初中数学人教版（2024）九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆练习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆练习题，共33页。

知识回顾
(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；
（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
【详解】（1）解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，

，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
（2）证明：延长交圆于点，则，

，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；
探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证；
应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．
【详解】感知：
由圆周角定理可得，
故答案为：；
探究：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴，，
，
是等边三角形，
，
，
即；
应用：
延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
1．（2023·广东阳江·统考三模）定义：中，，则称为倍余三角形．
(1)下列说法正确的是 ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
(2)如图1，内接于，点在直径上不与，重合，满足，求证：为倍余三角形；
(3)在（2）的条件下，
①如图1，连接，若也为倍余三角形，求的度数；
②如图2，过点作交于点，若面积为面积的倍，求的值．
【分析】（1）由倍余三角形的定义及等腰三角形的性质可得出答案；
（2）由圆周角定理的推论得出，由等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质可得出答案；
（3）①若为钝角，设，则，，得出，即，求出；若为钝角，设，则，，即，求出．，则可得出答案；
②如图，作，不妨设，，根据等面积法列出分式方程，解方程求出的值则可得出答案．
【详解】（1）解：①为倍余三角形，
，
，
，
倍余三角形一定是钝角三角形，故①正确，
②等腰三角形可能是倍余三角形．如，是倍余三角形．故②错误，
故答案为①；
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
为倍余三角形；
（3）①如图1，

为钝角，
，和不可能为，
当时，即，
又，
，
设，则，，
，
即，
，
即，
如图，为钝角，

，和不可能为，
当时，即，
，
，
设，则，，
即，
，
即，
综合以上可得为或；
②如图3，作，不妨设，，若的面积为面积的倍，

，
，
解得，，经检验都是原方程的解；
当时，，，
，
当时，，，
．
综合以上得出的值为或．
2．（2023上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒，是的外接圆．
(1)当时，的半径是______ ，与直线的位置关系是______；
(2)在点P从点A向点B运动过程中，当与矩形的边相切时，求t的值．
(3)连接，交于点N，如图2，当时，t的值是______．
【分析】（1）先求出，的长，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的外接圆直径是斜边即可求解；
（2）分两种情况考虑：与相切；与相切；根据切线的性质作辅助线，则，，由列方程即可求解；
（3）如图4，作辅助线，构建全等三角形，证明，，最后根据勾股定理列方程即可求解．
【详解】（1）解：如图，过M作于N，交于K，

∵四边形是矩形，
∴，，
∴的直径是，，
当时，，，
∵，，
∴，，
∴
∴的半径为，
∵，M是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴与直线的位置关系是相离；
（2）解：如图，当与相切时，设切点为F，连接并延长交于E，则，，

则，，
∴，
∴，
∵在中，是的中点，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当与相切时，设切点为E，连接并延长交于F，则，，

则，，
∴，
∴，
∵在中，是的中点，，
∴，
即，
易知，
∴，
解得：，
综上所述：当与矩形相切时，或；
（3）解：如图，过D作，交的延长线于点G，连接，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：（舍去），．
所以t的值是．
3．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）在期中复习课里，小晨对九年级数学教材第52页习题的第3题进行了再研究．
【原题再现】
请你帮他完成后面的解答：
【深入探究】
（2）小晨在完成此题解答后，他在图1上连接，得到图2，当时，他发现平分．他的发现正确吗？试说明理由；
（3）在（2）的条件下，小晨通过测量发现这三条线段之间存在着一定的数量关系，经过探究，他得到了结论：，请证明这个结论．
【应用实践】
（4）根据小晨同学的研究，张老师提出一个问题：如图3，内接四边形中，为的直径，，作点关于的对称点，连接，若，，请直接写出的长为 ．
【分析】（1）先证明，再证明即可；
（2）根据圆周角定理即可证明结论成立；
（3）延长至，使，连接．根据证明，得，根据勾股定理得，进而可证结论成立；
（4）由轴对称的性质可得，，证明，可得．证明，可证，过点Q作交的延长线于点E，证明得，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过三点作，连接．

中，，
∴是直径，
∴，
∵，
∴，
∴点在上
（2）正确．
中，
中，
平分．
（3）如图2，延长至，使，连接．

四边形是内接四边形
又
（4）延长至点Q，使，连接，，

∵点关于的对称点，
∴，，
∴，
∴．
由（3）的结论可知，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴．
过点Q作交的延长线于点E，
∵
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
4．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）已知内接于．
(1)如图1，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点，试探究与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，试证明：；
(3)如图3，作的角平分线交圆于点，若点为劣弧上一动点，连接，过点作于点，试猜想的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
【分析】（1）利用等角的余角相等求得，即可证明；
（2）过点C作直径，连接，利用等角的余角相等求得，推出，再根据垂径定理证明是的中位线，据此即可证明；
（3）在上截取，证明，推出，由等腰三角形的性质求得，推出，据此即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点C作直径，连接，

∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，即；
（3）解：的值是定值，定值为2，
在上截取，连接，，，，

∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
5．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）如图，已知点是以为直径的半上的动点（点不与重合），点是中点，连结，交分别于点．
(1)如图1，若，的度数为，求的长．
(2)如图2，若，求的值．
(3)如图3，连结，当成为直角三角形时，求与的面积比．
【分析】（1）连接，等弧等角，得到，三线合一，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可；
（2）同法（1）求出，进而求出的长，即可得解；
（3）分和，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：连接，则：，

∵点是中点，的度数为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，则：，

∵为直径，
∴的度数为，
∵，
∴，
∴，
同法（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①当时，如图：

∵为的中点，
∴垂直平分，
∴
，度数均为，
，
，
，
∵，
，
；
当时，，连结，
∵，
，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，为的中点，
∵，
∴，
，
∵，为的中点，
是的中位线，
，
，
．

综上：与的面积比为1或2．
6．（2023上·江苏徐州·九年级月考）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦，，构成的图形称为圆中“爪形A”，弦，，称为“爪形A”的爪．
(1)如图2，四边形内接于，；
①证明：圆中存在“爪形D”；
②若，求证：．
(2)如图3，四边形内接于圆，其中，连接．若“爪形D”的爪之间满足，则 ．
【分析】（1）①由圆周角的性质直接证明即可；
②延长至点E，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证出是等腰直角三角形，由勾股定理及等腰直角三角形的性质可得出结论；
（2）延长至点E，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证出是等边三角形，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，
，
，
平分圆周角，
∴圆中存在“爪形D”．
②如图所示，延长至点E，使得，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
为等腰直角三角形，
由勾股定理得：，即，，
．
（2）解：延长至点E，使得，连接，

，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
7．（2023上·江西南昌·九年级南昌市心远中学校考期中）【教材呈现】以下是人教版八年级下册数学教材第50页的部分内容．如图，直线，与的面积相等吗？为什么？
【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；
【尝试应用】如图2．在半径为5的，，，，求；
【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交CD于点E，若，，求的半径．
【分析】教材呈现：根据得到与的以边为底的高相等，据此得出结论；
基础巩固：连接，，可推出，，根据，进而得出结果；
尝试应用：连接，作于E，可推出，从而，根据，可推出，从而，利用勾股定理求出，进而求即可结果；
拓展提高：连接，设，则，可推出，从而，根据，，可得出，，，进而表示出，根据得，从而得出，进而得出，，，，根据，从而，进而求得结果．
【详解】教材呈现：
解：与的面积相等，
∵直线，点B，C在直线上，
∴点A，D到的距离相等，
∴与的面积相等；
基础巩固：
解：如图1，连接，，

，
∴，，
阴影面积等于扇形的面积，
∵，圆的面积等于，
∴阴影面积与圆面积的比值为：；
尝试应用：
解：如图2，连接，作于E，

，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∵，
，
；
拓展提高：
解：如图3，连接，

设，则，
，
，
，
，
，
，，，
，
由得，
，
，，，，
∴，
，
，
的半径为6．
8．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．
(1)求的长．
(2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．
(3)如图，过点作于，连接，求的最小值．
【分析】（1）连接，根据，，确定圆的半径为5，结合，根据垂径定理，得到，得．
（2）连接，根据垂径定理，得到，利用三角形外角性质，圆周角定理，证明即可．
（3）根据题意，点H的运动轨迹是以为直径的上的，当D、H、N三点共线时，取得最小值，计算即可．
【详解】（1）如图，连接，
∵，，
∴，
∴圆的半径为5，

∵，
∴，
∴．
（2）的长度不发生变化；．理由如下：
如图，连接，

∵直径，，，弦，，
∴，
∴，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故的长度不发生变化；．
（3）如图，连接，
∵，

∴点H的运动轨迹是以为直径的上的，
当D、H、N三点共线时，取得最小值，
连接，交于点M，
故当H与M重合时，取得最小值，
∵，，，
∴，
∴，
过点N作于点F，
则，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
故最小值为．
9．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校联考期中）小学阶段，我们了解到圆：平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆；在一节数学实践活动课上，老师手拿着三个正方形硬纸板和几个不同的圆形的盘子，他向同学们提出了这样一个问题：已知手中圆盘的直径为13cm，手中的三个正方形硬纸板的边长均为5cm，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，能否用这个圆盘将其盖住？问题提出后，同学们七嘴八舌，经过讨论，大家得出了一致性的结论是：本题实际上是求在不同情况下将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆盘能盖住时的最小直径．然后将各种情形下的直径值与13cm进行比较，若小于或等于13cm就能盖住，反之，则不能盖住．老师把同学们探索性画出的四类图形画在黑板上，如图所示．
(1)通过计算，在图1中圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为______cm．（填准确数）
(2)图2能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为______cm，图3能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为______cm．（填准确数）
(3)拓展：按图4中的放置，三个正方形放置后为轴对称图形，当圆心O落在边上时，圆的直径是多少，请你写出该种情况下求圆盘最小直径的过程，并判断是否能盖住．（计算中可能用到的数据，为了计算方便，本问在计算过程中，根据实际情况最后的结果可对个别数据取整数）
【分析】（1）圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为三个正方形的边长和为：；
（2）图②图③的半径都是正方形的对角线长，即，直径即可求得；
（3）设圆心到“品”字形最上面横线的距离为，到最下面横线的距离为，则，而且根据勾股定理求解；
【详解】（1）解：通过计算，在①中圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为；
故答案为；
（2）解：根据图形可知：当图②图③的半径都是正方形的对角线长，即，此时两个图形的圆都有最小直径；
∴图②能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为，
图③能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为；
故答案为，；
（3）解：如图设圆心到最上面横线的距离为，到最下面横线的距离为，则，

，
，
根据勾股定理可得，
，
解得，，
则，
圆盘的最小直径为；
∵，
∴能盖住三个正方形纸片．
10．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
(1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形；
(2)如图2，弦与弦交于点，，．
①求证：，是⊙的等垂弦；
②连接，若，，求的长度．
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形；
（2）①连接，由圆心角、弦的关系及全等三角形的判定和性质可得，由圆周角定理可得，，可得结论；
②连接并双向延长交于点F，交于点G，根据题意得出为等腰直角三角形，再由垂直平分线的判定和性质得出，利用平行线的判定和性质及全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，是的等垂弦，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，是的等垂弦，
∴，
∵，，
∴，
∴矩形是正方形；
（2）①证明：连接，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴、是的等垂弦．
②连接并双向延长交于点F，交于点G，如图所示：

由①得，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴．（1）如图，在四边形中，，经过点三点作，点在上吗？试说明理由．

小晨解答如下：
如图1，过三点作，连接．
中，