专题25 排列组合二项式定理归类 -2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24051" 题型一：有顺序模型：书架插书法 PAGEREF _Tc24051 \h 1
\l "_Tc7865" 题型二：先分组再排列：球放盒子模型 PAGEREF _Tc7865 \h 2
\l "_Tc22611" 题型三：不相邻与相邻型：人坐座位模型 PAGEREF _Tc22611 \h 2
\l "_Tc5701" 题型四：多重限制模型 PAGEREF _Tc5701 \h 3
\l "_Tc14098" 题型五：相同元素模型：数字化法 PAGEREF _Tc14098 \h 4
\l "_Tc15637" 题型六：平均分配型 PAGEREF _Tc15637 \h 6
\l "_Tc15400" 题型七：空车位型 PAGEREF _Tc15400 \h 6
\l "_Tc2248" 题型八：地图染色 PAGEREF _Tc2248 \h 7
\l "_Tc3538" 题型九：走楼梯型 PAGEREF _Tc3538 \h 8
\l "_Tc9382" 题型十：挡板法 PAGEREF _Tc9382 \h 9
\l "_Tc31299" 题型十一：公交车与电梯型 PAGEREF _Tc31299 \h 9
\l "_Tc18257" 题型十二：立体几何空间型 PAGEREF _Tc18257 \h 10
\l "_Tc25066" 题型十三：跳棋模型 PAGEREF _Tc25066 \h 11
\l "_Tc2693" 题型十四：不定方程模型 PAGEREF _Tc2693 \h 12
\l "_Tc28276" 题型十五：二项式：赋值法 PAGEREF _Tc28276 \h 12
\l "_Tc5269" 题型十六：换元型赋值 PAGEREF _Tc5269 \h 13
\l "_Tc10970" 题型十七：系数最大 PAGEREF _Tc10970 \h 14
\l "_Tc4798" 题型十八：三项式展开 PAGEREF _Tc4798 \h 15
题型一：有顺序模型：书架插书法
“书架插书”模型
书架插书法：
、书架上原有书的顺序不变；
（2）、新书要一本一本插；
（3）、也可以把有顺序的“书”最后放，先放没顺序得，但是得从“总座位”中选（百分比法）
1．（22-23高二下·云南·期中）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
A．42B．30C．20D．12
2．（21-22高二上·黑龙江鹤岗·期末）有10本不同的书紧贴着依次立放在书架上，摆成上层3本下层7本，现要从下层7本中任取2本再随机分别调整到上层，若其他书本的相对顺序不变，则上层新增的2本书不相邻的概率为
A．B．C．D．
3．（21-22高二·全国·课后作业）书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为（ ）.
A．60B．120C．336D．504
4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有 种不同的插法（具体数字作答）
5．（23-24高二下·四川广安·期中）班会课上原定有3位同学依次发言，现临时加入甲、乙2位同学也发言，若保持原来3位同学发言的相对顺序不变，且甲、乙的发言顺序不能相邻，则不同的发言顺序种数为 （用数字作答）
题型二：先分组再排列：球放盒子模型
先分组后排列模型：又称“球放盒子”
基础型：幂指数型
如四个不同的球放三个不同的盒子，有多少种方法？
特征：
1.先分组再排列（尽量遵循这个，否则容易出现重复）
2.分组时候要注意是否存在“平均分配”的情况
1．（2023·广西南宁·一模）将红、黑、蓝、黄个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023高三·全国·专题练习）将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（ ）
A．15B．30C．20D．42
3．（20-21高二下·广东深圳·阶段练习）设有编号为1，2，3，4，5的5个小球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个小球放入5个盒子中．每个盒子内投入1个球，并且至多有1个球的编号与盒子的编号是相同的，则有（ ）投放方法
A．45种B．53种C．96种D．89种
4．（22-23高三上·河北·阶段练习）桌子上有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球，2个白球，随机拿起两个球放入一个盒子中，则放入的球均是红球的概率为 ．
5．（22-23高二下·浙江温州·期中）4个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子中球的个数不大于盒子的编号，则共有 种方法（用数字作答）．
题型三：不相邻与相邻型：人坐座位模型
一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列
特征：
相邻：捆绑法------捆绑的新的“大人”内部有排列（小排列）
不相邻：插空法，一般不相邻插入别的空隙
限制条件较多。特多的限制条件，称为“多重限制型题”，要有“主次”。属于超难题
1．（22-23高二下·湖南长沙·期末）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（ ）
A．144B．288C．576D．720
3．（21-22高二下·福建泉州·期中）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（ ）
A．24B．48C．144D．244
4．（24-25高三·上海·课堂例题）、、、、五人排成一排，如果必须站在的右边，且、不相邻，则不同的排法共有 种．
5．（23-24高二下·浙江·期中）甲乙丙丁戊5个人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相邻，则共有 种不同的排法.
题型四：多重限制模型
多重限制型，属于“人坐座位”模型
特征：
一人一位；
有顺序；
座位可能空；
人是否都来；
要时，座位拆迁，剩余座位随人排列
难题特征：
相邻：捆绑法------捆绑的新的“大人”内部有排列（小排列）
不相邻：插空法
限制条件较多。特多的限制条件，称为“多重限制型题”，属于超难题
1．（22-23高二下·河南开封·期中）三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有
A．72种B．108种C．36种D．144种
2．（21-22高三上·北京通州·期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种B．240种C．192种D．120种
3．（22-23高二下·湖南·期末）弘扬国学经典，传承中华文化，国学乃我中华民族五千年留下的智慧精髓，其中“五经”是国学经典著作，“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》．小明准备学习“五经”，现安排连续四天进行学习且每天学习一种，每天学习的书都不一样，其中《诗经》与《礼记》不能安排在相邻两天学习，《周易》不能安排在第一天学习，则不同安排的方式有（ ）
A．32种B．48种
C．56种D．68种
4．（2024高三下·江苏·专题练习）阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有 种（用数字作答）.
5．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数 ．
题型五：相同元素模型：数字化法
数字化法：
标记元素为数字或字母，重新组合。
特别适用于“相同元素”
1．（2022·新疆·一模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（ ）条．
A．23B．24C．25D．26
3．（2016·全国·高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24B．18C．12D．9
4．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，小明从街道的出发，选择一条最短路径到达处，但处正在维修不通，则不同的路线有（ ）种

A．66B．86C．106D．126
5．（21-22高二下·黑龙江双鸭山·阶段练习）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型六：平均分配型
平均分成几组，就除以几组数的阶乘，如果既有平均分组又有不平均分组的，也要除以相同组的组数的阶乘
1．（【全国校级联考】山西省临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学2016-2017学校高二4月联考数学（理）试题）某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为
A．4680B．4770C．5040D．5200
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．（20-21高二·全国·单元测试）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（ ）
A．150B．240C．390D．1440
5．（2024高三·全国·模拟） 3名医生和6名护士分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，有 种分配方法.
题型七：空车位型
1．（21-22北京模拟）一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有
A．6种B．12种C．36种D．72种
2．（22-23高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众前来就座，若他们每两人都不能相邻，且要求每人左右至多两个空位，则不同的坐法共有
A．36种B．42种C．48种D．96种
3．（22-23高二下·河北·期末）一条长椅上有6个座位，3个人坐．要求3个空位中恰有2个空位相邻，则坐法的种数为（ ）
A．36B．48C．72D．96
4．（16-17高二下·陕西西安·期中）某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是
A．48B．54C．72D．84
5．（20-21高二·全国·课后作业）地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有 种.
题型八：地图染色
染色问题，要从“颜色用了几种”，“地图有没有公用区域”方向考虑：
1.用了几种颜色。如果颜色没有全部用完，就要有选色的步骤
2.尽量先从公共相邻区域开始。所以要观察“地图”是否可以“拓扑”转化
染色的地图，还要从“拓扑结构”来转化
以下这俩图，就是“拓扑”一致的结构
1．（2022·浙江·模拟预测）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96B．144C．240D．360
2．（22-23高二下·上海嘉定·阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）

A．120B．420C．300D．以上都不对
3．（23-24高二下·湖南·阶段练习）给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（ ）
A．120种B．720种C．840种D．960种
4．（22-23高三浙江·模拟）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（ ）
A．72B．96C．108D．144
5．（23-24高二下·山西临汾·期中）如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有 种不同的涂色方法.

题型九：走楼梯型
走楼梯模型，可以转化为“数字化”模型：
一步一阶设为数字1，一步两阶设为数字2，一步n阶，记为数字n，则把n
阶台阶，变为数字“和”形式。
要注意数字的奇偶时是否能取到
1．（20-21高二·全国·单元测试）某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f（1）种走法，从平地上到第二级台阶时有f（2）种走法……则他从平地上到第n级(n≥3)台阶时的走法f(n)等于（ ）
A．f(n-1)+1B．f(n-2)+2
C．f(n-2)+1D．f(n-1)+f(n-2)
2．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（ ）
A．45种B．36种C．28种D．25种
3．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibnacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共6级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（ ）
A．20B．13C．12D．15
4．（22-23高三下·重庆渝中·阶段练习）某楼梯一共有8个台阶，甲同学每步可以登一个或两个台阶，一共用6步登上该楼梯，则甲同学登上该楼梯的不同方法数是（ ）
A．10B．15C．20D．30
5．（22-23·江西·阶段练习）某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．
题型十：挡板法
挡板法，适用于“相同元素”分配。如三好学生指标，相同小球，各种指标名额等等
1．（20-21高二·全国·单元测试）将20个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为（ ）
A．1615B．1716
C．286D．364
2．（22-23高二下·安徽合肥·期末）将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（ ）
A．840B．35C．20D．15
3．（21-22高三上·山东·期中）将10个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为（ ）
A．10B．12C．13D．15
4．（2023高三·全国·模拟）把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第个盒子中至少有个球（），则不同放法的总数是
A．B．C．D．
5．（21-22高二下·重庆万州·期中）将个完全相同的小球放入编号分别为的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为 .
题型十一：公交车与电梯型
公交车与电梯模型，可以转化为球放盒子，然后先分组后排列。
要注意是否需要剔除掉“空”盒子
1．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）车上有6名乘客，沿途有3个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（ ）
A．B．C．120D．20
2．（20-21高二上·全国·单元测试）某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）
A．510种B．105种
C．50种D．3 024种
3．（2020·四川达州·三模）有3人同时从底楼进入同一电梯，他们各自随机在第2至第7楼的任一楼走出电梯．如果电梯正常运行，那么恰有两人在第4楼走出电梯的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022高二下·浙江宁波·学业考试）通苏嘉甬高速铁路起自南通西站， 经苏州市、嘉兴市后跨越杭州湾进入宁波市， 全线正线运营长度， 其中新建线路长度， 是《中长期铁路网规划》中 “八纵八横”高速铁路主通道之一的沿海通道的重要组成部分， 是长江三角洲城市群的重要城际通道， 沿途共设南通西、张家港、常熟西、 苏州北、汾湖、嘉兴北、嘉兴南、海盐西、慈溪、庄桥等 10 座车站.假设甲、乙两人从首发站（南通西） 同时上车， 在沿途剩余9站中随机下车， 两人互不影响， 则甲、乙两人在同一站下车的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（20-21高三上·陕西西安·阶段练习）汽车上有5名乘客，沿途有3个车站，每人在3个车站中随机任选一个下车，直到乘客全部下车，不同的下站方法有 种．（用数字作答）
题型十二：立体几何空间型
立体型结构，可以“拍扁了”，“拓扑”为平面型染色，这是几何体染色的一个小技巧
所以注意这类图形之间的互相转化
1．（21-22高二下·安徽安庆·期中）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）

A．120B．96C．72D．48
2．（20-21高二下·福建莆田·期中）正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（ ）种.
A．420B．600C．720D．780
3．（23-24·安徽·练习）如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有
A．24种B．18种C．16种D．12种
4．（2022·江西抚州·模拟）已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为( )
A．12B．24C．36D．48
5．（22-23高二下·山东·阶段练习）现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同.若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．720种B．780种C．600种D．660种
题型十三：跳棋模型
1．（22-23·全国·模拟）一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有种.
A．105B．95C．85D．75
2．（23-24高三上·河南漯河·期末）一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过4次飞行后，停在位于数轴上实数3的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有（ ）
A．22B．24C．26D．28
3．（19-20高三上·北京大兴·期末）动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（ ）
A．7B．9C．11D．13
4．（2023全国阶段练习） 一个质点从原点出发,每秒末必须向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度,则此质点在第秒末到达点的跳法共有（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·湖北黄冈·模拟）点从原点出发，每步走一个单位，方向为向上或向右，则走10步时，所有可能终点的横坐标的和为
A．66B．45C．55D．72
题型十四：不定方程模型
1．（22-23高二下·江苏徐州·期中）已知空间直角坐标系中，，三棱锥内部整数点（所有坐标均为整数的点，不包括边界）的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏盐城·模拟预测）设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（ ）
A．833B．884C．5050D．5151
3．（22-23全国模拟）已知，则满足的有序数组共有（ ）个
A．B．C．D．
4．（·北京·强基计划）满足不等式的有序整数组的数目为（ ）
A．228B．229C．230D．231
5．（2018高三·全国·竞赛）是一个正整数，的整数组解的数目是
A．4的倍数B．6的倍数
C．2的倍数D．8的倍数
题型十五：二项式：赋值法
赋值法原理：
1．（2024高三·全国·专题练习）若，则的值为（ ）
A．0B．C．1D．
2．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·广东广州·期中）已知，其中，则（ ）
A．16B．32C．24D．48
4．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知，若，则（ ）
A．240B．－240
C．280D．－280
5．（2024全国·模拟）若，则（ ）．
A．B．C．D．
题型十六：换元型赋值
换元赋值法原理
可以通过令x+1=t，化为简单形式
1．（2024·湖南常德·三模）已知，则=（ ）
A．9B．10C．18D．19
2．（2024·全国·模拟预测）已知，若，且，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·山东潍坊·三模）已知 x+3x+28=a0+a1x+1+a2x+12+⋯+a8x+18+a9x+19 ，则 a8=（ ）
A．8B．10C．28D．29
5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．14C．D．7
题型十七：系数最大
1．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项
A．2B．3C．4D．5
3．（23-24河北模拟）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）的展开式中，二项式系数最大且系数较大的项的系数为（ ）
A．40B．C．80D．
5．（2024·浙江·模拟预测）已知的展开式中的系数是，则各项系数最大的是
A．B．C．D．
题型十八：三项式展开
三项展开式的通项公式：
1．（2024·河北沧州·二模）在的展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏苏州·三模）记“的不同正因数的个数”，“的展开式中项的系数”，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）的展开式中的系数是（ ）
A．5B．10C．20D．60
4．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中项的系数为（ ）
A．280B．C．448D．
5．（2024·江苏南京·模拟预测）的展开式中，的系数为（ ）
A．60B．C．120D．