（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第04讲 平面向量的数量积（2份，原卷版+教师版）

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一、平面向量数列积的物理背景
如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功.其中是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.
从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量.
二、向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角.
(2)向量的夹角范围.
(3)特殊情况：
①，与同向；②，与垂直，记作；③，与反向.
三、平面向量数量积的概念
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).
记作：，即.规定：零向量与任一向量的数量积为0
注:①“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”；②数量积的结果为数量,不再是向量；
③向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零.
（2）投影
如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
注:①为向量在上的投影的数量；②为向量在上的投影的数量；
③投影的数量（）是一个值，不是向量.
四、平面向量数量积的性质
设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则
①.
②.
③当与同向时,；
④当与反向时,；
⑤ 或；
⑥；
⑦.
五、向量数量积的运算律
①交换律：
②对数乘的结合律：
③分配律：
④
⑤
题型一：平面向量的数量积的概念
策略方法
【例1】已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】直接利用平面向量的数量积公式，即可求得本题答案.
【详解】，故选：C
【变式1-1】在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.
【详解】∵，向量与的夹角为120°，∴.
故选：D
【变式1-2】在三角形中，，，，则（ ）
A．10 B．12 C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的数量积公式求得结果.
【详解】记，则，，，
．故选：A.
【变式1-3】在中，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】D
【分析】由，可得，分析即得解.
【详解】由题意，，，又，
为锐角，但另外两角不能确定，故的形状不能确定.故选：D.
【变式1-4】式已知在ABC中，AB＝AC＝4，，则ABC的形状是 ，＝ .
【答案】等边三角形 -8
【分析】（1）化简得∠BAC＝60°，即得三角形形状；
（2）直接利用向量的数量积公式求解.
【详解】由题得，所以8＝4×4cs ∠BAC，于是cs ∠BAC＝，
因为0°