江苏省常州市八校高一上学期12月联考数学试卷含答案解析

这是一份江苏省常州市八校高一上学期12月联考数学试卷含答案解析，共17页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 是的条件， 若，则角的终边在， 已知，，，则，，的大小关系为， 若函数则， 的增区间为等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 是的（ ）条件.
A. 充要条件B. 充分不必要
C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
3. 若，则角的终边在（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若函数则（ ）
A. B. 2C. D. -2
6. 的增区间为
A. B. C. D.
7. 若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于
A. 4B. 5C. 6D. 12
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. （多选）下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（ ）
A. 有最小值B. 有最小值
C. 有最小值4D. 有最小值
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若幂函数的图象经过点，则解析式为
B. 若函数，则在区间上单调递减
C. 幂函数（）始终经过点和
D. 若函数，则对于任意的，有
12. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义城上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A. B. C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数定义域为___________.
14. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为___________.
15. 已知，则的最小值为___________.
16. 设函数，若有不相等实数、、满足，则的取值范围是_______.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 记函数定义域为集合，函数的值域为.求：
（1），；
（2），.
18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）当时，求函数的解析式；
（2）用定义证明函数在区间上是单调增函数.
19. 已知函数.
（1）若时，求满足的实数的值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
20. 某种出口产品的关税税率为，市场价格(单位：千元)与市场供应量(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中均为常数.当关税税率时，若市场价格为千元，则市场供应量约为万件；若市场价格为千元，则市场供应量约为万件.
（1）试确定的值.
（2）市场需求量(单位：万件)与市场价格(单位：千元)近似满足关系式：，当时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过千元时，试确定关税税率的最大值.
21. 已知函数f(x)＝lg2.
（1）若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；
（3）若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
22. 已知函数， .
（1）证明：为偶函数；
（2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围；
（3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
2021-2022学年第一学期八校高一年级联合调研数学试卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】由集合，，
得：，
故选：B
2. 是的（ ）条件.
A. 充要条件B. 充分不必要
C 必要不充分D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】举特例可说明，推不出，但成立时，一定有成立，由此可判断答案.
【详解】取 ，满足，但推不出，
反之，成立时，一定有成立，
故是的必要不充分条件，
故选：C
3. 若，则角的终边在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】判断所处的范围，即可得答案.
【详解】由于，
故角的终边在第一象限，
故选：A
4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据幂函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，从而得到答案.
【详解】，，
，，
，，
故选：B
5. 若函数则（ ）
A. B. 2C. D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】
直接代入数据计算得到答案.
【详解】，.
故选：.
【点睛】本题考查了分段函数值的计算，意在考查学生的计算能力.
6. 的增区间为
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解定义域，然后结合二次函数的对称轴判断增区间.
【详解】因为，所以；
又因为的对称轴为：，且，所以增区间为，
故选D.
【点睛】本题考查复合函数的单调性，难度一般.对于复合函数的单调性问题，在利用“同增异减”的方法判断的同时也要注意到定义域问题.
7. 若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析出函数在区间和上的单调性，由偶函数的性质得出，分和，解不等式组和，即可得出的取值范围.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，所以.
①当时，若，可得，则，可得；
若，可得，则，可得；
②当时，若，可得，则，可得；
若，可得，则，可得.
综上所述，的取值范围为.
故选：C.
【点睛】本题考查函数的性质及不等式的解法，考查化归与转化的数学思想，属于中等题.
8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于
A. 4B. 5C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】由题可知函数的图像关于对称，求出时函数的解析式，然后由韦达定理求解．
【详解】因为奇函数，所以图像关于对称，
所以函数的图像关于对称，即
当时，，
所以当时，
当时，可得
当时，可得
所以的所有根之和为
故选A
【点睛】本题考查函数的奇偶性以及求函数的解析式，解题的关键是得出函数的图像关于对称，属于一般题．
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. （多选）下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据根式运算法则、根式与分数指数幂的运算、指数运算和对数运算法则依次判断各个选项可求得结果.
【详解】，错误；，正确；
，正确；
，正确.
故选
【点睛】本题考查根式、指数幂运算、对数运算法则的应用，属于基础题.
10. 若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（ ）
A. 有最小值B. 有最小值
C. 有最小值4D. 有最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据，得到，求出，由此求出，，，从而可得答案.
【详解】因为正实数a，b满足，所以，，所以，故无最小值，A错误；
，故，即无最小值，故B错误；
，故有最小值4，C说法正确；
，所以有最小值，故D错误，
故选：ABD.
【点睛】本题考查了判断命题的真假，考查了函数的最值，考查了二次函数求值域，属于基础题.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若幂函数的图象经过点，则解析式为
B. 若函数，则在区间上单调递减
C. 幂函数（）始终经过点和
D. 若函数，则对于任意的，有
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据幂函数的解析式，单调性依次判断每个选项得到答案.
【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，故错误；
函数是偶函数且在上单调递减，故在单调递增，错误；
幂函数（）始终经过点和，正确；
任意的，，要证，即，
即，即，易知成立，故正确；
故选：.
【点睛】本题考查了幂函数，意在考查学生对于幂函数性质的综合应用.
12. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义城上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】满足①，是奇函数，满足②，在定义域内是减函数，问题转化为判断以下函数是否满足这两个性质.
【详解】对于①对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数；
对于②对于定义域内的任意，，当时，恒有，
在定义域内是减函数；
对于A：，，，故不是奇函数，所以不是“理想函数”；
对于 B：是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；
对于C：是奇函数，并且在R上是减函数，所以是“理想函数”；
对于D：，，
所以是奇函数；
根据二次函数的单调性，在，都是减函数，
且在处连续，所以在上减函数，
所以是“理想函数”.
故选：BCD.
【点睛】本题以新定义为背景，考查函数性质的判定，对于常用函数的单调性和奇偶性要熟练掌握，判定时可以对函数解析进行化简，以减少计算量.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.
【详解】函数需满足 ，
解得 且 ，
故函数的定义域为，
故答案为：
14. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式 ，直接求得答案.
【详解】扇形的半径为，圆心角为，
故扇形的面积（），
故答案为：
15. 已知，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的运算性质得到，利用基本不等式求出的最小值.
【详解】因为对数有意义，所以x>0,y>0.
由，可得：，即，当等号成立
解得：（舍去）.
所以的最小值为4.
故答案为：4.
16. 设函数，若有不相等的实数、、满足，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，设，令，求得的取值范围，可得出关于的表达式，进而可求得的取值范围.
【详解】作出函数的图象如下图所示：
当时，，则，此时，.
设，令，由图象可知，
由，可得；
由，可得；
由，可得，.
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的零点求代数式的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 记函数的定义域为集合，函数的值域为.求：
（1），；
（2），.
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据函数的解析式结合对数函数的性质，可求得集合 ，利用指数函数的单调性，可求得集合；
（2）根据集合的交集以及并集运算，可求得答案.
【小问1详解】
由函数可得 ，
即 ，故，
由函数 可得 ，
即；
【小问2详解】
由（1）可知：，
.
18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）当时，求函数的解析式；
（2）用定义证明函数在区间上是单调增函数.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设时，则，然后根据已知解析式和偶函数的性质可求出结果，
（2）在上任取，且，然后作差比较的大小即可得结论
【小问1详解】
设时，则，
由题意得：，
又因为是上的偶函数，
所以，
得
【小问2详解】
证明：在上任取，且，则，，
所以，
所以，
所以函数在区间上是单调增函数.
19. 已知函数.
（1）若时，求满足的实数的值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，，令，则，解得或（舍），再回代解方程即可;
（2）将原问题转化为存在，使得，只需求出函数的最小值即可，再利用换元法求的最小值.
【小问1详解】
由题意可得
令，则
解得或（舍去）
此时：
【小问2详解】
由，得
令，由得
令，
可得在上单调递增，可得
所以
综上：的取值范围为
20. 某种出口产品的关税税率为，市场价格(单位：千元)与市场供应量(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中均为常数.当关税税率时，若市场价格为千元，则市场供应量约为万件；若市场价格为千元，则市场供应量约为万件.
（1）试确定的值.
（2）市场需求量(单位：万件)与市场价格(单位：千元)近似满足关系式：，当时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过千元时，试确定关税税率的最大值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）将关税税率，市场价格代入中，列出关于与的方程组求解；
（2）利用，将表示成关于的函数，然后确定的最大值.
【详解】(1)由已知得：
，得
解得，.
(2)当时，，
所以，则.
设，则在上单调递减，
所以当时，有最小值，
故当时，关税税率的最大值为.
【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查学生分析问题、处理问题的能力，数学建模的能力，难度一般.解答时，要灵活运用题目所给条件，建立函数模型然后求解.
21. 已知函数f(x)＝lg2.
（1）若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；
（3）若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
【答案】（1）a＝0；（2）a≥0；（3）－0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，
故只要a≥0即可．
（3）由已知，得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝lg2(1＋a)，
最小值是f（1）＝lg2.
由题设，得lg2(1＋a)－lg2≥2⇒，解得－