2025年初中数学中考一轮复习 第02讲 整式与因式分解（课件）

这是一份2025年初中数学中考一轮复习 第02讲 整式与因式分解（课件），共60页。PPT课件主要包含了代数式的书写要求，求代数式的值的步骤，单项式的定义，∴次数不是14，＋3＋49，相同字母的指数也相同，判断同类项的标准，所含字母相同，缺一不可，合并同类项法则等内容，欢迎下载使用。
把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式.
4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.
1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号.
2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写.
3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数.
根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值.
将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；
按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的.
对求值式子进行变形，并将已知条件转化进行整体代值
3．（2023·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式.
圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母；
单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
几个单项式的和叫做多项式
单项式与多项式统称为整式.
1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；
2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式
3x²+x+7是二次三项式.
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.
括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号.
去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
整式加减实际上就是：去括号、合并同类项；
1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加，
2）幂的乘方：底数不变，指数相乘，
幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．
4）同底数幂的除法：底数不变，指数相减，
任何不等于0的数的0次幂都等于1，
幂的运算法则中底数a的规定
3）积的乘方：把积中每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘
（a≠0，m，n都为整数）
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
单项式乘单项式运算法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
单项式乘多项式运算法则：
多项式乘多项式运算法则：
利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
单项式除以单项式运算法则：
一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
多项式除以单项式运算法则：
把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.
等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
①用多项式的乘法推导平方差公式
②通过面积法推导平方差公式：
【补充】常见验证平方差公式的几何图形
两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍
右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
左边是两数的和（或差）的平方
首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.
完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）：
②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是
它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，
①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为
①用多项式的乘法推导完全平方公式：
②通过面积法推导完全平方公式：
它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即
先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.
含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算
解析：依题意这个多项式为
1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可.2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
准确找出多项式各项的公因式.
公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式.
如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法
运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法.
逆用平方差法分解因式：
逆用完全平方公式分解因式：
检查每个多项式是否都分解彻底
通过因式分解，得到乘积的形式，找到能被整除的数或式
【例1】 （2024·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ；
第一次变化后，乙比甲多
【变式】 （2024·山东临沂·中考真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．(1)这台M型平板电脑价值多少元？(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
通过因式分解，得到乘积的形式，整体代值
通过等式变形，得到a²+1与2b的关系，代数式化简得出代数式的值
理解同类项定义和合并法则
3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（     ）．
计算时可能用到以下公式：
利用乘法分配律，化为单项式×单项式
1.要按一定顺序进行,注意做到不重不漏,确定积中每项的符号时,按“同号得正,异号得负”的法则确定.2.多项式与多项式相乘,仍得多项式，有同类项时要合并同类项.
运算顺序：首先将系数相除，然后将同底数幂相除，最后将被除式中单独有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式，系数相除时要注意先确定商的符号.
1.多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致,在计算时不要漏项；2.计算时，多项式的各项要包括它前面的符号,注意符号的变化.
【例1】（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个
整体代入法/间接代入法求值
从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算.
将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值
给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代数式的值.一般情况下，多是代入-1、0、1这三个值.
多项式乘以多项式需要展开后合并同类项，再因式分解
两个连续的奇数平方差能被8整除
【例1】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
【例1】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……
根据图形，总结规律，列式计算
（1）解：三角点阵中前8行的点数之和：
得出关于n的一元二次方程，利用根的判别式
利用第（1）的方法得出前n排花盆总数的计算公式，再列方程求解
1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
2．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】
1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68B．58、78、98 C．76、156、316D．78、158、318
新定义运算的规律是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.
观察能力和以及对数字的敏感程度.
解题关键：理解新运算的定义