湖南省怀化市第三中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. 若集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（ ）
A. 14B. 34C. 41D. 86
4. 人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为，.某同学根据所学知识，得到下列结论:
①卫星向径的取值范围是
②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
其中正确的结论是（ ）
A ①②B. ①③C. ②④D. ①③④
5. 若给定一向量组和向量，如果存在一组实数，使得，则称向量能由向量组A线性表示，或称向量是向量组A的线性组合，若
为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
6. 设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（ ）
A. 3B. C. 2D.
7. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在，使得成立B. 存在，使得成立
C. 存在，使得在上单调递减D. 若存在，使得，则必有
8. 已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
9 已知函数，则（ ）
A.
B. 的值域为
C. 是R上的减函数
D. 不等式的解集为
10. 如图，已知正方体的棱长为，E是棱CD上的动点.则下列结论中正确的有（ ）

A.
B. 二面角的大小为
C. 三棱锥体积的最小值为
D. 平面
11. 已知方程，下面四个命题是真命题的是（ ）
A. 当时，（*）表示一个圆
B. 当时，（*）的曲线关于直线对称
C. 当时，（*）的曲线具有中心对称性
D. 当时，的最大值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人中至少有一人达标的概率是________．
13. 已知点在双曲线上，在双曲线上，且满足，直线，的斜率之积为，则，的离心率之积等于______.
14. 已知，数列满足.若对任意正实数λ，总存在和相邻两项，使得成立，则实数最小值为___________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正三棱柱中，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
16. 数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令，并将数列称为的“生成数列”．
（1）设数列的“生成数列”为，求证：；
（2）若，求其生成数列前项和．
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求角B的大小；
（2）若AC边上的高，求的面积．
18. 已知，，，且．
（1）求动点C的轨迹E；
（2）若点为直线l：上一动点，过点P引轨迹E的两条切线，切点分别为A、B，两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求面积的最小值．
19. 已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆是以椭圆的焦距为直径的圆，点是椭圆的右顶点，过点的直线与圆相交于，两点，过点的直线与椭圆相交于另一点，若，求面积的取值范围.