初中数学人教版（2024）九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆随堂练习题

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(1)求证：四边形是菱形；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；
（2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：连接，

和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，

四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积
，
图中阴影部分的面积为．
（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．
(1)求的度数；
(2)四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若，求的长．
【答案】(1)
(2)是菱形，证明见解析
(3)的长为．
【分析】（1）如图，连接，证明，而，可得，再结合等腰三角形的性质可得答案；
（2）先证明，即，而，求解，可得，证明，可得，再证明，可得，从而可得结论；
（3）如图，连接，，交于，证明为等边三角形，可得，证明，，求解，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，

∵线段与相切于点B，
∴，而，
∴，
∵，
∴；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵的中点为M，，
∴，即，而，
∴，
∴，
∵的中点为M，为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）如图，连接，，交于，

∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴的长为．
1．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
(1)求阴影部分面积；
(2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
2．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在中，经过两点的与边交于点，圆心在上，过点作交于点，连接交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）．
3．（2023上·江苏徐州·九年级月考）如图，中，为的直径，点B为延长线上一点，是的切线，A为切点，且，
(1)求的度数；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
4．（2023上·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校联考期中）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置．
(1)若正方形的边长是，．则阴影部分面积为___________；
(2)若，求的长．
5．（2022上·湖北武汉·九年级统考期末）如图，C是圆O被直径分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接．
(1)若，求的度数
(2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．
6．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分的面积．
7．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交射线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求图中阴影部分的面积．
8．（2023上·江苏南通·九年级校联考期中）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连结，若，，，求、与弧围成阴影部分的面积．
9．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十中学校考期中）已知，在半圆中，直径，点C，D在半圆O上运动，弦．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，若，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；
(3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：
①点M的运动路径的总长______；
②点M到的距离的最小值是______．
10．（2023上·江苏盐城·九年级月考）如图，已知中，，以为直径的交于点，与相切，交于点，连接，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若以、的长为方程两个实数根，求的值；
(3)求图中以线段、和所围成图形的面积．
11．（2023上·山西阳泉·九年级月考）综合与实践
【问题情境】
在一块长，宽的矩形荒地上，建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1．花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2．矩形中每个角上的扇形相同．
【数学思考】
（1）求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为米，请列出方程，并解答；
（2）求方案二中扇形的半径；（其中，结果保留根号）
【知识迁移】
（3）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
12．（2022上·河北廊坊·九年级校考期中）如图1，直线与直线相交于点，在直线上取两点，且，在直线上取两点．且，以为直径作小半圆，以为直径作大半圆．连接，直线交大半圆于点．
(1)求证：；
(2)求阴影部分的面积；
(3)如图2，若切小半圆于点，连接，求证：也是小半圆的切线．