初中数学人教版（2024）九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆习题

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知识回顾
(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；
（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
【详解】（1）解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，

，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
（2）证明：延长交圆于点，则，

，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；
探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证；
应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．
【详解】感知：
由圆周角定理可得，
故答案为：；
探究：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴，，
，
是等边三角形，
，
，
即；
应用：
延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
1．（2023·广东阳江·统考三模）定义：中，，则称为倍余三角形．
(1)下列说法正确的是 ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
(2)如图1，内接于，点在直径上不与，重合，满足，求证：为倍余三角形；
(3)在（2）的条件下，
①如图1，连接，若也为倍余三角形，求的度数；
②如图2，过点作交于点，若面积为面积的倍，求的值．
2．（2023上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒，是的外接圆．
(1)当时，的半径是______ ，与直线的位置关系是______；
(2)在点P从点A向点B运动过程中，当与矩形的边相切时，求t的值．
(3)连接，交于点N，如图2，当时，t的值是______．
3．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）在期中复习课里，小晨对九年级数学教材第52页习题的第3题进行了再研究．
【原题再现】
请你帮他完成后面的解答：
【深入探究】
（2）小晨在完成此题解答后，他在图1上连接，得到图2，当时，他发现平分．他的发现正确吗？试说明理由；
（3）在（2）的条件下，小晨通过测量发现这三条线段之间存在着一定的数量关系，经过探究，他得到了结论：，请证明这个结论．
【应用实践】
（4）根据小晨同学的研究，张老师提出一个问题：如图3，内接四边形中，为的直径，，作点关于的对称点，连接，若，，请直接写出的长为 ．
4．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）已知内接于．
(1)如图1，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点，试探究与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，试证明：；
(3)如图3，作的角平分线交圆于点，若点为劣弧上一动点，连接，过点作于点，试猜想的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
5．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）如图，已知点是以为直径的半上的动点（点不与重合），点是中点，连结，交分别于点．
(1)如图1，若，的度数为，求的长．
(2)如图2，若，求的值．
(3)如图3，连结，当成为直角三角形时，求与的面积比．
6．（2023上·江苏徐州·九年级月考）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦，，构成的图形称为圆中“爪形A”，弦，，称为“爪形A”的爪．
(1)如图2，四边形内接于，；
①证明：圆中存在“爪形D”；
②若，求证：．
(2)如图3，四边形内接于圆，其中，连接．若“爪形D”的爪之间满足，则 ．
7．（2023上·江西南昌·九年级南昌市心远中学校考期中）【教材呈现】以下是人教版八年级下册数学教材第50页的部分内容．如图，直线，与的面积相等吗？为什么？
【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；
【尝试应用】如图2．在半径为5的，，，，求；
【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交CD于点E，若，，求的半径．
8．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．
(1)求的长．
(2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．
(3)如图，过点作于，连接，求的最小值．
9．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校联考期中）小学阶段，我们了解到圆：平面上到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫做圆；在一节数学实践活动课上，老师手拿着三个正方形硬纸板和几个不同的圆形的盘子，他向同学们提出了这样一个问题：已知手中圆盘的直径为13cm，手中的三个正方形硬纸板的边长均为5cm，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，能否用这个圆盘将其盖住？问题提出后，同学们七嘴八舌，经过讨论，大家得出了一致性的结论是：本题实际上是求在不同情况下将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆盘能盖住时的最小直径．然后将各种情形下的直径值与13cm进行比较，若小于或等于13cm就能盖住，反之，则不能盖住．老师把同学们探索性画出的四类图形画在黑板上，如图所示．
(1)通过计算，在图1中圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为______cm．（填准确数）
(2)图2能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为______cm，图3能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为______cm．（填准确数）
(3)拓展：按图4中的放置，三个正方形放置后为轴对称图形，当圆心O落在边上时，圆的直径是多少，请你写出该种情况下求圆盘最小直径的过程，并判断是否能盖住．（计算中可能用到的数据，为了计算方便，本问在计算过程中，根据实际情况最后的结果可对个别数据取整数）
10．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
(1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形；
(2)如图2，弦与弦交于点，，．
①求证：，是⊙的等垂弦；
②连接，若，，求的长度．（1）如图，在四边形中，，经过点三点作，点在上吗？试说明理由．

小晨解答如下：
如图1，过三点作，连接．
中，