2023-2024学年河北省九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题

这是一份2023-2024学年河北省九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题，共19页。试卷主要包含了关于二次函数y=﹣，如图，中，，，，则，在中，，，，则的值是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=1时，函数y有最大值，设（x1，y1），（x2，y2）是这个函数图象上的两点，且1＜x1＜x2，那么（ ）
A．a＞0，y1＞y2 B．a＞0，y1＜y2 C．a＜0，y1＞y2 D．a＜0，y1＜y2
2．如图，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，点E，F分别在AB，AC上，点G，F在BC上，当四边形EFGH是矩形，且EF＝2EH时，则矩形EFGH的周长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，一条抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动．若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最大值为，则点的横坐标的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．直径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上表示1的点重合，圆沿着数轴向左滚动一周，点A与数轴上的点B重合，则B表示的实数是（ ）
A．B．C．D．
5．下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（ ）
A．B．C．D．
6．关于二次函数y=﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线x=1
C．图象有最低点 D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）
7．如图，中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
9．一块圆形宣传标志牌如图所示，点，，在上，垂直平分于点，现测得，，则圆形标志牌的半径为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（ ）
A．E为AC的中点B．DE是中位线或AD·AC=AE·AB
C．∠ADE=∠CD．DE∥BC或∠BDE+∠C=180°
11．下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．y＝x-3
12．如图，舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（ ）
A．1.1米B．1.5米C．1.9米D．2.3米
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则k＝_____．
14．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE、CE，当△CDE为等腰三角形时，BN的长为_____．
15．抛物线的对称轴过点，点与抛物线的顶点之间的距离为，抛物线的表达式为______．
16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DCB＝32°．则∠ABD＝_____
17．若，则_______．
18．若方程x2﹣2x﹣1009＝0有一个根是α，则2α2﹣4α+1的值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0），B（4，0），反比例函数的图象经过点C．求点C的坐标及反比例函数的解析式．
20．（8分）已知布袋中有红、黄、蓝色小球各一个，用画树状图或列表的方法求下列事件的概率.
（1）如果摸出第一个球后，不放回，再摸出第二球，求摸出的球颜色是“一黄一蓝”的概率.
（2）随机从中摸出一个小球，记录下球的颜色后，把球放回，然后再摸出一个球，记录下球的颜色，求得到的球颜色是“一黄一蓝”的概率.
21．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积．
22．（10分）解不等式组，并求出它的整数解
23．（10分）某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：
⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？
⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，CE＝4，求弧BD的长．（结果保留π）
25．（12分）如图，已知二次函数的顶点为（2，），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点．
（1）求该函数的解析式；
（2）连结AB、AC，求△ABC面积．
26．某商店经营家居收纳盒，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每个收纳盒售价不能高于40元．设每个收纳盒的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元．
（1）求与的函数关系式．
（2）每个收纳盒的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】由当x=2时，函数y有最大值，根据抛物线的性质得a＜0，抛物线的对称轴为直线x=2，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以由2＜x2＜x2得到y2＞y2．
【详解】∵当x=2时，函数y有最大值，∴a＜0，抛物线的对称轴为直线x=2．
∵2＜x2＜x2，∴y2＞y2．
故选C．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
2、C
【分析】通过证明△AEF∽△ABC，可得，可求EH的长，即可求解．
【详解】∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵EF＝2EH，BC=8，AD=6，
∴
∴EH＝，
∴EF＝，
∴矩形EFGH的周长＝
故选：C．
本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例建立方程是解题的关键．
3、C
【分析】根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，再根据平行于轴，之间距离不变，点的横坐标的最大值为，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点横坐标的最小值．
【详解】根据题意知，点的横坐标的最大值为，
此时对称轴过点，点的横坐标最大，此时的点坐标为，
当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为，点的坐标为，
故点的横坐标的最小值为，
故选：C．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质．解答本题的关键是理解二次函数在平行于轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
4、C
【分析】因为圆沿数轴向左滚动一周的长度是，再根据数轴的特点及的值即可解答．
【详解】解：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，
数轴上表示1的点与点B之间的距离为圆的周长，点B在数轴上表示1的点的左边．
点B对应的数是．
故选：C．
本题比较简单，考查的是数轴的特点及圆的周长公式．圆的周长公式是：．
5、C
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解．
【详解】A. 主视图为圆形，左视图为圆，故选项错误；
B. 主视图为三角形，左视图为三角形，故选项错误；
C. 主视图为矩形，左视图为矩形，故选项正确；
D. 主视图为矩形，左视图为圆形，故选项错误.
故答案选：C.
本题考查的知识点是截一个几何体，解题的关键是熟练的掌握截一个几何体.
6、D
【解析】二次函数的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k），据此进行判断即可.
【详解】∵﹣1＜0，
∴函数的开口向下，图象有最高点，
这个函数的顶点是（﹣1，2），
对称轴是x=﹣1，
∴选项A、B、C错误，选项D正确，
故选D．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标是解题的关键．
7、B
【分析】由题意根据勾股定理求出BC，进而利用三角函数进行分析即可求值.
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∴.
故选：B.
本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义及运用，注意掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
8、D
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．
【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，
∴，
∴，
故选：D．
本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．
9、B
【分析】连结，，设半径为r，根据垂径定理得 ，在中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.
【详解】连结，，如图，设半径为，
∵，，
∴，点、、三点共线，
∵，
∴，
在中，
∵，，
即，
解得，
故选B.
本题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．
10、D
【分析】如图，分两种情况分析：由△ADE与△ABC相似，得，∠ADE=∠B或∠ADE=∠C，故DE∥BC或∠BDE+∠C=180°.
【详解】因为，△ADE与△ABC相似，
所以，∠ADE=∠B或∠ADE=∠C
所以，DE∥BC或∠BDE+∠C=∠BDE+∠ADE=180°
故选D
本题考核知识点：相似性质.解题关键点：理解相似三角形性质.
11、A
【分析】根据二次函数的定义（一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数）进行判断．
【详解】A. 可化为，符合二次函数的定义，故本选项正确；
B. ，该函数等式右边最高次数为3，故不符合二次函数的定义，故本选项错误；
C. ，该函数等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
D. y＝x-3，属于一次函数，故本选项错误.
故选：A.
本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，化简后最高次必须为二次，且二次项系数不为0.
12、D
【分析】根据黄金分割点的比例，求出距离即可．
【详解】∵黄金分割点的比例为
（米）
∴主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为 （米）
故答案为：D．
本题考查了黄金分割点的实际应用，掌握黄金分割点的比例是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、-1．
【分析】直接把点（3，﹣4）代入反比例函数y＝，求出k的值即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），
∴﹣4＝，解得k＝﹣1.
故答案为：﹣1．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14、或1
【分析】分两种情况：①当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=1，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=110°，DE=AD=1，求出DG=CG=，BG=BC+CG=3，由折叠的性质得EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=110°，证出D、E、N三点共线，设BN=EN=xcm，则GN=3-x， DN=x+1，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=1（含CE=DE这种情况）；
【详解】解：分两种情况：
①当DE＝DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC＝1，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DCG＝∠B＝60°，∠A＝110°，
∴DE＝AD＝1，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝CD＝1，
∴DG＝CG＝，BG＝BC+CG＝3，
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM＝1，
由折叠的性质得：EN＝BN，EM＝BM＝AM，∠MEN＝∠B＝60°，
在△ADM和△EDM中，
，
∴△ADM≌△EDM（SSS），
∴∠A＝∠DEM＝110°，
∴∠MEN+∠DEM＝180°，
∴D、E、N三点共线，
设BN＝EN＝x，则GN＝3﹣x，DN＝x+1，
在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3﹣x）1+（）1＝（x+1）1，
解得：x＝，
即BN＝，
②当CE＝CD时，CE＝CD＝AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图1所示：
CE＝CD＝DE＝DA，△CDE是等边三角形，BN＝BC＝1（含CE＝DE这种情况）；
综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为或1；
故答案为：或1．
本题主要考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键.
15、y=-x2-2x或y=-x2-2x+8
【分析】根据题意确定出抛物线顶点坐标，进而确定出m与n的值，即可确定出抛物线解析式．
【详解】∵抛物线的对称轴过点，
∴设顶点坐标为：
根据题意得：，
解得：或
抛物线的顶点坐标为(-1，1)或(-1，9)，
可得：，或，
解得：，或，
则该抛物线解析式为：或，
故答案为：或．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16、58°
【解析】根据圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=32°，∠ADB=90°，根据互余的概念计算即可．
【详解】由圆周角定理得,∠BAD=∠BCD=32°，
∵AB为⊙O的直径，
∴
∴
故答案为
考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
17、12
【分析】根据比例的性质即可求解．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
本题考查了比例的性质，解答本题的关键是明确比例的性质的含义．
18、1
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到α2﹣2α＝1009，然后求出2α2﹣4α的值代入即可．
【详解】解：方程x2﹣2x﹣1009＝0有一个根是α，则
α2﹣2α﹣1009＝0，
α2﹣2α＝1009，
2α2﹣4α+1＝2（α2﹣2α）+1＝1．
故答案为：1．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
三、解答题（共78分）
19、点C坐标为（2，2），y＝
【分析】过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y＝，根据等边三角形的知识求出AC和CD的长度，即可求出C点的坐标，把C点坐标代入反比例函数解析式求出k的值．
【详解】解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，
设反比例函数的解析式为y＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，∠CAB＝60°，
∴AD＝3，CD＝sin60°×4＝×4＝2，
∴点C坐标为（2，2），
∵反比例函数的图象经过点C，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式：y＝；
考查了待定系数法确定反比例函数的解析式的知识，解题的关键是根据题意求得点C的坐标，难度不大．
20、（1）；（2）
【分析】运用画树状图或列表的方法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比解答即可.
【详解】解：（1）画树状图如图所示.
共有6种等可能的情况，其中摸到的球是“一黄一蓝”的情况有2种，因此球颜色是“一黄一蓝”的概率为.
（2）画树状图如图所示.
共有9种等可能的情况，其中摸到的球是“一黄一蓝”的情况有2种，因此球颜色是“一黄一蓝”的概率为.
本题主要考查的是用画树状图法或列表法求概率.着重考查了用画树状图法或列表法列举随机事件出现的所有情况，并求出某事件的概率，应注意认真审题，注意不放回再摸和放回再摸的区别.
21、（1）证明见解析；（2）S阴＝．
【分析】（1）只要证明∠E=∠D，即可推出CD=CE；
（2）根据S阴=S扇形OBC-S△OBC计算即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DC＝BC，
∴AD＝AB，
∴∠D＝∠ABC，
∵∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
∴CD＝CE．
（2）解：由（1）可知：∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC＝2，
连接OC，则∠COB＝120°，
∴S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．
考查扇形的面积，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22、不等式组的解集为﹣1＜x＜2，不等式组的整数解为0、1．
【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解，再根据求不等式组解的方法求出不等式组的解，继而可求出其整数解.
【详解】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
解不等式x+4＞3x，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜2，
所以不等式组的整数解为0、1．
本题考查的知识点是解不等式组，正确求出每个一元一次不等式的解是求不等式组的解的关键.
23、（1）y=-2x+1，10≤x≤2；（2）16元/kg；（3）W=-2（x-20）2+200，2元，192元．
【分析】（1）根据一次函数过（12，36）（14，32）可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式，
（2）根据总利润为168元列方程解答即可，
（3）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求．
【详解】（1）设关系式为y=kx+b，把（12，36），（14，32）代入得：
，
解得：k=-2，b=1，
∴y与x的之间的函数关系式为y=-2x+1，
通过验证（15，30）（17，26）满足上述关系式，
因此y与x的之间的函数关系式就是y=-2x+1．
自变量的取值范围为：10≤x≤2．
（2）根据题意得：（x-10）（-2x+1）=168，
解得：x=16，x=24舍去，
答：获得平均每天168元的利润，售价应定为16元/kg；
（3）W=（x-10）（-2x+1）=-2x2+80x-10=-2（x-20）2+200，
∵a=-2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=20，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵10≤x≤2，
∴当x=2时，W最大=-2（2-20）2+200=192元，
答：W与x之间的函数关系式为W=-2（x-20）2+200，当该商品销售单价定为2元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．
考查一次函数、二次函数的性质，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错．
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；
（2）作OG⊥AE，知AG＝CG＝AC＝4，证四边形ODEG是矩形，得出OA＝OB＝OD＝CG+CE＝4，再证△ADE∽△ABD得AD2＝192，据此得出BD的长及∠BAD的度数，利用弧长公式可得答案．
【详解】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：作OG⊥AE于点G，连接BD，如图2所示：
则AG＝CG＝AC＝4，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEG是矩形，
∴OA＝OB＝OD＝CG+CE＝4+4＝8，∠DOG＝90°，
∴AB＝2OA＝16，
∵AC＝8，CE＝4，
∴AE＝AC+CE＝12，
∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，
∴△ADE∽△ABD，
∴，即，
∴，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ABD中，∵AB＝2BD，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
则弧BD的长度为＝．
本题考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、矩形的判定与性质、垂径定理、弧长公式等知识点．
25、（1）；（2）.
【分析】（1）设该二次函数的解析式为，因为顶点（2，-1），可以求出h,k,将A（0，3）代入可以求出a，即可得出二次函数解析式.
（2）由（1）求出函数解析式，令y等于0可以求出函数图像与x轴的两个交点为B,C两点，然后利用面积公式,即可求出三角形ABC的面积.
【详解】（1）设该二次函数的解析式为
∵顶点为（2，）
∴
又∵图象经过A（0，3）
∴ 即
∴该抛物线的解析式为
（2）当时，，解得，
∴C（3，0） B（1，0）
得
∴.
熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积公式是本题的解题关键.
26、（1）（0≤x≤10）；（2）32元；（3）售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【分析】（1）利用利润=每件的利润×数量即可表示出与的函数关系式；
（2）令第（1）问中的y值为2520，解一元二次方程即可得出x的值；
（3）根据二次函数的性质求得最大值即可．
【详解】（1）根据题意有：

每个收纳盒售价不能高于40元


（2）令
即
解得或

此时售价为30+2=32元
（3）
∵为正整数
∴当或时，y取最大值，最大值为
此时的售价为30+6=6元或30+7=37元
答：售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．