人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆同步训练题

这是一份人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆同步训练题，共29页。
【题型01：线圆最值问题】
【题型02 ：定弦定角】
【题型03：四点共圆】
【题型04：瓜豆原理】
【题型01：线圆最值问题】
1．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=10，点G是EF的中点，连结AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为（ ）
A．142B．96C．192D．124
【答案】A
【分析】本题考查矩形中的动点问题，连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，由四边形ABCD是矩形，得∠EBF=90°，又EF=10，点G是EF的中点，即得BG=12EF=5，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G′时，S△ACG最小，此时四边形AGCD面积最小，最小值即为四边形AG′CD的面积，根据AB=12=CD，BC=16=AD，可得AC=20，S△ACD=96，BH=AB⋅BCAC=485，可得G′H=BH−5=235，从而S△ACG′=12AC⋅G′H=46，得四边形AGCD面积的最小值是142．
【详解】解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EBF=90°，
∵EF=10，点G是EF的中点，
∴BG=12EF=12×10=5，
∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G′时，S△ACG最小，此时四边形AGCD面积最小，最小值即为四边形AG′CD的面积，
∵AB=12=CD，BC=16=AD，
∴AC=20，S△ACD=12×12×16=96，
∴BH=AB⋅BCAC=485，
∴G′H=BH−BG′=485−5=235，
∴S△ACG′=12AC⋅G′H=12×20×235=46，
∴S四边形AG'CD=S△ACD+S△ACG′=46+96=142，即四边形AGCD面积的最小值是142．
故选：A．
2．如图，抛物线y=14x2−4与x轴交于A、B两点，P是以点C0，3为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是 ．

【答案】72
【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接BC、BP，利用勾股定理可得BC=5，可知OQ是△ABP的中位线，则OQ=12BP，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，则此时OQ最大，求解即可．
【详解】解：如图，连接BC、BP，
令y=14x2−4=0，则x=±4，
故点B4，0，
∵C0，3，
∴BC=BO2+OC2=5，
设圆的半径为r，则r=2，

∵点Q、O分别为AP、AB的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
∴OQ=12BP，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，
则此时OQ最大，
此时OQ=12BP=12BC+r=12×5+2=72，
故答案为：72．
3．如图， ⊙O的半径为1， PT切⊙O于点 T， PT=5，则点P到⊙O的最小距离是 ．
【答案】6−1/−1+6
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据勾股定理求得PO的长，进而根据点到圆的最小距离为PO−1，即可求解．
【详解】解：∵PT切⊙O于点 T，
∴PT⊥OT，
在Rt△PTO中，PT=5，OT=1
∴PO=PT2+OT2=5+1=6
∴点P到⊙O的最小距离是6−1，
故答案为：6−1．
4．如图，在等边△ABC中，AB=8，以点B为圆心，半径为2作⊙B，点D是AC边上的一个动点，过点D作DE与⊙O相切于点E，则线段DE的最小值为
【答案】211
【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理、切线的性质定理、垂线段最短等知识，连接BD，BE，作BF⊥AC于点F，则∠BFA=90°．勾股定理求得DE，BD≥BF，且当BD的值最小时，DE的值最小，进而即可求解．
【详解】如图，连接BD，BE，作BF⊥AC于点F，则∠BFA=90°．
∵在等边△ABC中，AB=8，
∴ AC=8，
∴AF=CF=12AC=12×8=4，
∴BF=43．
∵DE与⊙O相切于点E，BE=2，
∴DE⊥BE，
∴ DE=BD2−BE2=BD2−22．
∵BD≥BF，且当BD的值最小时，DE的值最小，
∴当BD=BF=43时，DE最小为(43)2−22=211．
故答案为：211．
5．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为−3,4，⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是 ．
【答案】23
【分析】本题主要考查了切线的性质、坐标与图形、勾股定理、垂线段最短等知识，解题关键是将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．连接AB，AP，根据切线的性质定理可得AB⊥PB，要使PB最小，只需AP最小即可，根据垂线段最短，当AP⊥x轴时，AP取最小值，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接AB，AP，

根据切线的性质定理，得AB⊥PB．
要使PB最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，当AP⊥x轴于P时，AP取最小值，
此时P点的坐标是−3,0，AP=4，
在Rt△ABP中，AB=2，
∴PB=AP2−AB2=23，
则PB最小值是23．
故答案为：23．
6．如图，在直角坐标系中，A−6,0，D是OA上一点，B是y正半轴上一点，且OB=AD，DE⊥AB，垂足为E，则OE的最小值为 ．
【答案】35−3/−3+35
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
过点A作AF⊥x轴，交DE的延长线于点F，利用ASA判定出△FAD≌△AOB得到AF=OA=6，再根据∠AEF=90°推出E点的运动轨迹，取AF的中点M，连接OM，用勾股定理求出OM的长，即可求得最小值．
【详解】解：如图，过点A作AF⊥x轴，交DE的延长线于点F，
∵A−6,0，
∴OA=6．
∵DE⊥AB，AF⊥x轴，
∴∠ADE+∠OAB=90°，∠F+∠ADE=90°，
∴∠F=∠OAB，
又∵AD=OB，∠FAD=∠AOB=90°，
∴△FAD≌△AOB（ASA），
∴AF=OA=6，
∵∠AEF=90°，
∴点E在以AF为直径的圆上，
取AF的中点M，连接OM，
∴ME=AM=12AF=3，OM=AM2+AO2=32+62=35，
∴当点M、E、O三点共线时，有OE的最小值为OM−ME=35−3；
故答案为：35−3．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 ．
【答案】33
【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OE＝12AC＝1，推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．
【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．
∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝12AB＝2，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∵AO＝OC＝1，
∴OE＝12AC＝1，
∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，
∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，
∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，
∴FC＝FE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，
∴∠CAE＝∠FCE，
∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，
∴∠FEC＝∠EAT，
∴∠CAE＝∠EAT＝30°，
∵CF＝FE，OC＝OE，
∴OF⊥EC，
∵AD⊥CE，
∵OF∥AD，
∴∠COF＝∠CAD＝30°，
∴CF＝OC•tan30°＝33，
∴CF的最大值为33．
故答案为：33．
【点睛】本题主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．
【题型02 ：定弦定角】
8.（秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小，
∵OC＝＝＝2，
∴PC的最小值为2﹣4，
故选：C．
9．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=3cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是（ ）
A．1B．3C．2D．5
【答案】A
【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的CN上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】如图，
由题意知，∠AEC=90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的CN上（不含点C、可含点N)，
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
在RtΔBCM中，BC=3cm，CM=12AC=4cm，则BM=BC2+CM2=5cm．
∵ME′=MC=4cm，
∴BE长度的最小值BE′=BM−ME′=1cm，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
10．如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ．
【答案】5−1a2
【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明△ABE≌△BCFSAS，可证∠AGB=90°，则点G在以AB为直径的一段弧上运动，当点G在OC与弧的交点处时，CG最短，然后根据勾股定理求出OC的长即可求解．
【详解】解∶∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCF=90°，AB=BC=a，
∴在△ABE和△BCF中
AB=BC∠ABC=∠BCFBE=CF
∴△ABE≌△BCFSAS，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠AGB=90°，
∴点G在以AB为直径的一段弧上运动，
设AB的中点为O，则当点G在OC与弧的交点处时，CG最短，
∵AB=a，
∴OB=OG=a2，
∴OC=a22+a2=52a，
∴CG=OC−OG=5−1a2，
故答案为：5−1a2．
11.（广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABM＝60°，
∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，
∴BM＝CN，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠ABP+∠CBN＝60°，
∴∠ABP+∠BAM＝60°，
∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∴点P在弧AB上运动，
∴当＝时，△PAB的面积最大，最大值＝×2×1＝，
故选：D．
12（柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
【答案】1
【解答】解：∵CD＝AE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴OC＝AC÷cs30°＝2，OA＝OC＝1，
∴OP＝1，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥1，
∴PC的最小值为1．
13．如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP的最小值 ．
【答案】210−22
【分析】由题意可知，∠AGB=90°，可得∠APB=12∠AGB=45°，可知点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上，（要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在AB的右侧），设圆心为O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，可知△AOB为等腰直角三角形，求得OA=22AB=22=OP，AQ=OQ=22OA=2，QD=AD−AQ=6，OD=OQ2+QD2=210，再由三角形三边关系可得：DP≥OD−OP=210−22，当点P在线段OD上时去等号，即可求得DP的最小值．
【详解】解：∵B、G关于EF对称，
∴BH=GH，且EF⊥BG
∵E为AB中点，则EH为△ABG的中位线，
∴EH∥AG，
∴∠AGB=90°，
∵∠APB=12∠AGB，即∠APB=12∠AGB=45°，
∴点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上，（要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在AB的右侧）
设圆心为O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，
则OA=OB=OP，
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=90°，则△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=22AB=22=OP，
又∵E为AB中点，
∴OE⊥AB，OE=12AB=AE=BE，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=8，
∴四边形AEOQ是正方形，
∴AQ=OQ=22OA=2，QD=AD−AQ=6，
∴OD=OQ2+QD2=210，
由三角形三边关系可得：DP≥OD−OP=210−22，当点P在线段OD上时去等号，
∴DP的最小值为210−22，
故答案为：210−22．
【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB=12∠AGB=45°得知点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上是解决问题的关键．
14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠DAB=60∘，AD=CD=4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90∘，则△MBC面积的最小值为 ．
【答案】63−4
【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于点E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF，通过计算得出当O,M,E三点共线时，ME有最小值，求出最小值即可．
【详解】解：如图，
取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于点E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF，
∵ AB∥CD，∠DAB=60∘，AD=CD=4，
∴ ∠ADC=120°，
∵ AD=CD，
∴ ∠DAC=30°，
∴ ∠CAB=30°，
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°
∴∠B=90°−30°=60°，
∴ ∠B=∠DAB，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴ BC=AD=4，
∵ ∠AMD=90∘，AD=4，OA=OD，
∴ OM=12AD=2，
∴点M在以点O为圆心，2为半径的圆上，
∵ AB∥CD，
∴ ∠GCF=∠B=60°，
∴ ∠DGO=∠CGF=30°，
∵ OF⊥BC，AC⊥BC，
∴ ∠DOG=∠DAC=30°=∠DGO，
∴ DG=DO=2，
∴ OG=2OD⋅cs30°=23，GF=3，OF=33，
∴ ME≥OF−OM=33−2，
∴当O,M,E三点共线时，ME有最小值33−2，
∴ △MBC面积的最小值为=12×4×33−2=63−4．
【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M位置的确定是解题关键．
15．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ACB=90°,∠ABC=30°，连接OC，若⊙O的半径是4，则OC长的最小值为 ．
【答案】23−2/−2+23
【分析】延长BC交圆O于点D，连接DO,AD，过O点作OE⊥AD交于点E，则△AOD是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，AE为半径的圆上，则CO的最小值为EO−DE，再求解即可．
【详解】解：如图，延长BC交圆O于点D，连接DO,AD，过O点作OE⊥AD交于点E，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOD=60°，
∵AO=DO，
∴ΔAOD是等边三角形，
∵OA=4，
∴AD=4，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°，
∵EO⊥AD，
∴AE=DE，
∴点C在以E为圆心，AE为半径的圆上，
在Rt△DEQ中，DO=4,DE=2，
∴EO=23，
∴CO的最小值为23−2，
故答案为：23−2．
【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ．
【答案】35−3/−3+35
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=CD2+BC2=32+62=35，
∴BF=BD－DF=35−3，
故答案为：35−3．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
17．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ．
【答案】601−52
【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE的长，利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出EH的长，由BH=BE−EH即可算出BH的长度．
【详解】解：连接BD，取AD的中点E，连接BE，如下图：
∵DH⊥AC
∴点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值
∵AB是直径
∴∠BDA=90∘
在Rt△BDA中，AB=13，AD=5
由勾股定理得：BD2=AB2−AD2
即：BD2=169−25=144
∵BD>0
∴BD=12
∵E为AD的中点
∴DE=12AD=52
在Rt△BDE中，BD=12，DE=52
由勾股定理得：BE2=DE2+BD2
即：BE2=254+144=6014
∵BE>0
∴BE=6012
又∵DH⊥AC，且点E为AD的中点
∴EH=52
∴BH=BE−EH=6012−52=601−52
故答案为：601−52
【点睛】本题考查勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，隐圆问题的处理等相关知识点，能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关键．
18．【问题提出】
我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
【初步思考】
(1)如图1，AB是⊙O的弦，∠AOB=100°，点P1、P2分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则∠AP1B=______°，∠AP2B=______°．
(2)如图2，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB=mm