（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第07讲 平面向量数量积的坐标表示（2份，原卷版+教师版）

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一、平面向量数量积的坐标表示
在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
二、两个向量平行、垂直的坐标表示
已知非零向量，
（1）．
（2）
三、向量模的坐标表示
（1）向量模的坐标表示
若向量，由于，所以．其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
（2）两点间的距离公式
已知原点，点，则，于是．
其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．
（3）向量的单位向量的坐标表示：设，表示方向上的单位向量
四、两向量夹角余弦的坐标表示
已知非零向量，是与的夹角，则．
五、数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
题型一：平面向量数量积的坐标表示
策略方法 平面向量数量积的三种运算方法
【例1】已知，，若，则x等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】由平面向量的坐标运算即可得出答案.
【详解】由题意，，，，，解得：.故选：C.
【变式1-1】已知（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平面向量的坐标的加减运算及数量积公式求解结果.
【详解】，，.故选：A.
【变式1-2】已知向量，，，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据数量积的坐标运算可得，结合二次函数运算求解.
【详解】由题意可得：，当时，则取到最小值.故选：A.
【变式1-3】在矩形ABCD中，若，，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】建立如图所示坐标系，设，，，，，，由可得： ，，由，可得，解得，或舍去，则．故选：D．

【变式1-4】如图所示，为正三角形，，则 ．

【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，把数量积运算转化为坐标运算.
【详解】如图建立平面直角坐标系，

易知：，∴，∴
故答案为：
【变式1-5】在边长为的正方形中，是中点，则 ；若点在线段上运动，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据题意，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
根据题意，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
因为正方形的边长为，且是中点，则，
则，所以；设，其中，
则，则，所以，，
则，，
其中，，当时，有最小值为.所以的最小值是.
故答案为：30；
题型二：坐标表示中的垂直问题
策略方法
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【例2】已知向量．若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据向量减法的坐标运算和向量垂直的数量积表示即可求值.
【详解】由向量，则
因为，所以，解得.故选：A
【变式2-1】已知向量，，若实数λ满足，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先表示出的坐标，然后根据垂直关系得到的方程，由此求解出结果.
【详解】因为，且，所以，所以，
故选：A.
【变式2-2】已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用坐标表示向量，根据向量垂直的坐标运算建立方程，并化简得结果.
【详解】法一：用坐标表示向量
由题意可知，，由得，
，整理得，，所以．则A对；
法二：因为向量，所以，又，
所以，所以.故选：A．
【变式2-3】已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为 .
【答案】
【分析】首先求出，，再根据向量垂直得到，即可求出，最后根据计算.
【详解】因为，，则，，
又，所以，即，解得，所以，
则向量在向量方向上的投影向量为.故答案为：
【变式2-4】已知为平面向量，且.
(1)若，且与垂直，求实数的值；
(2)若，且，求向量的坐标.
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）利用向量运算的坐标表示，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，求解作答.
（2）利用向量共线设出的坐标，利用坐标求模，列式计算作答.
【详解】（1）因为，所以，
又因为与垂直，所以，即，得，所以.
（2）因为得，又因为，所以，
即，所以，故或.
题型三：坐标表示中的模长问题
策略方法
求向量模的方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(2)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2)．
【例3】已知向量，，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】由题意知，所以，故选：D．
【变式3-1】已知向量，.若与垂直，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，再由向量的坐标求模即可.
【详解】因为与垂直，，，所以，解得，
所以，故.故选：B
【变式3-2】已知平面向量，，满足，，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的垂直和数量积的坐标表示求出，再用坐标公式求模即可.
【详解】设，则，可得，所以.故选:A
【变式3-3】已知平面向量，，，的夹角为60°，，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】平方后由平面向量数量积的运算律求解，
【详解】因为，所以.即，解得，
故选：C.
【变式3-4】已知向量，的夹角为，且．
(1)若，求的坐标；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)或；(2).
【分析】（1）设出的坐标，利用向量模的坐标表示及数量积的定义列式求解作答.
（2）利用垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律建立函数关系，求出最小值作答.
【详解】（1）设，由，得，即，
而向量，的夹角为，则，又，
即，解得，于是，即有或，所以的坐标是或.
（2）由，得，即，因此，，
因此
，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
题型四：坐标表示中的夹角问题
策略方法 求向量夹角问题的方法
【例4】已知向量，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平面向量的坐标运算分别得到以及，然后由平面向量的夹角公式即可解出.
【详解】∵向量，，∴，∴，，
∴向量与夹角的余弦值为.故选：D．
【变式4-1】已知向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及夹角公式求解即可.
【详解】因为，，，所以，，则，，
故．故选：A．
【变式4-2】已知向量，，若与的夹角的余弦值为，且，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由与的夹角的余弦值，利用向量数量积求出的值，由，，求出的坐标特征即可.
【详解】向量，，若与的夹角的余弦值为，
则有，解得，则有，
设，由，则有，解得，B选项符合.故选：B
【变式4-3】已知向量，，，若，则等于
【答案】
【分析】确定，再利用向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】，，，，即，即，解得.故答案为：.
【变式4-4】已知向量，且与的夹角为.
(1)求及；
(2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)且
【分析】（1）根据与的夹角列方程，由此求得，进而求得.
（2）根据与所成的角是锐角列不等式，由此求得实数的取值范围.
【详解】（1）由于与的夹角为，所以，解得，
则，所以
（2），
由于与所成的角是锐角，所以，，解得且.
平面向量数量积的坐标表示 随堂检测
1．已知，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算求解.
【详解】由题意可得：，所以.故选：A.
2．已知向量，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由.
因为，所以．故选:A.
3．已知向量，，则（ ）
A． B．5 C． D．4
【答案】B
【分析】根据平面向量坐标运算求出，再由向量模公式求解即可.
【详解】因为，所以.故选：B
4．已知平面向量，满足，且，则（ ）
A．4 B．5 C． D．2
【答案】B
【分析】设，根据向量的模、向量垂直列方程，求得的坐标，进而求得.
【详解】设，因为，，所以，即①．又因为，所以，即，即②．联立①②可得或，所以或，所以.
故选：B
5.已知向量，，且与的夹角余弦值为，则（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．
【详解】，，，显然，
故有：，解得或．故选：B．
6．已知向量，若，则在上的投影为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据向量垂直的坐标运算求出，然后根据数量积的几何意义即可求出投影.
【详解】因为向量，若，所以，即，
，则在上的投影为，故选：A.
7．已知向量，则 .
【答案】
【分析】先求出，再根据数量积的坐标表示求解即可.
【详解】，，，
故答案为：.
8．已知向量，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据数量积公式求得，再根据二倍角的正切公式，即可求解.
【详解】，得，.
故答案为：
9．已知向量，，若，则 .
【答案】
【分析】由题可得 ，再利用向量数量积的坐标公式即可求解.
【详解】向量，，，又，则，解得.
故答案为：
10．已知向量，满足，，，则等于 ．
【答案】
【分析】根据平面向量的数量积的运算律和坐标运算求解.
【详解】因为向量，满足，，，所以，解得，
所以，故答案为: .
11．已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为 .
【答案】
【分析】首先求出，，再根据向量垂直得到，即可求出，最后根据计算可得.
【详解】因为，，则，，
又，所以，即，解得，所以，
则向量在向量方向上的投影向量为.故答案为：
12．若向量，，且，则与的夹角为 .
【答案】
【分析】由可得，即可得，利用向量夹角的坐标表示即可求出夹角为.
【详解】将两边平方可得，又，解得；所以，又，则与的夹角的余弦值为，则与的夹角为.
故答案为：
13．已知向量，满足且.
(1)求的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)4；(2)
【分析】（1）由且可得坐标，后由向量数量积的坐标表示可得答案；（2）由（1）及向量垂直的坐标表示可得答案.
【详解】（1）因，，则,.则；
（2）由（1），又，，则.
14．已知向量，向量．
(1)若，求与的夹角；
(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据得到与的夹角；
（2）根据与的夹角为钝角得到且不反向共线，然后求即可.
【详解】（1）当时，，，与的夹角为.
（2）因为与的夹角为钝角，所以，解得，
当与反向共线，即时，，解得，
综上，实数的取值范围为.
①平面向量数量积的坐标表示
②坐标表示中的垂直问题
③坐标表示中的模长问题
④坐标表示中的夹角问题
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与
的关系
(当且仅当时等号成立)