（复习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第02讲 函数的性质及其应用（2份，原卷版+教师版）

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一、函数的单调性
（1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；
（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有
，那么就说函数在区间上是减函数.
（3）【特别提醒】
①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．
②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
【单调性常用结论】
1.∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数．
2.对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．
5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反．
6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．
二、函数的奇偶性
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
三、函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
四、函数的周期性
（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【奇偶性、对称性、周期性常用结论】
1.奇偶性技巧
（1）若奇函数在处有意义，则有；
（2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
2.周期性技巧
3.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
4.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
①函数的单调性
策略方法 1.定义法证明函数单调性的步骤
2.判断函数单调性的四种方法
(1)图象法；(2)性质法；(3)定义法．
【例1】下列函数中，在定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】函数的单调递减区间是（ ）
【变式1-2】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-5】已知函数满足对任意的都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
②函数的奇偶性
策略方法 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【例2】下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】设是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．1 C． D．
【变式2-2】若函数为偶函数，则b的值为（ ）
A．-1 B． C．0 D．
【变式2-3】函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】设函数，若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
③函数的周期性
策略方法 函数周期性的判断与应用
【例3】定义在上的函数满足，当时，；当时，，则
（ ）
A． B． C．0 D．
【变式3-1】已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】奇函数满足，当时，，则=（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
④函数的对称性
策略方法 函数图象的对称性的判断与应用
【例4】已知函数在区间上单调递减，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知函数，且是偶函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-4】已知是定义在R上的偶函数，其图象关于点对称，且当时，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
⑤函数性质的综合应用
【例5】已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．50
【变式5-1】已知函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列命题正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-2】已知定义在上的奇函数满足：的图象是连续不断的且为偶函数.若有，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】已知函数定义域为，且的图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，且，都有，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
函数的性质及其应用 随堂检测
1.函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（ ）
A．（2，） B． C． D．
2.已知函数，则函数（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5.已知是定义在上的奇函数，在上单调递增，，那么的解集是（ ）
A． B． C． D．
6.函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8.函数，则不等式的解集为 ．
9.已知函数是偶函数，其定义域为，则
10.已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 .
11.若函数是偶函数，且当时，有，则当时，的表达式为
12.已知a为正实数，且函数是奇函数．则的值域为 ．
13．若偶函数满足，当时，，则 ．
14.已知为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则满足的x取值范围为 ．
15.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
16.若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为 .
17.已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是 .
18.已知定义在上的函数，函数为偶函数，且对都有，若，则的取值范围是 ．
①函数的单调性
②函数的奇偶性
③函数的周期性
④函数的对称性
⑤函数性质的综合应用
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称