湖南省岳阳市汨罗市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 以下选项中，是集合的元素的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】逐个验证即可.
【详解】对于A：满足，
对于B: ，错误；
对于C: ，错误；
对于D: ，错误；
故选：A
2. 若，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可.
【详解】充分性：因为，且，所以，
所以，所以充分性成立；
必要性：因为，且，所以，
即，即，所以，
所以必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
故选：.
3. 已知为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 8D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值．
【详解】根据题意，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：C
4. 已知，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
则，即的取值范围是.
故选：C.
5. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题设得，化弦为切求目标式的值.
【详解】由题设，又.
故选：D
7. 已知，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用配方法可得答案.
【详解】，
其图象是对称轴为，开口向上的抛物线，
所以当时，有最小值，为，
当时，有最大值，为，
则的取值范围为.
故选：C.
8. 已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可.
【详解】因为，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，
函数的最大值，所以，舍去；
当时，，符合题意；
当时，，
则或，
解得或，
综上，实数的取值范围是.
故选：.
【点睛】关键点点睛：根据对勾函数可得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行分类讨论，分，，三种情况逐一分析.
二、多选题（共20分）
9. 已知正数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于选项A：利用基本不等式即可判断；
对于选项B：利用“1”的妙用，即可判断；
对于选项C：利用基本不等式即可判断；
对于选项D：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断；
【详解】对于选项A：因，则，当且仅当，
即时取等号，故选项A正确；
对于选项B：，
当且仅当，即时取等号，故选项B错误；
对于选项C：由选项A可知，所以，
当且仅当，即时取等号，故选项C正确；
对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误.
故选：AC.
10. 以下说法正确的有（ ）
A. 设，则
B. 函数的图象与函数的图象关于直线对称
C. 若是偶函数，则
D. 函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在
上没有零点
【答案】AC
【解析】
【分析】由对数、指数的运算可判断A，由函数图象平移可判断B，由偶函数的定义可判断C，通过反例可判断D.
【详解】A，由，可得：，则，所以，A正确；
B，函数和的图象关于直线对称，
函数的图象可由的图象左移1个单位得到，
函数图象可由的图象右移2个单位得到，
所以函数和的图象关于直线对称，B错误；
C，的定义域是，由于是偶函数，
所以，即，
所以，解得，
经验证符合题意，C正确；
D，函数在区间上的图象是一段连续曲线，
如果，则函数在上可能有零点，
例如在，故D错误.
故选：AC.
11. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由已知可得，可判断A；利用基本不等式的性质计算可判断BCD.
【详解】因为，所以，所以，
所以，故A错误；
所以，所以，
所以，则，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，故D错误.
故选：BC.
12. 已知定义在上的奇函数满足，若，则（ ）
A. 4为的一个周期B. 的图象关于直线对称
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证，即可得出答案.
【详解】对于A：函数为奇函数，则，
则，
则的一个周期为4，故A正确；
对于B：，则函数关于对称，故B正确；
对于C：的一个周期为4，
，
令中的，则，
函数为定义在上奇函数，
，
，故C正确；
对于D：的一个周期为4，
，
函数为奇函数，
，
，故D错误；
故选：ABC.
三、填空题（共20分）
13. 弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为__．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积.
【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为.
故答案为：
14. 已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件得到，且在上大于等于0恒成立，即可得到答案.
【详解】因为函数（且）在区间上单调递增，
在上单调递减，
所以，且在上大于等于0恒成立.
所以.
故答案为：
15. 已知函数，且时，，则的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合对数的运算性质求出，根据二次函数的对称性求出，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】作出函数的图象，如图所示，
因为时，，
由图可知，，
则，
即，所以，所以，
由函数关于对称，可得，
所以，
因为，所以，
即的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，结合对数的运算性质求出，根据二次函数的对称性求
出，是解决本题的关键.
16. 已知，若方程有四个根且，则取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，
因为方程有四个根且，
由图象可知，，可得，
则，
设，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性
质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
四、解答题（共70分）
17. 设集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】
（1）由集合描述求集合、，根据集合交运算求；（2）由充分不必要条件知⫋，即可求m的取值范围.
【详解】，
（1）时，，
∴；
（2）“”是“”的充分不必要条件，即⫋，
又且，
∴，解得；
【点睛】本题考查了集合的基本运算，及根据充分不必要条件得到集合的包含关系，进而求参数范围，属于基础题.
18. 已知函数．
（1）若函数的值域为，求a的取值范围；
（2）是否存在，使在上单调递增，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得函数的值域包含，进而结合求解即可；
（2）由题意可得函数在递减，且对于恒成立，进而列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
由函数的值域为，则函数的值域包含，
则，解得或，
即a的取值范围为.
【小问2详解】
不存在，理由如下：
由函数在上单调递增，
则函数在递减，且对于恒成立，
所以，无解，
所以不存在，使在上单调递增.
19. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，根据两角和的正切公式运算求解；
（2）根据诱导公式结合齐次式问题运算求解.
【小问1详解】
∵，则，
∴.
【小问2详解】
由（1）可得：，
故.
20. 已知函数，（且），且.
（1）求b的值，判断函数的奇偶性并说明理由；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）若关于x的方程有两个不同的解，求实数m的取值范围.
【答案】（1），函数为奇函数，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由解得b，由定义判断的奇偶性
（2）由对数函数单调性解不等式
（3）分析得，由参变分离法，原命题等价于有两个不同的解，令化简得，即可由数形结合法判断m的范围.
【小问1详解】
由得，故，.
为奇函数，理由如下：
定义域满足，即，
又，故为奇函数.
【小问2详解】
，，即，即，解得.
故不等式的解集为
【小问3详解】
的定义域为，，为增函数，∵，∴，∴.
经检验不符合方程，故可化为，
又，可化为，令，则.
∵关于x的方程有两个不同的解，即等价于在有两个不同的解，即等价于与的图象在有两个交点.
∵，当且仅当时等号成立，且在单调递减，在单调递增，，
故当与的图象在有两个交点时，，即.
故实数m的取值范围为.
21. 设矩形的周长为，其中.如图所示，为边上一动点，把四边形沿折叠，使得与交于点.设，.
（1）若，将表示成的函数，并求定义域；
（2）在（1）条件下，判断并证明的单调性；
（3）求面积的最大值.
【答案】（1），
（2）上单调递增，证明见解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）通过几何关系确定，利用R的三边关系建立，的关系，再利用，进而确定的范围即可.
（2）应用函数单调性的定义证明即可；
（3）设，将面积表示为，适当变形应用基本不等式求解最值即可.
【小问1详解】
解：根据题意，由，得，
由已知，故，
又因为
故在中，则，
即，整理得
又，则，故，
，所以，定义域为.
【小问2详解】
解：因为，，
任取，且，
则
因为，
所以，，
所以，
即在上单调递增.
【小问3详解】
解：易知，当点位于点时，面积最大.
此时再设，，那么，
由得，，
所以，的面积，
令，则，，
故
，
当且仅当，即，即时，等号成立，
故当时，的面积的最大值为.
22. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）奇函数，理由见解析
（2）在上是单调递增函数，证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解；
（2）利用函数的单调性定义求解；
（3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解.
【小问1详解】
是奇函数，理由如下：
由题意可知，，
因为的定义域为，且，
所以是奇函数.
【小问2详解】
在上是单调递增函数.
证明如下：
任取，设，则
.
因为，所以，
又因为，所以，
所以，即，
所以在上是单调递增函数.
【小问3详解】
由（1）（2）知是上单调递增的奇函数，
所以在上单调递增，
所以，
可以转化为，
可化为，
即，
①当时，不等式为，这时解集为；
②当时，解不等式得到；
③当时，解不等式得到.
综上，当时，解集；当时，解集为；当时，解集为.