初中人教版（2024）24.3 正多边形和圆课后测评

这是一份初中人教版（2024）24.3 正多边形和圆课后测评，共16页。试卷主要包含了正多边形，正多边形的中心，正多边形的边心距，正多边形的中心角，正多边形中各元素间的关系，与圆有关的面积和长度计算等内容，欢迎下载使用。

1.正多边形：各边、各角都相等的多边形．
2.正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心；正多边形的半径：正多边形外接圆的半径．
3.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离．
4.正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角．
图1 图2 图3
5.正多边形中各元素间的关系：
1）如图2，设正多边形的边长为，半径为R，边心距为，中心角为；则有：.
2）正多边形的一些关系： = 1 \* GB3 ①正n边形的中心角； = 2 \* GB3 ②正n边形的周长； = 3 \* GB3 ③正n边形的面积.
6.与圆有关的面积和长度计算：设的半径为，圆心角所对弧长为，
弧长公式： 扇形面积公式： 圆柱体表面积公式：
扇形与圆锥的关系：如图3. 圆锥体表面积公式：(为母线)
常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法
1．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．3B．5C．8D．10
【答案】C
【解析】这个多边形的边数是，故选C．
2．如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，连接，，
，，是等边三角形，，
，，.故选．
3．如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，连接，与相切，，
正五边形内接于，，
，，故选B．
4．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）．
乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）．对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都不对B．甲对，乙不对C．两人都对D．甲不对，乙对
【答案】C
【解析】由甲同学的作业可知，，同理可知，
六边形是正六边形，即甲同学的作业正确．
由乙同学的作业可知．依次画弧可得．
六边形为正六边形，即乙同学的作业正确．故选C.
5．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，连接、.
∵、切圆于，∴，，
又∵，，∴，故．
又为等边三角形，，，，
，∴，∴内切圆半径、外接圆半径和高的比是．故选．
6．如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，连接，，是直径，，
，，的度数为，，
．故选B．
7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意得：这个几何体为圆锥，
如图，过点作于点，
根据题意得：，，，
∴，∴，即圆锥的母线长为，
∴这个几何体的侧面积是．故选B.
8．如图，边长为6的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，过点作，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】如图，过点作于点，于点．
点是正方形的中心，，，，
，，即，
，，即，
，，，
，．故填．
9．如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
(1)求阴影部分面积；
(2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【解析】（1）如图，连接，
∵，∴是圆O的直径，∴点A、O、B三点共线，∴，
又∵，∴，
∵圆的直径为2，则，故．∴；
（2）解：的长，则，解得．
故该圆锥的底面圆的半径是．
10．如图，在的内接正八边形中，，连接．
(1)求证；
(2)的长为 ．
【解析】（1）如图，连接，正八边形，
∴，
，，，∴．
（2）∵，同理可证：，，
∴四边形为等腰梯形，，作，，
∵，，
在中，，，，同理可得，
∵，，，∴四边形是矩形，
，．

11．如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（ ）

A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】连接，如图所示，
由正六边形的对称性可知：，
，
∴是全等的等边三角形，∴四边形是菱形，
，同理，，
∵，∴，
∵点是边的中点，∴，∵，∴，
.故选B.
12．如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，，，，，在圆上．若两个小正六边形的边长均为2，则大正六边形的边长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，在小正六边形中，，则，
在大正六边形中，，，
过G作于点H，，在中，，，
，，设，则，，，
由于，，解得（舍去）或，
即，故选A．
13．如图，点O是半圆的圆心，是半圆的直径，点在半圆上，且，，，则过点D作于点C，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
∵，∴是等边三角形，∴，
∵，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵与与是等底等高的三角形，
∴．故选B．
14．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．

(1)若，则正方形的面积为 ；
(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16.
①求的值；
②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．
【解析】（1）如图，连接，四边形是正方形，，

，解得：，
正方形的边长为4，正方形的面积为16．
（2）①连接，，
四边形是正方形，且其面积为16，，
设，则，在中，，
在中，，，
解得（舍），．
②连接，，，，且，
，，
又，，共线，
，．
15．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数；
(2)是正三角形吗？请说明理由；
(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【解析】（1）∵正五边形．∴，
∴，
∵，∴(优弧所对圆心角)，
∴.
（2）是正三角形，理由如下：连接，
由作图知：,∵，∴，∴是正三角形，
∴，∴，同理，
∴，即，∴是正三角形；
（3）∵是正三角形，∴．
∵，∴，
∵，∴，∴．
16．将既有外接圆又有内切圆的多边形定义为双心多边形．例如，三角形既有外接圆也有内切圆，所以三角形是双心多边形．下列图形中：①正方形；②长方形；③正五边形；④六边形．其中是双心多边形的有（ ）
A．①②④B．①③C．①④D．②③④
【答案】B
【解析】①正方形既有外接圆又有内切圆是双心多边形；
②长方形一定有外接圆，没有内切圆所以不是双心多边形；
③正五边形既有外接圆又有内切圆是双心多边形；
④六边形不一定是双心多边形，正六边形有外接圆又有内切圆，非正六边形没有内切圆.故选B.
17．请阅读下列材料，解答问题：
如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ．
【答案】
【解析】如图，连接AD，AC，
∵五边形ABCDE是正五边形，则∠E=∠ABC=∠BCD，AB=BC=CD=2，
∴AD=AC=BD，设BD=x，∵ACBD=ABCD+ADBC，即x2=2×2+2x，
解得x1=1+，x2=1−（舍去），∴BD=1+．故答案为．
18．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；
(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
【解析】（1）由题意得，，故答案为.
（2）设正方形的边长为1，∴此时正方形的内切圆半径为，∴；
设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则，
又∵，∴是等边三角形，∴，
∴，∴；
（3），随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1．
19．（2023年江苏无锡中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题；
正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；
正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；
根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题.故选C．
20．（2023年湖南娄底中考真题）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，连接，标注直线与圆的交点，
由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，
∴，，∴，
∴扇形与扇形重合，∴，
∵为等边三角形，，过作于，
∴，，，
∴.故选C.
21．（2023年山东滨州中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等.
如图，连接，则，是等边三角形，
∴，弓形的面积相等，
∴阴影的面积＝扇形的面积，
∴图中三个阴影部分的面积之和.故选C.
22．（2023年湖北十堰中考真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【解析】连接，如图所示，
∵为底面圆的直径，，设半径为r,∴底面周长，
设圆锥的侧面展开后的圆心角为，∵圆锥母线，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：，解得：，∴，
∵半径，∴是等边三角形，在中，，
∴蚂蚁爬行的最短路程为，故选B．
23．（2023年山东潍坊中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【解析】（1）如图，连接，
∵，则，∴，

∵正方形，∴，，
∴，∴，
∵，∴．
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
∵O为正方形中心，∴，，而，
∴，，
∵，∴，∴，，
∵，∴，
∴，而，∴，
∴，∴，，而正方形的边长，
∴，解得：，∴，
∵，，，∴，
∴，而，∴．克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．
托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．