专题24 圆锥曲线综合大题归类 -2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc5180" 题型一： 大题基础：五个方程 PAGEREF _Tc5180 \h 1
\l "_Tc29060" 题型二：直线横截式 PAGEREF _Tc29060 \h 2
\l "_Tc25442" 题型三：直线“双变量”型过定点 PAGEREF _Tc25442 \h 3
\l "_Tc3222" 题型四：面积最值范围型 PAGEREF _Tc3222 \h 4
\l "_Tc195" 题型五：面积比值范围型 PAGEREF _Tc195 \h 5
\l "_Tc20564" 题型六：定值型 PAGEREF _Tc20564 \h 6
\l "_Tc11018" 题型七：斜率“和”型 PAGEREF _Tc11018 \h 7
\l "_Tc5532" 题型八：斜率“积”型 PAGEREF _Tc5532 \h 8
\l "_Tc8438" 题型九：斜率“比值”型 PAGEREF _Tc8438 \h 8
\l "_Tc11303" 题型十：斜率复合型 PAGEREF _Tc11303 \h 10
\l "_Tc6027" 题型十一：切线型 PAGEREF _Tc6027 \h 10
\l "_Tc12390" 题型十二：三角函数型转化难题 PAGEREF _Tc12390 \h 12
\l "_Tc3820" 题型十三：韦达定理不能直接用：定比分点 PAGEREF _Tc3820 \h 13
\l "_Tc2442" 题型十四：非对称型 PAGEREF _Tc2442 \h 14
\l "_Tc25297" 题型十五：点代入型 PAGEREF _Tc25297 \h 15
题型一： 大题基础：五个方程
基本模板实战模板
1、设点，
2、方程1：设直线：-----此处还有千言万语，在后边分类细说。
3、方程2：曲线：椭圆，双曲线，抛物线，或者其他（很少出现），注意一个计算技巧，方程要事先去分母
4、方程3:联立方程，整理成为关于x(或者y）的一元二次方程。要区分，椭圆，双曲线，和抛物线联立后方程
的二次项能否为零-----这就是实战经验。
5、（1）； （2）二次项系数是否为0；------这两条，根据题确定是直接用，或者冷处理。但是必须考虑。
6、方程4、5：韦达定理
7、寻找第六个方程，第六个方程其实就是题目中最后一句话
1．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率.
2．（2022·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知椭圆C的左焦点为F，过F作直线l与椭圆C交于A、B两点，若弦中点在直线上，求直线l的方程．
3．（2024·四川南充·一模）已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率.
4．（24-25高三上·广东惠州·期中）已知双曲线及直线.
(1)若与有两个不同的交点，求实数的取值范围；
(2)若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值.
题型二：直线横截式
（1）直线AB方程为，联立曲线方程，
结合韦达定理化简整理得到只关于t、m的方程，即可求出t、m的关系，即可进一步讨论直线AB过定点的情况；
（2）设直线时注意考虑AB斜率不存在的情况，联立方程也要注意讨论判别式.
1．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为.过点的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线的斜率分别为．(1)若，求：；
(2)证明：为定值．
2．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．
3．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知焦距为的椭圆的右焦点为，右顶点为，过F作直线与椭圆交于、两点（异于点），当轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：是钝角．
4．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知椭圆：的右焦点F在直线上，A，B分别为的左、右顶点，且.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线交C于M，N两点，使得直线，的斜率之和等于-1？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
题型三：直线“双变量”型过定点
当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，依旧得讨论k是否存在情况
当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。
（1）
（2），此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。
（3）设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。如第1题。
（4）重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律：
一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。
1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线．
(1)求的方程；
(2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点．
2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点，
(1)若为的中点，为坐标原点，，求实数的值；
(2)若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标．
3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，点在上.
(1)求的方程；
(2)设的右顶点为，点，是椭圆上的两点（异于顶点），若直线，与轴交于点，，若，求证：直线恒过定点.
4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，点在圆上运动，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)设与轴交于两点（A在点左侧），直线交于两点（均不在轴上），设直线的斜率分别为，若，证明：直线过定点．
题型四：面积最值范围型
求最值求范围，属于前边知识额综合应用，主要是以下两点要注意
注意变量的范围。
式子转化为求值域或者求最值的专题复习
一些常见的思维：
1.可以借助均值不等式求最值。
2.分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的。
分式型：以下几种求最值的基本方法
（1）
（2）与型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求解。
（3）型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知为坐标原点，双曲线的焦距是实轴长的倍，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于两点，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值．
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切．
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值．
3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）平面内有一点和直线，动点满足：到点的距离与到直线的距离的比值是.点的运动轨迹是曲线，曲线上有四个动点.
(1)求曲线的方程；
(2)若在轴上方，，求直线的斜率；
(3)若都在轴上方，，直线，求四边形的面积的最大值.
4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为和，焦距为2.动点在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过原点作的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线的斜率分别记为.当点在椭圆上运动时，
①证明：恒为定值，并求出这个值；
②求四边形面积的最大值.
题型五：面积比值范围型
1．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率，且上的点到点的距离的最大值为.
(1)求的方程；
(2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为.
①试证直线恒过定点；
②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围.
2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且焦距为4，左顶点为E，过右焦点的动直线l交C于A，B两点，当l垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)若动直线l与C的左支交于点A，右支交于点B，求的取值范围．
3．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆交于两点，当时，求实数的值；
(3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.
4．（23-24高三上·浙江·开学考试）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，抛物线的焦点为，抛物线的弦和椭圆的弦交于点，且为的中点.
(1)求的值；
(2)记的面积为的面积为，求的最小值.
题型六：定值型
求定值问题常见的思路和方法技巧：
从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
求定值题型，运算量大，运算要求高，属于中等以上难度的题
1．（2024·湖南衡阳·一模）如图，已知点、分别是椭圆的左、右焦点，点是负半轴上的一点，，过点的直线与交于点与点.

(1)求面积的最大值；
(2)设直线的斜率为和直线的斜率为，椭圆上是否存在点，使得为定值，若存在，求出点与值，若不存在，请说明理由.
2．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆常数，点为坐标原点．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；
(3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．
3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆分别与轴正半轴交于两点，为圆上的动点.
(1)若线段AP上有一点，满足，求点的轨迹方程;
(2)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程;
(3)若为圆上异于的动点，直线AP与轴交于点，直线BP与轴交于点，求证:为定值.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点．

(1)求证：；
(2)求证：为定值，并求出该定值；
题型七：斜率“和”型
给定椭圆，与椭圆上定点P，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有
1．（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·山东淄博·二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．
4．（2024·四川宜宾·三模）已知椭圆E：的左右焦点分别为，，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点，且．
(1)求直线与的交点N的轨迹M的方程；
(2)若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为，，，，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，满足，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
题型八：斜率“积”型
1．（2025·广东·一模）设两点的坐标分别为. 直线相交于点，且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为.
(1)求;
(2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值.
3．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程；
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点．
题型九：斜率“比值”型
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F.
(1)求W的方程；
(2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长；
(3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值.
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值.
3．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．
(1)求的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
4．（2024·广西·模拟预测）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆C的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为.

(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线交椭圆C于两点，直线交轴于，过分别作的垂线，交于两点，为上除点的任一点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）设直线、、的斜率分别为、、，求的值.
题型十：斜率复合型
1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆分别为椭圆的左､右顶点，分别为椭圆的左､右焦点，斜率存在的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为.
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围.
3．（2023·广东·模拟预测）已知点为椭圆：上的一点，点．
(1)求C的离心率；
(2)若直线l交C于M，N两点（M，N不与点B重合），且直线BM，BN，MN的斜率满足，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
3．（2024·四川南充·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在运动过程中，总满足关系式.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点作两条斜率分别为的直线和，分别与交于和，线段和的中点分别为，若，证明直线过定点.
4．（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点．
(1)求的值；
(2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
题型十一：切线型
在利用椭圆（双曲线）的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；
（2）椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切.
双曲线的以为切点的切线方程为
抛物线的切线：
（1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：；
（2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．
1．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.
(1)设直线，的斜率分别为，，证明：；
(2)设线段AB的中点为N，求的取值范围.
2．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知为椭圆C：上的点，C的焦距为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，求的取值范围．
3．（24-25高三上·上海·开学考试）已知双曲线的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线上的动点，点.
(1)求点M到的两条渐近线的距离之积；
(2)求经过点Q的双曲线的切线方程；
(3)设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作的两条切线，分别与y轴交于点E，F（E在F的上方），证明：.
4．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线x=−1的距离.
(1)求M的轨迹方程；
(2)P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求的最小值.
题型十二：三角函数型转化难题
在一直一曲五个方程（韦达定理代入型）题型中，主要的难点在于怎么转化出“第六个方程”。
具有明显的可转化为韦达定理特征的。属于较容易的题。
隐藏较深的条件，需要用一些技巧，把条件转化为点坐标之间的关系，再转化为韦达定理。
没有固定的转化技巧，可以在训练中积累相关化归思想。
1．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为点F，椭圆上顶点为点A，右顶点为点B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)是否存在过原点O的直线l，使得直线l与椭圆在第三象限的交点为点C，且与直线AF交于点D，满足，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
2．（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线的准线过点，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值.
3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C：过定点，过点的两条动直线交椭圆于Ax1,y1,Bx2,y2，直线的倾斜角互补，为椭圆C的右焦点.
(1)设是椭圆的动点，过点作直线的垂线为垂足，求.
(2)在中，记，若直线AB的斜率为，求的最大值.
4．（2024·广东湛江·一模）已知为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右顶点，且直线与的斜率之和为．
(1)求双曲线的方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线的倾斜角分别为和，且，证明：直线过定点．
题型十三：韦达定理不能直接用：定比分点
若有
1.利用公式，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根
定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足）
可以利用公式，可消去
1．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，与直线交于点.设，证明：为定值.
2．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，两焦点，与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线交于点D．
①设内切圆的圆心为I，求的最大值；
②设，，证明：为定值．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知点关于坐标原点对称，过点且与直线相切.
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)是否存在与圆相切且斜率大于0的直线，满足：与曲线交于两点，与轴交于点，且？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由.
4．（2024·贵州·三模）已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于两点.
(1)点能否是线段的中点？请说明理由；
(2)若点都在双曲线的右支上，直线与轴交于点，设，求的取值范围.
题型十四：非对称型
平移齐次化的步骤，
（1）平移；
（2）与圆锥曲线联立并其次化；
（3）同除；
（4）利用根与系数的关系进行证明结论；如果是过定点的问题还需要平移回去.
1．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为.
(1)求的方程.
(2)设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点（不同于左右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，则是否存在实常数，使得恒成立.
2．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知椭圆E的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E上，，的周长为，面积为．
(1)求椭圆E的方程．
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），记直线AC的斜率为，直线BD的斜率为，问是否存在实常数，使得，恒成立？若成立，求出的值，若不成立，说明理由．
3．（2019·北京丰台·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为.过右焦点的直线交椭圆于两点（均不与重合），记直线的斜率分别为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在常数，当直线变动时，总有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
4．（23-24高二下·浙江·期中）如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“孪生”曲线，若双曲线与椭圆是“孪生”曲线，且椭圆，（分别为曲线的离心率）
(1)求双曲线的方程；
(2)设点分别为双曲线的左、右顶点，过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为
①是否存在实数，使得，若存在求出的值；若不存在，请说明理由；
②试探究的取值范围．
题型十五：点代入型
1．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知椭圆左､右顶点分别为，短轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若第一象限内一点在椭圆上，且点与外接圆的圆心的连线交轴于点，设，求实数的值.
2．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）设两点的坐标分别为，．直线相交于点，且它们的斜率之积是．
(1)求点的轨迹方程．
(2)若，在的轨迹上任取一点（异于点），求线段长的最大值．
3．（2024高三·广西·阶段练习） 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线与椭圆C相交于AB两点，当斜率为1时，坐标原点O到的距离为
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？
若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
4．（2024·全国·一模）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M
（1）求点M到抛物线C1的准线的距离；
（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．