专题22圆锥曲线轨迹全归纳-2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用）

这是一份专题22圆锥曲线轨迹全归纳-2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用），文件包含专题22圆锥曲线轨迹全归纳-2025年高考数学一轮复习知识清单全国通用原卷版docx、专题22圆锥曲线轨迹全归纳-2025年高考数学一轮复习知识清单全国通用解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共58页， 欢迎下载使用。
M目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc9330" 题型一：定义法：圆型 PAGEREF _Tc9330 \h 1
\l "_Tc681" 题型二：椭圆定义型 PAGEREF _Tc681 \h 2
\l "_Tc14708" 题型三：双曲线定义型 PAGEREF _Tc14708 \h 3
\l "_Tc16752" 题型四：抛物线定义型 PAGEREF _Tc16752 \h 4
\l "_Tc593" 题型五：直接设点型 PAGEREF _Tc593 \h 4
\l "_Tc23395" 题型六：相关点代入法 PAGEREF _Tc23395 \h 5
\l "_Tc19071" 题型七：交轨法 PAGEREF _Tc19071 \h 6
\l "_Tc26085" 题型八：参数消参法 PAGEREF _Tc26085 \h 7
\l "_Tc4724" 题型九：空间型：坐标法 PAGEREF _Tc4724 \h 8
\l "_Tc9645" 题型十：空间型：截面型曲线轨迹 PAGEREF _Tc9645 \h 10
\l "_Tc8643" 题型十一：空间型：双球圆锥型 PAGEREF _Tc8643 \h 11
\l "_Tc19186" 题型十二：立体几何定角型 PAGEREF _Tc19186 \h 13
\l "_Tc31492" 题型十三：复数中的轨迹 PAGEREF _Tc31492 \h 14
题型一：定义法：圆型
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.
平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1
若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1
若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行
1．（22-23高三·四川绵阳·阶段练习）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则错误的是（ ）
A．点的坐标为B．点P的轨迹方程
C．D．的最大值为
2．（2022高三·全国·专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三·福建厦门·阶段练习）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高三·福建莆田·阶段练习，多选）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则下列结论中正确的是（ ）
A．A点的坐标为B．点P的轨迹方程
C．D．的最大值为
5．（22-23高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则点的轨迹方程是
题型二：椭圆定义型
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
1．（20-21高三·浙江金华·模拟）如图，，等边的边长为2，M为BC中点，G为的重心，B，C分别在射线OP，OQ上运动，记M的轨迹为，G的轨迹为，则（ ）
A．为部分圆，为部分椭圆 B．为部分圆，为线段
C．为部分椭圆，为线段 D．为部分椭圆，也为部分椭圆
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）单位向量，向量满足，若存在两个均满足此条件的向量，使得，设，在起点为原点时，终点分别为.则的最大值（ ）
A．B．C．4D．2
3．（23-24高三上·上海·模拟）设圆和圆是两个定圆，动圆与这两个定圆都相切，则动圆的圆心的轨迹不可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三·陕西榆林·模拟）已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 .
题型三：双曲线定义型
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
1．（22-23高三·江西·阶段练习）已知点，点P为圆 上一点，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
2．（21-22高三·江苏南通·阶段练习）在矩形中，，，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2018高三上·全国·专题练习）已知定点，，是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是
A．直线B．圆
C．椭圆D．双曲线
4．（20-21高三·湖北武汉·模拟，多选）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ）
A．的方程为B．的离心率为
C．的渐近线与圆相切D．满足的直线有2条
5．（24-25高三·全国·模拟）过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ．
题型四：抛物线定义型
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
1．（21-22高三下·浙江·阶段练习）已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．2D．3
2．（2024高三·全国·专题练习）已知是直线上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，则的重心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（20-21高三·广西南宁·模拟）抛物线：的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江·模拟预测，多选）已知曲线上的点满足：到定点1,0与定直线轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则（ ）
A．若，则曲线的图象为一条抛物线
B．若，则曲线的方程为
C．当时，对于任意的，，都有
D．当时，对于任意的，，都有
5．（24-25高三·全国·模拟）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ．
题型五：直接设点型
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．
（1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线．
（2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．
（3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
求解过程：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点Px,y
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含x,y的代数式表示，
（5）检验：对某些特殊值应另外补充检验．
1．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三·河南南阳·阶段练习）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三·江苏南通·阶段练习）已知等腰底边两端点的坐标分别为，，则顶点A的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·山东济南·开学考试，多选）在平面直角坐标系中，已知点， ，直线，相交于点，且它们的斜率之和是.设动点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线关于原点对称
B．曲线关于某条直线对称
C．若曲线与直线（）无交点，则
5．（24-25高三·江苏常州·阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，直线上存在动点P满足条件，，且时，则实数k的取值范围为 ．
题型六：相关点代入法
如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出Px,y,用x,y表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程.
第一步：设所求轨迹的点，曲线上的动点；
第二步：找出与的关系，由表示，即；
第三步：满足已知的曲线方程，将代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍．
1．（22-23高三·北京·阶段练习）设为坐标原点，动点在椭圆C：上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高三·辽宁沈阳·模拟）设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为
A．B．C．D．
3．（22-23高三·四川内江·模拟）已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三·河北唐山·阶段练习，多选）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数（，且）的点的轨迹是圆．若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹围成区域的面积为
B．点的轨迹关于直线对称
C．点到原点的距离的最大值为6
D．面积的最大值为
5．（20-21高三·上海杨浦·模拟）已知△的顶点，若顶点在抛物线上移动，则△的重心的轨迹方程为 .
题型七：交轨法
所求点满足条件方程1
所求点满足条件方程2
动点是方程1、2两轨迹方程，则满足两个轨迹所组成的方程组，通过两个方程选择适当的技巧消去参数得到轨迹的普通方程
参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.
1．（2024高三·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2014·四川·一模）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线，，则与的交点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三·全国·单元测试，多选）已知，是椭圆：的左右顶点，过点且斜率不为零的直线与 交于，两点，，，，分别表示直线，，，的斜率，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．直线与的交点的轨迹方程是
4．（2022高三·全国·专题练习）两条直线和的交点的轨迹方程是
5．（2022高三·全国·专题练习）由圆外一定点向圆作割线，交圆周于两点，求弦中点的轨迹
6．（2022高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足，求得重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.
题型八：参数消参法
有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距或时间等）的制约，即动点坐标x,y中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，进而通过消参化为轨迹的普通方程Fx,y=0.
（1）选择坐标系，设动点坐标；
（2）分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）；
（3）建立参数方程；
（4）消去参数得到普通方程；
（5）讨论并判断轨迹．
解题步骤：
1 引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标；
2.消去参数，得到关于的方程，即为所求轨迹方程。
1．（20-21高三·上海宝山·模拟）如图，设点和为抛物线上除原点以外的两个动点，已知，则点的轨迹方程为（ ）
A． （原点除外）
B．（原点除外）
C． （原点除外）
D．（原点除外）
2．（2022·河南南阳·三模）和是抛物线上除去原点以外的两个动点，是坐标原点且满足，，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，x轴正半轴上从左至右四点A､B､C､D横坐标依次为a-c､a､a+c､2a，y轴上点M､N纵坐标分别为m､-2m（m>0），设满足的动点P的轨迹为曲线E，满的动点Q的轨迹为曲线F，当动点Q在y轴正半轴上时，DQ交曲线E于点P0（异于D），且OP0与BQ交点恰好在曲线F上，则a：c=（ ）
A．B．C．2D．3
4．（2022高三·全国·专题练习）设M是椭圆C：上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程.
题型九：空间型：坐标法
立体几何内的轨迹，，尝尝从以下方向切入
建系，利用空间坐标系求出方程。
通过转化，把空间关系转化为平面关系，把空间轨迹转化为平面轨迹求解。
1．（2022·北京石景山·模拟）如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆
2．（24-25高三·重庆·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．2
3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三·吉林长春·阶段练习，多选）如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．不存在点，使得
B．不存在点，使得
C．点在棱上，且，若，则点的轨迹是圆
D．当是正方形ABCD的中心时，为线段AB上的动点，则的最小值为
5．（24-25高三·浙江·阶段练习）如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直.长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为 .

题型十：空间型：截面型曲线轨迹
1．（24-25高三·湖北·阶段练习）动点在棱长为3的正方体侧面上，满足，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·湖北武汉·模拟）已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三·浙江宁波·模拟）已知正方体的棱长为3，以为球心，为半径的球面与正方体表面的交线记为曲线，则曲线的长度为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习，多选）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，已知点在平面上运动，点在平面上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．若点到的距离等于其到平面的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分
B．若，则点的轨迹为圆的一部分
C．若与所成的角为30°，则点的轨迹为椭圆的一部分
D．若与平面所成的角为30°，则点的轨迹为双曲线的一部分
5．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若平面，则点的轨迹的长度为 .
题型十一：空间型：双球圆锥型
1．（2023·辽宁阜新·模拟预测）比利时数学家丹德林( Germinal Dandelin)发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球使得它们与圆锥的侧面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截线是椭圆．这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为20，底面半径为4的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切．若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱侧面所得的截线为一个椭圆，则该椭圆的短轴长为（ ）
A．B．C．D．
2．（19-20高三·河南·阶段练习）比利时数学家Germinal Dandelin发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三·浙江宁波·模拟）如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于、，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球切于、，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是，由、的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以、为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源，则球在桌面上的投影是椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
4．（2024·山东日照·一模，多选）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（ ）
A．椭圆C的中心不在直线上
B．
C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
5．（2020·吉林·模拟预测）如图（1），在圆锥内放两个大小不同且不相切的球,使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到截口曲线是椭圆.理由如下：如图（2），若两个球分别与截面相切于点，在得到的截口曲线上任取一点，过点作圆锥母线，分别与两球相切于点，由球与圆的几何性质，得，，所以，且，由椭圆定义知截口曲线是椭圆，切点为焦点.这个结论在圆柱中也适用，如图（3），在一个高为，底面半径为的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱所得的截口曲线也为一个椭圆，则该椭圆的离心率为 .
题型十二：立体几何定角型
1．（20-21高三·浙江宁波·模拟）如图，在棱长为1的正方体中，点M是底面正方形的中心，点P是底面所在平面内的一个动点，且满足，则动点P的轨迹为（ ）
A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆
2．（19-20高三·安徽黄山·模拟）如图所示正方体中，设是底面正方形所在平面内的一个动点，且满足直线与直线所成的角等于，则以下说法正确的是（ ）
A．点的轨迹是圆B．点的轨迹是椭圆
C．点的轨迹是双曲线D．点的轨迹是抛物线
3．（22-23高三·江西南昌·模拟）已知是平面的斜线段，为斜足，若与平面成角，过定点的动直线与斜线 成角，且交于点，则动点的轨迹是
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
4．（21-22高三·江苏南京·阶段练习，多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD—中，E为侧面的中心，F是棱的中点，若点P为线段上的动点，N为ABCD所在平面内的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．·的最小值为
B．若，则平面PAC截正方体所得截面的面积为
C．若与AB所成的角为，则N点的轨迹为双曲线
D．若正方体绕旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是
5．（22-23高三下·广东佛山·阶段练习）在棱长为1的正方体中，点是底面内的动点，，则动点的轨迹的面积为 ，动线段的轨迹所形成几何体的体积是 .

题型十三：复数中的轨迹
复数中的轨迹，基本是转化为解析几何来求
利用复数的模运算转化
利用复数的几何意义
1．（2025·广东·模拟预测）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数在复平面内表示一个圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为：（ ）.
A．圆周B．椭圆周C．双曲线的一部分D．线段
3．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知复数，复数满足，则（ ）
A．
B．复数在复平面内所对应的点的坐标是
C．
D．复数在复平面内所对应的点为，则
4．（24-25高三·安徽马鞍山·阶段练习，多选）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B．若复数，则
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
5．（24-25高三上·全国·自主招生）复数满足，则 .