初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数巩固练习

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数巩固练习，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．将一元二次方程化成一般形式正确的是
A．B．C．D．
【分析】一元二次方程的一般式为（其中、、是常数且，据此求解即可．
【解答】解：
即，
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握其一般形式．
2．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是中心对称图形，故此选项符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
3．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，
将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
4．用配方法将二次函数化为的形式为
A．B．C．D．
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
5．已知，是方程的两个实数根，则式子的值为
A．3B．C．D．1
【分析】由题意知，，，将转化为代值即可得出结论．
【解答】解：，是方程的两个实数根，
，，，
，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解本题的关键．
6．在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为 ，那么满足的方程是
A．B．
C．D．
【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为；则运用面积公式列方程即可．
【解答】解：挂图长为，宽为，
所以根据矩形的面积公式可得：．
故选：．
【点评】此题是一元二次方程的应用，解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积矩形的长矩形的宽．
7．如图，中，，，将线段绕点旋转至，当时，的度数是
A．B．C．或D．或
【分析】分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和旋转的性质可求解．
【解答】解：如图，当点在点左侧时，
，，
，
，
，
将线段绕点旋转至，
，
，
当点在点右侧时，同理可得，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据圆周角定理和已知条件求出，根据圆内接四边形的性质得出，再求出答案即可．
【解答】解：，
（圆周角定理），
四边形是的内接四边形，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：①圆内接四边形的对角互补，②一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
9．如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】先求出，再利用正方形的性质确定点坐标，由于，所以第2023次旋转结束时，点应该在第三象限，由此确定点坐标即可．
【解答】解：，，
，
四边形为正方形，
，
；
，
每4次一个循环，第2023次旋转结束时，点应该在第三象限，
点的坐标为．
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转以及规律型：点的坐标坐标，解答本题的关键是找出点坐标变化的规律．
10．如图，平行四边形中，，，，连接，将绕点旋转，当（即与交于一点，（即同时与交于一点时，下列结论正确的是
①，②，③，④的周长的最小值是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题意可证，可判断①②③，由的周长，则当最小时的周长最小，根据垂线段最短，可得时，最小，即最小，即可求此时周长最小值．
【解答】解：，，
，为等边三角形，
，
将绕点旋转到△位置，
，，，
，
，，，
，
故①正确，③错误；
，，
，
故②正确，
的周长，
当最小时，的周长最小．
，，
是等边三角形，
，
当时，长度最小，即长度最小，
，，，
，
，，
，
的周长最小值为，
故④正确，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是灵活运用这些性质解决问题．
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）
11．点关于原点的对称点的坐标为 ．
【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案．
【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
所以：点关于原点的对称点的坐标为．
故答案为：．
【点评】考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，则比赛组织者应邀请 5 个队参赛．
【分析】设比赛组织者应邀请个队参赛，根据共赛场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（舍去）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为 米．（结果可带根号）
【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线解析式为，
把和代入得，
，
解得，
抛物线解析式为，
把代入得：，
则水面的宽度是米．
故答案为：．
【点评】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
14．如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，其中米，为中点，为月亮门最高点，圆心在线段上，米，月亮门所在圆半径的长为 1.5 米．
【分析】如图，连接．设米．利用垂径定理勾股定理构建方程求解．
【解答】解：如图，连接．设米．
，经过圆心，
（米，
在中，则有，
解得．
故答案为：1.5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解．
15．已知抛物线与轴交于两点，在的左侧），抛物线与轴交于两点，在的左侧），且．下列四个结论：①与交点为；②；③；④，两点关于对称．其中正确的结论是 ①②④ （填写序号）
【分析】解析式联立解方程即可判断①；由抛物线与抛物线的开口方向和大小相同，且，则两抛物线的关于直线对称，即可判断②④；由题意可知，，或，，故不一定成立，即可判断③．
【解答】解：令，解得，
把代入得，，
与交点为，故①正确；
抛物线与抛物线的开口方向和大小相同，且，
两抛物线的关于直线对称，
，两点关于对称，故④正确；
，
，故②正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，与交点为，
，或，，
不一定成立，故③错误．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，数形结合是解题的关键．
16．已知抛物线与直线相交于点，（点在点右侧），且．
（1）的值是 2 ．
（2）直线与抛物线相交于点，与直线相交于点，．若随的增大而增大，则的取值范围是 ．
【分析】（1）设抛物线与直线相交于点，，，，则，是方程的两个实数根，由，得，即，可解得；
（2）利用函数的解析式用表示出点，的坐标，进而求得线段，利用配方法结合函数的图象即可列出关于的不等式，解不等式则结论可得．
【解答】解：（1）设抛物线与直线相交于点，，，，则，是方程的两个实数根，
，，
，
，
，
即，
解得，
的值为2；
故答案为：2；
（2），
抛物线为，
直线与抛物线相交于点，与直线相交于点，
，，
当时，随的增大而增大，
，
，
当时，的值随的增大而增大，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线上点的坐标的特征，二次函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．已知关于的一元二次方程：的一个根是1，求的值及该方程的另一根．
【分析】把代入原方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值；根据两根之和求解可得方程的另一根．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程的一个根是1，
，
解得；
（2）设方程的另一个根为，
则，
解得：．
故方程的另一根为．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理与一元二次方程的解的定义．
18．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处，连接交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）取中点，连接，求证：；
【分析】（1）根据旋转的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（2）过点作的垂线，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，
，
，
又，
，
，
平分；
（2）过点作的垂线，如图：
平分，，，
，
，
，，，
，
，即点是中点，
又点是中点，
．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题：
（1）写出方程的解为 ， ；
（2）当时，直接写出的取值范围为 ；
（3）方程有实数根，的取值范围是 ；
（4）当时，直接写出的取值范围是 ．
【分析】（1）解方程即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）抛物线的顶点为：，则方程有实数根，的取值范围是，即可求解；
（4）当时，当时，取得最小值，在顶点处取得最小值，即可求解．
【解答】解：（1）解：得：或1，
故答案为：，1；
（2）从图象看，当时，直接写出的取值范围为：，
故答案为：；
（3），即抛物线的顶点为：，则方程有实数根，的取值范围是，
故答案为：；
（4）当时，，抛物线顶点的纵坐标为4，
则当时，直接写出的取值范围是：，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
20．如图1，，，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作半径，垂足为，连接，若，，求的长．
【分析】（1）由圆周角定理推出，，而，即可证明；
（2）由垂径定理推出，，得到，因此，而，得到，由圆心角、弧、弦的关系推出，由勾股定理求出，得到，由勾股定理求出．，得到．
【解答】（1）证明：，，，
；
（2）解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理得到，；由垂径定理，圆周角定理推出，得到．
21．某酒店有、两种客房，其中种24间，种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．
（1）求、两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？
【分析】（1）依据题意，设种客房每间定价是元，种客房每间定价是元，进而建立方程组，计算即可得解；
（2）依据题意，设种客房每间定价为元，从而可得，再结合二次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：（1）设种客房每间定价是元，种客房每间定价是元，
．
．
答：、两种客房每间定价分别是200元、120元．
（2）由题意，设种客房每间定价为元，
．
，
当时，取最大值，最大值为4840．
答：当种客房每间定价为220元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为4840元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
22．千姿百态的桥
问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计．
“型”
（1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为 4 ；
“型”
（2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值；
“型”
（3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为 ．
【分析】（1）圆内最大弦为圆的直径，当和均为直径时的最大，即可解答；
（2）分析出当为等腰直角三角形，的最大值，计算解答即可；
（3）连接，根据勾股定理列出算式，计算△，判断最值，计算解答即可．
【解答】解：（1）如图①，
圆内最大弦为圆的直径，
当和均为直径时的最大，
圆的半径为，
最大值为，故答案为：4；
（2）如图②
设，，
在中，
，
，
，
，
当最大时，最大，
，
，
当最大时，最大，
当以为底时，点位于中点处时，最大，
此时为等腰直角三角形，
，
的最大值为；
（3）如图③，
连接，
，
，
设，
，
在中，
，
，即，
△，
，
，
的最大值为，
，
的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的综合，熟练掌握圆的相关概念并能灵活的应用时本题的解题关键．
23．（1）【问题背景】如图1，在中，，，，为边上的点，且，绕点顺时针旋转得到，连接，直接写出与的数量关系： ；
（2）【类比探究】如图2，在中，，，、均为边上的点，且，，，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，是正方形内一点，，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时 ．
【分析】（1）把绕点顺时针旋转，得到，证，得；
（2）先证是等边三角形，得，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，再证，得，过点作，交的延长线于点，然后由含角的直角三角形的性质得，则，即可解决问题；
（3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接、、，则，由，得取最小值时，点在上，再由旋转的性质得，，然后证，得，设的长为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1），理由如下：
，把绕点顺时针旋转，得到，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
故答案为：；
（2），，
是等边三角形，
，，
将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图2所示：
则，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
；
（3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接、、，如图3所示：
则，
，
取最小值时，点在上，如图4所示：
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设的长为，
则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
当取最小值时的长为．
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为，直线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作轴交抛物线于点，过线段上方的抛物线上一动点作交线段于点，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标；
（3）点是在直线上方的抛物线上一动点，点是坐标平面内一动点，是否存在动点，，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点，点代入中，即可求解析式；
（2）求出的直线解析式为，设，则，所以，即可求面积的最大值；
（3）设，①当时，根据构建方程求解；②当时，，可求点横坐标．
【解答】解：（1）将点，点代入中，
则有，
，
；
（2），
对称轴为，
轴，
，
，
点，点，
的直线解析式为，
设，
交线段于点，
，
，
当时，四边形的面积最大，最大值为；
此时，；
（3）设，
①当时，设的中点为，，
则有，
，
整理得，
或3或，
在第一象限，
点横坐标为；
②当时，．
点横坐标为1；
综上所述：点横坐标为或1．