，恒成立，
，直线夹在函数与之间，
直线刚好过点，即，
且直线与曲线相切，
有，.
由此得，，，
故选：A.
9．答案：ACD
解析：为单调递增函数，A显然成立；
，时，B显然不成立；
，两边同可得，C成立；
若，则，D成立.
故选：ACD.
10．答案：AD
解析：对A，的解集为或，
解得故选项A成立；
对B，可化为，即，
故的解集为，故选项B不成立；
对C，，故选项C不成立；
对D，可化为，即，
其解集为，故选项D成立.
故选：AD.
11．答案：BCD
解析：由，可得，
再代入，可得，
则，即，
因此对称中心为，因此C选项成立；
因为，则，B选项成立；
由，得，可得，
则，，
所以，则周期为2，，故A选项不成立；
而，，因此，D选项成立，
故选：BCD.
12．答案：-1
解析：因为，
所以.
故答案为：-1.
13．答案：2
解析：为幂函数，，因此，
又因在单调递增，所以.
故答案为：2
14．答案：
解析：函数的定义域为，
又，
则，因为，
所以，
所以，当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
15．答案：(1)，.
(2)3
解析：(1)由三角函数定义，得，.
(2)由诱导公式，得原式.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)命题p为真命题，p：关于x的方程有实数根，
则，解得，
故实数a的取值范围为.
(2)p：，q：.
p是q的必要不充分条件，则，解得.
故m的取值范围为.
17．答案：(1)（）.
(2)100元，1980元.
解析：(1)设每斤车厘子的售价定为x元时，总利润为y，
由得，
（）.
(2)总利润，
，
所以当售价元时，总利润y达到最大；
总利润元，
即每斤车厘子售价定为100元时，车厘子总利润最大，为1980元.
18．答案：(1)，奇函数，证明见解析;
(2)在R上是减函数，证明见解析;
(3)
解析：(1)令，则，
，
令，则，
，
，是奇函数.
(2)在R上是减函数，证明如下：
，，，则，
，
即，
在R上是减函数.
在上的最大值为，
在上的最大值为2.
(3)在上的最大值为2，
对所有的恒成立，
或，
实数m的取值范围是.
19．答案：(1)，在R上为增函数.
(2).
解析：(1)是定义在R上的奇函数，
，得，
经检验是定义在R上的奇函数符合题意.
因为，且，所以在R上为增函数.
(2)，，解得.
.
令，为增函数，
，，
令，因为函数要在上有两个不同的零点，
即函数要在上有两个不同的零点.
，.
综上所述，m的取值范围为.
20．答案：(1)(Ⅰ)；
(Ⅱ)
(2)1896.
解析：(1)由题意知，
(Ⅰ)P的一个强集可以为，注意答案不唯一.
(Ⅱ)①，强集有个.
②,，强集有个.
③,，强集有个.
④,,强集有个.
所以强集个数总数为.
(2)设,，
因为集合，P为U的一个子集，
所以,
因为P存在强集，则必有，
所以..
由基本不等式可得，
当且仅当，即时，取等号；
所以有最大值，而，
又因为n为整数，
所以当或者时，.
当时，,.
此时P的强集Q无强集，的最大值为1896.