专题23 圆锥曲线离心率归类 -2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc17975" 题型一：离心率基础计算 PAGEREF _Tc17975 \h 1
\l "_Tc12584" 题型二：定义型求离心率 PAGEREF _Tc12584 \h 2
\l "_Tc28312" 题型三：第三定义型（点差法） PAGEREF _Tc28312 \h 3
\l "_Tc11252" 题型四：双曲线：渐近线型离心率 PAGEREF _Tc11252 \h 4
\l "_Tc394" 题型五：中点与离心率 PAGEREF _Tc394 \h 5
\l "_Tc19379" 题型六：a、b、c齐次型 PAGEREF _Tc19379 \h 6
\l "_Tc28840" 题型七：焦点三角形：内切圆型 PAGEREF _Tc28840 \h 7
\l "_Tc2799" 题型八：焦点三角形：焦半径型 PAGEREF _Tc2799 \h 8
\l "_Tc17487" 题型九：焦点三角形：离心率范围最值 PAGEREF _Tc17487 \h 9
\l "_Tc19714" 题型十：焦点弦定比分点求离心率 PAGEREF _Tc19714 \h 10
\l "_Tc12692" 题型十一：焦点三角形：余弦定理 PAGEREF _Tc12692 \h 10
\l "_Tc21643" 题型十二：焦点三角形：双角度型 PAGEREF _Tc21643 \h 11
\l "_Tc21391" 题型十三：重心型 PAGEREF _Tc21391 \h 12
\l "_Tc20735" 题型十四：双曲线椭圆共焦点型 PAGEREF _Tc20735 \h 14
\l "_Tc4779" 题型十五：离心率“小题大做”型 PAGEREF _Tc4779 \h 15
\l "_Tc25438" 结束 PAGEREF _Tc25438 \h 16
题型一：离心率基础计算
圆锥曲线的离心率的常见基本思维方法和基础计算：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
基础计算：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；
特殊值计算法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
1．（24-25高三·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若的面积为，则C的离心率为（ ）．
A．3B．C．2D．
3．（24-25高三·全国·模拟）设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三·河南漯河·阶段练习，多选）已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（ ）
A．C1的长轴长与C2的实轴长相等B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等
C．焦距相等D．离心率不相等
5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为 .
题型二：定义型求离心率
解题时要把所给的几何特征转化为的关系式．求离心率的常用方法有：
（1）根据条件求得，利用或求解；
（2）根据条件得到关于的方程或不等式，利用将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．
1．（23-24高二下·湖南郴州·模拟）已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知椭圆()，，分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，若、A、、B四点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·贵州·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三·云南·阶段练习，多选）椭圆的左､右两焦点分别是，其中．过左焦点的直线与椭圆交于两点．则下列说法中正确的有（ ）
A．的周长为
B．若的中点为所在直线斜率为，则
C．若的最小值为，则椭圆的离心率
D．若，则椭圆的离心率的取值范围是
5．（20-21·河南驻马店·模拟）已知，是双曲线的左右焦点，过且倾斜角为60°的直线与的左､右两支分别交于､两点.若，则双曲线的离心率为 .
题型三：第三定义型（点差法）
椭圆：设直线和椭圆的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
抛物线：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
可得
1．（22-23高三·山西长治·模拟）已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（20-21高三·江西南昌·模拟）双曲线的右焦点为，设、为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．2C．D．
3．（20-21高三·江西抚州·模拟）已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·河北石家庄·二模，多选）已知双曲线：，其上、下焦点分别为，，为坐标原点．过双曲线上一点作直线，分别与双曲线的渐近线交于，两点，且点为中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若轴，则．
B．若点的坐标为，则直线的斜率为
C．直线的方程为．
D．若双曲线的离心率为，则三角形的面积为2．
（23-24高三·黑龙江哈尔滨·模拟）已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为 ．
题型四：双曲线：渐近线型离心率
双曲线渐近线性质：
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
（3）一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则.
（4）过双曲线上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论：
①OM·ON=a2+b2；②；③
1．（2022高三·全国·专题练习）双曲线的右焦点为，若以点为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．2D．
2．（2022·山西晋中·二模）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，平面内一点满足，的面积为，点为线段的中点，直线为双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．或C．D．2
3．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过作以为圆心，虚半轴长为半径的圆的切线，切点为，若线段恰好被双曲线的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
4．（22-23高三·河北保定·模拟，多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．的面积为
D．直线与圆相切
（21-22高三上·辽宁·阶段练习）等轴双曲线是一种特殊的双曲线，特点是渐近线互相垂直且离心率为，（）的图象是等轴双曲线，设双曲线的焦点为A、B，则直线AB的方程为 ，若O为坐标原点，则的面积为 ．
题型五：中点与离心率
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
1．（22-23高三上·浙江·模拟）已知双曲线的左右焦点分别为， ，过的直线交双曲线的右支于，两点.点满足，且，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
2．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，其左右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交双曲线于两点，设线段的中点为，若直线与直线的交点在轴上，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．3C．D．
3．（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
4．（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟，多选）已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，与交于两点，分别为的中点，若，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点是，左顶点为，直线交椭圆于､两点(在第一象限)，直线与直线交于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为 .
题型六：a、b、c齐次型
只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)
两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
1．（2022·山东临沂·模拟）是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为
A．2B．C．2D．3
2．（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，左焦点为为椭圆上一点，直线与直线交于点的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的倍，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高三·辽宁铁岭·阶段练习，多选）如图，已知椭圆C：，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C的离心率为的是（ ）
A．B．
C．轴，且D．四边形的内切圆过焦点，
5．（2024·福建·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l交圆于A，B两点，交C的右支于点P.若，，则C的离心率为 .
题型七：焦点三角形：内切圆型
1．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东济宁·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．.
3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为，，点Px1,y1是上的一点，的内切圆圆心为Qx2,y2，当时，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三·全国·模拟，多选）设为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是上的一点，且，若的内切圆半径为，设内切圆圆心，则（ ）
A．B．为直角三角形
C．的面积为D．的离心率为
5．（23-24高三·广东揭阳·模拟）已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为 .
题型八：焦点三角形：焦半径型
圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言
对于抛物线，则
1．（21-22高三上·全国·阶段练习）已知点是椭圆上的一点，，是椭圆的左、右焦点，若△为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（22-23高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陕西西安·一模）已知农历每月的第天的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（ ）
①农历每月第天和第天的月相外边缘形状相同；
②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为；
③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；
④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内．
A．①③B．②④C．①②D．③④
4．（23-24高三上·江西·模拟，多选）已知为坐标原点，，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，设，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．为定值
C．若当时恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为
D．当时若直线与圆相切，则双曲线的离心率为
5．（23-24高三·河南许昌·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
题型九：焦点三角形：离心率范围最值
求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）.
1．（20-21高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
2．（22-23高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知椭圆的两个焦点为是椭圆上一点，且满足，求椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三·广东湛江·模拟）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是
A．B．
C．D．或
4．（20-21高三·江苏南京·阶段练习，多选）已知椭圆的离心率为e，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得是钝角，则满足条件的一个e的值（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·山东枣庄·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，且，若在椭圆上存在点，使得过点可作以为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为 .
题型十：焦点弦定比分点求离心率
性质：过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
1．（2023·湖北·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高二下·湖南岳阳·模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点A在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
4．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习，多选）已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，该垂线与另一条渐近线的交点为B，若，则C的离心率e可能为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为为左顶点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点（点在第一象限）.若，则双曲线的离心率 ， .
题型十一：焦点三角形：余弦定理
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
焦点四边形具有中心对称性质。
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
1．（2023·山西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
2．（23-24高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知M为椭圆：上一点，，为左右焦点，设，，若，则离心率（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·江苏·开学考试）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东广州·模拟预测，多选）已知椭圆：（）的左、右焦点为，，过的直线与交于，两点.若，.则（ ）
A．的周长为B．
C．的斜率为D．椭圆的离心率为
5．（2023·浙江嘉兴·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 .
题型十二：焦点三角形：双角度型
设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
1．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·山西长治·模拟）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江西赣州·二模）已知，为双曲线的左、右焦点，M为C左支上一点.设，，且，则C的离心率为（ ）
A．B．3C．2D．
4．（21-22高二下·湖南·模拟，多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）
A．B．C．D．2
5．（21-22高二下·广东·阶段练习）已知椭圆E的两个焦点分别为，点P为椭圆上一点，且，则椭圆E的离心率为 .
题型十三：重心型
离心率(离心率范围)的求法
1.求离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2.焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将双曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
1．（2023·贵州黔东南·一模）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三·湖北武汉·模拟）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线：交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
4．（22-23高三下·湖南·阶段练习，多选）设双曲线的右焦点为，若直线与右支交于两点，且为的重心，则（ ）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
5．（21-22高三·广东广州·模拟）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为 .
题型十四：双曲线椭圆共焦点型
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．
1．（20-21高三·江西·阶段练习）已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2021·江西·模拟预测）已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
3．（22-23高三·河南许昌·模拟）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（ ）

A．B．C．D．4
4．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习，多选）已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（ ）
A．面积为
B．若，则
C．若，则的取值范围为
D．若，则的取值范围为
5．（24-25高三上·全国·单元测试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，若是两条曲线的一个交点，且，则的最小值为 ．
题型十五：离心率“小题大做”型
关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：
（1）设出点的坐标；
（2）根据中点坐标建立等式：，；
（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；
（4）将，及代入等式中即可得出关系.
1．（2024·江西新余·二模）如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
2．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆：()的短轴长为4，上顶点为，为坐标原点，点为的中点，双曲线：(，)的左､右焦点分别与椭圆的左､右顶点，重合，点是双曲线与椭圆在第一象限的交点，且，，三点共线，直线的斜率，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（19-20高三下·河北衡水·阶段练习）已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
4．（23-24高三·辽宁本溪·模拟，多选）已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的方程为
C．若，则
D．若，则椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称
5．（2024·山东聊城·三模）已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ．