垂径定理及其应用-九年级数学上学期期末真题分类汇编（解析版）

这是一份垂径定理及其应用-九年级数学上学期期末真题分类汇编（解析版），共11页。
垂径定理
1．（2022•朝阳区期末）如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．25B．23C．5D．2
解：连接OA，作OC⊥AB于C，
则AC＝BC，
∵OP＝4，∠P＝30°，
∴OC＝2，
∴AC=OA2−OC2=5，
∴AB＝2AC＝25，
答案：A．
2．（2022•丰台区期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝8，OC＝3，则⊙O半径的长为 5 ．
解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴AC=12AB=4，
在Rt△AOC中，AC＝4，OC＝3，
∴OA=AC2+OC2=5．
∴⊙O的半径5，
答案：5．
3．（2022•西城区期末）如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 3≤OP≤5 ．
解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM＝BM，
∵AB＝8，
∴AM＝4，
在Rt△AOM中，OM=52−42=3，
OM的长即为OP的最小值，
∴3≤OP≤5．
4．（2022•大兴区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC＝3，AE＝1，则弦CD的长度为 25 ．
解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，
∵OC＝3，AE＝1，
∴OA＝3，
∴OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，
∴CE=OC2−OE2=32−22=5，
∴CD＝2CE＝25．
答案：25．
5．（2022•海淀区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为 23 ．
解：如图所示，作OD⊥BC于D，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
又∵OD⊥BC，
∴∠BOD＝60°，BD=12BC，
∴BD＝sin60°×OB=3，
∴BC＝2BD＝23，
答案：23．
6．（2022•西城区期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．
解：设⊙O的半径是r，
∵点C是AB的中点，OC过圆心O，
∴OC⊥AB，
∵AB＝4，CD＝1，
∴BC=12AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，
∵OB2＝OC2+BC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r=52，
∴OD=52，
∴△BOD的面积=12OD•BC=12×52×2=52．
7．（2022•通州区期末）如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF∥BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．
证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴AD=AC，
∴∠B＝∠F，
∵CF∥BD，
∴∠AGF＝∠B，
∴∠AGF＝∠F，
∴AG＝AF．
8．（2022•顺义区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝42．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
解：（1）作OM⊥AC于M，
∵AC＝42，
∴AM＝CM＝22，
∵OC＝4，
∴OM=OC2−MC2=22；
（2）连接OA，
∵OM＝MC，∠OMC＝90°，
∴∠MOC＝∠MCO＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAM＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝135°．
垂径定理的应用
9．（2022•朝阳区期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子半径为（ ）
A．2mB．3mC．4mD．5m
解：由题意得：AB＝8m，OC⊥AB，
∴AD＝BD=12AB＝4m，
设该桨轮船的轮子半径为r m，则OD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即该桨轮船的轮子半径为5m，
答案：D．
10．（2022•密云区期末）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ）
A．2分米B．3分米C．4分米D．5分米
解：连接OA，如图所示：
∵⊙O的直径为10分米，
∴OA＝5分米，
由题意得：OD⊥AB，AB＝8分米，
∴AC＝BC=12AB＝4分米，
∴OC=OA2−AC2=52−42=3（分米），
∴水的最大深度CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（分米），
答案：A．
11．（2022•门头沟区期末）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 10 米．
解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝8米，
设BO＝x米，则DO＝（x﹣4）米，
在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
即桥拱所在圆的半径是10米．
答案：10．
12．（2022•昌平区期末）我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸（注：1尺＝10寸），则可得直径CD的长为 26 寸”．
解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE＝5（寸），
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
∴r＝13，
∴CD＝2r＝26（寸），
答案：26．
13．（2022•通州区期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 2 m．
解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE=12AB=12×8＝4，
在Rt△AEO中，OE=OA2−AE2=52−42=3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
14．（2022•丰台区期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交AB于点D，连接CD，经测量AB＝8cm，CD＝2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 5 cm．
解：设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为R cm，连接OA、OC，
则O、C、D三点共线，OC＝（R﹣2）cm，
∵CD是AB的垂直平分线，AB＝8cm，
∴AC=12AB＝4（cm），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2＝R2，
解得：R＝5，
即这个齿轮内圈圆的半径为5cm，
答案：5．
15．（2022•石景山区期末）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
解：如图，连接AB、CD交于点D，
由题意得，OC⊥AB，
则AD＝DB=12AB＝4，
设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，
解得，R＝5，
则该铁球的直径为10cm，答案：B．
16．（2022•房山区期末）在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为弧AB，测得弧所对的弦长AB为12.8cm，弧中点到弦的距离为2cm．设弧AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB于D，连接OB．求这个盏口半径OB的长（精确到0.1cm）．
解：由题意得：AB＝12.8cm，OC⊥AB，
∴AD＝BD=12AB＝6.4cm，
设这个盏口半径OB的长为r cm，则OD＝（r﹣2）cm，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：6.42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r≈11.2，
答：这个盏口半径OB的长约为11.2cm．