（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第01讲 平面向量的概念（2份，原卷版+教师版）

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一、向量的概念
（1）向量的概念
在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.
①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
②向量与向量之间不能比较大小.
（2）数量
只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等
（3）向量与数量的区别
①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小；
②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).
二、向量的几何表示
(1)有向线段
具有方向的线段叫做有向线段
①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作. 表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.
②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.
（2）向量的表示
①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.
②字母表示:向量可以用字母,,,…表示
（3）向量的模
向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
（4）两种特殊的向量
零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.
单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.
③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.
三、相等向量与共线向量
(1)平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
(2)相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
（3）共线向量
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.
共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.
题型一：向量的有关概念及辨析
策略方法
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
【例1】（多选）下列命题中正确的是
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．若与满足，且与同向,则
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【变式1-1】给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式1-2】（多选）下列说法错误的是（ ）
A．零向量没有方向 B．零向量与零向量共线
C．若，，则 D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
【变式1-3】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．四边形是平行四边形的充要条件
D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件
【变式1-4】下列结论正确的序号是 .
①若，都是单位向量，则；
②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量；
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；
④直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量.
【变式1-5】对下列命题：
（1）若向量与同向，且，则；
（2）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量，若与的方向相同，则；
（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；
（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．
其中正确的命题的个数为
题型二：相等向量与共线向量
策略方法
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量.
【例2】给出下列命题：
①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③；④．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2-1】已知两个非零向量与共线，下列说法不正确的是（ ）
A．或 B．与平行
C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得
【变式2-2】给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则. 其中的正确命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-3】已知四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为矩形
C．若，且，则四边形为矩形
D．若，且，则四边形为梯形
【变式2-4】（多选）下列命题中错误的有（ ）
A．起点相同的单位向量，终点必相同；
B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；
C．若，则；
D．若，则
【变式2-5】下列五个命题：
①向量与共线，则必在同一条直线上；
②如果向量与平行，则与方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；
④若，则、的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有 个.题型三：向量的表示与向量的模
策略方法
(1)向量的两种表示方法
①几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点.②字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量,如AB→,CD→,EF→等.
(2)向量的模也就是向量的长度,求解已知图形中的向量的模的问题,一般转化为求图形中线段的长度问题.
【例3】下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动B．是单位向量，则
C．D．若，则
【变式3-1】如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 .
【变式3-2】在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是 .
【变式3-3】在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
【变式3-4】一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
平面向量的概念 随堂检测
1.下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0B．1C．2D．3
2.下列说法正确的是（ ）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段和有向线段的长度相等
3.下列说法错误的是（ ）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
4．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）

A．与B．与C．与D．与
5.如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B． C． D．
6．(多选)下列命题的判断正确的是（ ）
A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上
B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线
C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线
D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上
7．（多选题）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C．的充要条件是且
D．已知λ，μ为实数，若，则与共线
8.下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向B．若，则
C．若，，则D．若，，则
9.下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
10.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．2
11.下列命题中，正确的是 （填序号）.
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
12.如图所示，在中，分别为的中点．图中与相等的向量为 ．
13.四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是 ．
①；②；③；④．
14.已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
15.在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？

①向量的有关概念及辨析
②相等向量与共线向量
③向量的表示与向量的模