数学24.1.1 圆课后练习题

这是一份数学24.1.1 圆课后练习题，共59页。
【题型01 ：垂径定理及应用】
【题型02 ：点与圆的位置关系的判定】
【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】
【题型04：切线判定与性质综合】
【题型05 ：圆周角定理】
【题型06：圆内接四边形】
【题型07：三角形的内切圆】
【题型08：三角形的外接圆】
【题型09 ：正多边形与圆的综合】
【题型10 ：弧长和扇形的面积】
【题型11 ：圆锥的侧面积】
【题型12 ：不规则图形的阴影面积】
【题型01 ：垂径定理及应用】
1．如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧AB（AB所在圆的圆心为O），弓弦部分AB的长为4dm，点D是弓臂AB的中点，OD交AB于点C，D、C两点之间的距离为1dm，则弓臂AB所在圆的半径为（ ）

A．2dmB．2.5dmC．3dmD．4dm
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，垂径定理等．根据题意设弓臂AB所在圆的半径为r，在△AOC中应用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：∵弓弦部分AB的长为4dm，点D是弓臂AB的中点，
∴OD⊥AB，AC=BC=2dm，
设弓臂AB所在圆的半径为r，
∵D、C两点之间的距离为1dm，
∴OC=(r−1)dm，
∴在△AOC中：(r−1)2+22=r2，解得：r=52，
∴弓臂AB所在圆的半径为2.5dm，
故选：B．
2．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AB=CD=7 cm，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，BD=14 cm，⊙O的半径r=9 cm，则圆盘离桌面BD最近的距离是（ ）
A．42 cmB．9−42cmC．42−2cmD．2 cm
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接OA、AC，过点O作OE⊥BD，交BD于点E，交AC于点F，交⊙O于点G，易得四边形ABDC、四边形ABEF均为矩形，由垂径定理可得AF=7cm，在Rt△AOF中，由勾股定理可解得OF的长度，进而可计算OE的长度，然后计算圆盘离桌面BD最近的距离即可．
【详解】解：连接OA、AC，过点O作OE⊥BD，交BD于点E，交AC于点F，交⊙O于点G，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴AB∥CD，
∵AB=CD=7 cm，
∴四边形ABDC为平行四边形，
又∵AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∴四边形ABDC为矩形，
∴AC∥BD，∠CAB=∠ABD=90°，AC=BD=14 cm，
∵OE⊥BD，
∴OE⊥AC，
∴AF=CF=12AC=7cm，
由∵OA=OG=r=9cm，
∴在Rt△AOF中，OF=OA2−AF2=92−72=42cm，
∵OE⊥BD，
∴∠BEF=∠CAB=∠ABD=90°，
∴四边形ABEF为矩形，
∴FE=AB=7cm，
∴OE=OF+FE=42+7cm，
∴GE=OE−OG=42+7−9=42−2cm，
即圆盘离桌面BD最近的距离是42−2cm．
故选：C．
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm，其中水面高度CD是8cm．那么水面宽度AB是（ ）

A．12cmB．18cmC．24cmD．26cm
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接OA，由勾股定理求出AD，再利用垂径定理即可求解，利用勾股定理求出AD是解题的关键．
【详解】解：连接OA，

∵OC⊥AB，
∴AB=2AD，∠ADO=90°，
∵CD=8cm，OA=OC=13cm，
∴OD=13−8=5cm，
∴AD=OA2−OD2=132−52=12cm，
∴AB=2AD=24cm，
故选：C．
4．如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水平面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为8米、圆O半径长为5米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．2米B．3米C．4米D．5米
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理的应用，连接OC，交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD=12AB=4米，根据勾股定理求得OD，再利用线段和差即可求解，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
【详解】如图，连接OC，交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴AC⊥AB，
∴AD=12AB=4（米），
在Rt△OAD中，
OD=OA2−AD2=52−42=3（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD=OC−OD=5−3=2（米），
故选：A．
5．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若AB=8,CD=2，则OD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，根据垂径定理，设OB=x，OD=x−2，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵OC⊥AB
∴AD=BD
∵AB=8
∴BD= 12 AB=4
∵CD=2
设OB=x，OD=x−2
由勾股定理得，
OB2=BD2+OD2即，x2=42+x−22
解得：x=5
∴OD=5−2=3
故选：A．
6．如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则⊙O的半径为（ ）
A．8.5B．7.5C．7D．8
【答案】A
【分析】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
连接OA，根据垂径定理求出AD，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：连接OA，
∵AB⊥OC，AB=8，
∴AD=12AB=4，
设⊙O的半径为x，则OD=x−1，
由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，
即x2=16+x−12，
解得，x=172=8.5，
⊙O的半径为8.5．
故选A．
7．如图，圆弧形桥拱的跨度AB为24米，拱桥所在圆的半径为13米，则拱高CD为（ ）
A．2米B．4米C．8米D．10米
【答案】C
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，根据题意，CD⊥AB，OC=OB=13m，在Rt△BOD中运用勾股定理可求出OD的值，由CD=OC−OD即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，AB⊥CD，
∴AD=BD≡12AB=12×24=12m，且OC=OB=13m，
设CD=xm，则OD=OC−CD=13−xm，
在Rt△BOD中，BO2=OD2+BD2，
∴132=13−x2+122，解得，x=8，负值舍去，
∴CD=8m，
故选：C．
8．《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，OD为⊙O的半径，弦AB⊥OD，垂足为C，CD=1寸，AB=1尺(1尺=10寸)，则此圆材的直径长是 寸．
【答案】26
【分析】连接AO，依题意，得出AC=5，设半径为r，则AO=r，在Rt△AOC中，AO2=AC2+CO2，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AO，
∵CD=1，AB=10，AB⊥OD，OD为⊙O的半径，
∴AC=5，
设半径为r，则AO=r，
在Rt△AOC中，AO2=AC2+CO2，
∴r2=52+r−12，
解得：r=13，
∴直径为26，
故答案为：26．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
9．如图1是博物馆展出的战国时期车轮实物，《周礼·考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，为验证博物馆展出车轮类型，我们可以通过计算车轮的半径推断．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，经测量，AB=120cm，CD=30cm，则此车轮半径为 cm．通过单位换算（在战国时期，一尺大约是23cm左右），得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
【答案】75
【分析】由垂径定理得AD=60cm，利用勾股定理得r2=602+(r−30)2，解得．
【详解】解：∵OC⊥AB，AB=120cm，
∴AD=12AB=60(cm)，
由题意得：OD=(r−30)cm，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：r2=602+(r−30)2，
解得：r=75，
即车轮半径为75cm．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
10．“两龙“高速公路是某省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽为8米，净高CD为8米，求此隧道单心圆的半径OA．
【答案】半径OA的长度是5米
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，根据垂径定理，CD平分AB，则AD=BD=4，在Rt△AOD中，有OA2=AD2+OD2，进而可求得半径OA．
【详解】解：∵CD为高，
∴根据垂径定理：CD平分AB，
又∵路面AB宽为8米，
则有：AD=4米．
设圆的半径是x米，则OD=CD−x，
在Rt△AOD中，有OA2=AD2+OD2，
即：x2=42+8−x2，
解得：x=5，
即此隧道单心圆的半径OA的长度是5米．
11．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，AB为16米，拱高CN为4米．
(1)求桥拱的半径；
(2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度DE为12米时，求水面涨高了多少？
【答案】(1)桥拱的半径是10米；
(2)水面涨高了2米．
【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．
（1）设桥拱的半径是r米，由垂径定理求出AN=12AB=8（米)，而ON=(r−4)米，由勾股定理得到r2=(r−4)2+82，求出r=10；
（2）由垂径定理求出DM的长，由勾股定理求出OM的长，即可求出MN的长．
【详解】（1）解：如图，半径OC⊥AB，OC⊥DE，
设桥拱的半径是r米，
∵OC⊥AB，
∴AN=12AB=12×16=8（米)，
∵拱高CN为4米，
∴ON=(r−4)米，
∵OA2=ON2+AN2，
∴r2=(r−4)2+82，
∴r=10，
∴桥拱的半径是10米；
（2）解：∵CO⊥DE，
∴DM=12DE=12×12=6（米)，
∴OM=OD2−DM2=102−62=8（米)，
∵ON=OC−CN=10−4=6（米)，
∴MN=8−6=2（米)，
∴水面涨高了2米．
【题型02 ：点与圆的位置关系的判定】
12．已知⊙O的半径为4cm，若PO=5cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆外B．点P在圆上C．点P在圆内D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点P到圆心O的距离与圆的半径大小比较即可求解，掌握点和圆的位置关系的判断方法是解题的关键．
【详解】解：∵⊙O的半径为4cm，PO=5cm，
∴d>r,
∴点P在圆外，
故选：A．
13．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，⊙O的半径为5，若点P的坐标为2,3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，点和圆的位置关系，先由勾股定理求得OP=13，得到OP